第五章_多目标规划

R x gi ( x ) 0, i 1, 2,, m 称为多目标规划问题
的可行集或容许集， x R 称为可行解或容许解 . 多目标规划问题与前面讲的规划问题的主要区 别在于：目标函数不止一个，而是 p 个（ p 2 ） 。 多目标规划问题的解法：根据问题的实际背景 和特征，设法将多目标优化问题转化为单目标优 化问题，从而得到满意解的方法.
F f1 ( x ), f 2 ( x ), f p ( x ) 为其最优值.
T
容易看出，在使用分层序列法时，若对某个 问题 Pi ， 其最优解是唯一的， 则问题 Pi 1 , Pp 的 最优解也是唯一的，且 x(i 1) x( p) x(i ) 。因 此常将分层序列法修改如下：选取一组适当 的小正数 1 ,, p ，成为宽容值，把上述的问 题 Pi 修改如下：
解： 设该厂每周生产布料 A1 , A2 , A3 的小时数为
x1 , x2 , x3 ，总利润为 y1 f1 ( x ) （元） ，总能耗为 y2 f 2 ( x ) （ t 标准煤） ，其中 x = ( x1 , x2 , x3 )T ，
y1 f1 ( x ) 0.15 400 x1 0.13 510 x2 0.20 360 x3 y2 f 2 ( x ) 1.2 0.4 x1 1.3 0.51x2 0.36 1.4 x3
一般的多目标规划问题都可写成如下的形式：
min f1 ( x ) min f 2 ( x ) min f p ( x ) s.t. gi ( x ) 0, i 1, 2,, m
其中， x = ( x1 , x2 ,, xm )T Rn ， p 2 .
多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的 最优化（最大或最小），而不顾其他目标。
min fi ( x ) s.t. x Ri 1 x fi ( x ) fi i Ri 2 , i 2,3,, p


再按上述方法依次求解各问题 P2 , Pp .
3) 线性加权求和法 对多目标规划问题中的 p 个目标按其重要程度给 以适当的权系数i 0, i 1, 2,, p ，且 i 1，然后用
符号规定： Si ——第 i 种投资项目，如股票，债券 ri,pi,qi ----分别为 Si 的平均收益率, 交易费率，风险损失率 ui ----Si 的交易费用定额 r0 -------同期银行利率 xi -------投资项目 Si 的资金 a -----投资总体风险度 Q ----总体收益
三、模型的建立与分析


得最优解 x(3) 及最优值 f 3 ，，如此继续下去，直到求出第
p 个问题 Pp ：
min f p ( x ) f p
s.t. x R p 1 R p 2 x f p 1 ( x ) f p1


得最优解 x ( p ) 及最优值 f p ，则 x x( p ) 就是原多目标规划问 题 在 分 层 序 列 意 义 下 得 最 优 解 ，
x1 , x2 , x3
多目标规划模型
在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往 往不止一个，例如设计一个导弹，既要射程最远， 又要轻，还要精度最高. 这一类问题统称为多目标
最优化问题或多目标规划问题. 我们先来看一个生
产计划的例子.
（生产计划问题）某厂生产三种布料 A1 , A2 , A3 ，该厂两 班生产，每周生产时间为 80 h ，能耗不得超过 160 t 标 准煤，其它数据如下表：
投资的收益和风险
一、问题提出 市场上有 n 种资产 s i （i=1,2，…，n）可以选择，现用数额为 M 的相 当大的资金作一个时期的投资.这 n 种资产在这一时期内购买 s i 的平均收益 率为 ri ，风险损失率为 qi ，投资越分散，总的风险越小，总体风险可用投资 的 s 中最大的一个风险来度量. 购买 s i 时要付交易费，(费率 p )，当购买额不超过给定值 u 时，交易 费按购买 u 计算.另外，假定同期银行存款利率是 r0 ，既无交易费又无风险. （ r0 =5%） 已知 n=4 时相关数据如下：
(r p ) x
i 0 i i
n
i
qi xi M
≤a
i i
i=1,…, n
(1 p )x
M ， xi≥ 0
i=0,1,…, n
b．若投资者希望总盈利至少达到水平 k 以上，在风险最小的情况下寻找相应的投资组合. 模型 2 固定盈利水平，极小化风险 目标函数： R= min{max{ qixi}} 约束条件：
x g ( x) 0, i 1,2,, m; f ( x) a , j 2,3,, p ， 令R i j j
其中界限值取为 a j min f j ( x ), j 2,3,, p ， 则此非线
xR n
性规划问题得最优解必为原问题的有效解.因此，
用主要目标法求得的解必是多目标优化问题的有效 解. 2) 分层序列法 把多目标规划问题中的 p 个目标按其重要程度排一个 次序， 假设 f1 ( x ) 最重要，f 2 ( x ) 次之 ，f 3 ( x ) 再次之， ，
i 1 p
h( x ) i f i ( x ) 作为新的目标函数，成为评价（目标）
i 1
p
函数，再求解问题
min h( x ) i fi ( x )
i 1 p
s.t. gi ( x ) 0, i 1,2,, m
得最优解 x(0) ，取 x x (0) 作为多目标规划问题的解.
由于a是任意给定的风险度，到底怎样给定没有一个准则，不同的投 资者有不同的风险度.我们从a=0开始，以步长△a=0.001进行循环搜索， 编制程序如下：
a=0; while(1.1-a)>1 c=[-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185]; Aeq=[1 1.01 1.02 1.045 1.065]; beq=[1]; A=[0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026]; b=[a;a;a;a]; vlb=[0,0,0,0,0];vub=[]; [x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub); a x=x' Q=-val plot(a,Q,'.')，axis([0 0.1 0 0.5])，hold on a=a+0.001; end xlabel('a'),ylabel('Q')
多目标规划解的概念： •若多目标规划问题的解能使所有 的目标都达到，就称该解为多目 标规划的最优解； •若解只能满足部分目标，就称该 解为多目标规划的次优解； •若找不到满足任何一个目标的解， 就称该问题为无解。
当目标函数处于冲突状态 时，就不会存在使所有目 标函数同时达到最大或最
小值的最优解，于是我们
布料 生产量（ m / h ）
利润（ 元 / m ） 最大销售量（ m / 周 ） 能耗（ t / km ）
A1 A2
400 510 360
0.15 0.13 0.20
40000 51000 30000
1.2 1.3 1.4
A3
问每周应生产三种布料各多少 m ，才能使该厂的利润 最高，而能源消耗最少？
(r
i 0
n
i
p i ) x i ≥k，
i i
(1 p )x
M ， xi≥ 0
i=0，1，…，n
c．投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时，希望选择一个令自己满意的投资组合. 因此对风险、收益赋予权重 s（0＜s≤1)，s 称为投资偏好系数. 模型 3 目标函数：min s{max{qixi}} -（1-s） 约束条件
3．要使净收益尽可能大，总体风险尽可能小,这是一个多目标规划模型: 目标函数 max
n
(r p ) x
i i i 0
n
i
Min{max{ qixi}} 约束条件
(1 p )x =M
i 0 i i
xi≥0
i=0,1,…,n
4. 模型简化：
a．在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限 a，使最大的一个 风险 qixi/M≤a，可找到相应的投资方案. 这样把多目标规划变成一个目标的线性规划. 模型 1 固定风险水平，优化收益 目标函数： 约束条件： Q=max
则上述问题的数学模型为
max y1 f1 ( x ) min y2 f 2 ( x ) x1 x2 x3 80 s.t. 1.2 0.4 x1 1.3 0.51x2 1.4 0.36 x3 160 0 x1 ,0 x2 ,0 x3
(r p ) x
i i i 0
n
i
(1 p )x =M， x ≥0
i 0 i i
i
n
i= 0,1,2，…，n
四、模型1的求解
模型 1 为: minf = (-0.05, -0.27, -0.19, -0.185, -0.185) (x0 x0 + 1.01x1 + 1.02x2 +1.045x3 +1.065x4 =1 0.025x1 ≤a 0.015x2 ≤a s.t. 0.055x3 ≤a 0.026x4≤a xi ≥0 (i = 0，1，…，4) x1 x2 x3 x4 )T


