7.6 线性变换的值域与核

第七章 线性变换
学习单元6： 线性变换的值域与核
_________________________________________________________
● 导学
学习目标：
理解线性变换的值域与核的概念；掌握线性变换的值域的结构；掌握线性变换的核的结构；会求线性变换的值域的维数与基；会求线性变换的核的维数与基。

学习建议：
建议大家多读定义及定理，认真理解定义及定理的条件与结论，结合例题、习题掌握理论内容。

重点难点：
重点：掌握线性变换的值域与核的维数与基的计算。

难点：深刻理解线性变换的值域与核的结构。

_________________________________________________________
● 学习内容
一、线性变换的值域与核的概念及基本性质
定义 设V 为数域P 上线性空间，(),A L V ∈V 的全体向量在A 下的像组成的集合称为A 的值域，记为()A V ，即
(){()|}A V A V αα=