的最优解 x(2) 及最优值 f 2 ， 即 min f 2 ( x ) f 2 ， 其中：
R x gi ( x ) 0, i 1, 2,, m
R1 为问题 P2 的可行域.
xR
再求解问题 P3 ：
min f3 ( x ) f3 s.t. x R2 R1 x f 2 ( x ) f 2
1) 主要目标法 在多目标优化问题中，若能从 p 个目标中，确定 一个目标为主要目标，例如 f1 ( x ) ，而把其余目标作为 次要目标，并根据实际情况，确定适当的界限值，这 样就可以把次要目标作为约束来处理， 而将多目标优 化问题转化为求解如下的线性或非线性规划问题：
min f1 ( x ) gi ( x ) 0, i 1,2,, m s.t. f j ( x ) a j , j 2,3,, p
1.总体风险用所投资的Si中最大的一个风险来衡量,即max{ qixi|i=1，…,n}
2．购买 Si 所付交易费是一个分段函数,即 pixi xi>ui 交易费 = piui xi≤ui 而题目所给定的定值 ui(单位:元)相对总投资 M 很小, piui 更小, 可以忽略不计,这样购买 Si 的净收益为(ri-pi)xi 不忽略会如何？
只能寻求非劣解（又称非 支配解或帕累托解）。
在图中，就方案①和②来 说，①的目标 2 值比②大，但其 目标 1 值比②小，因此无法确定 这两个方案的优与劣。在各个方 案之间，显然：③比②好，④比 ①好，⑦比③好，⑤比④好。而 对于方案⑤、⑥、⑦之间则无法 确定优劣，而且又没有比它们更 好的其他方案，所以它们就被称 之为多目标规划问题的非劣解或 有效解，其余方案都称为劣解。 所有非劣解构成的集合称为非劣 解集。
最后一个目标为 f p ( x ) .先求出以第一个目标 f1 ( x ) 为 目标函数，而原问题中的约束条件不
变的问题 P1：
min f1 ( x ) f1 s.t. gi ( x ) 0, i 1,2,, m
的最优解 x (1) 及最优值 f1 ，再求问题 P2 ：
min f 2 ( x ) f 2 s.t. x R x f1 ( x ) f1 R1
二、基本假设和符号规定
基本假设： 1. 投资数额 M 相当大,为了便于计算，假设 M=1； 2．投资越分散，总的风险越小； 3．总体风险用投资项目 s i 中的损失最大的来衡量； 4．n 种资产 s i 之间是相互独立的； 5．在投资的这一时期内, ri,pi,qi，r0 为定值，不受意外因素影响； 6．净收益和总体风险只受 ri,pi,qi 影响，不受其
si
ri （%）
qi （%）
pi （%） ui（元）
S1 S2 S3 S4
28 21 23 25
2.5 1.5 5.5 2.6
1 2 4.5 6.5
103 198 52 40
试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金 M，有选择地购买若 干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，使总体风险尽可能小.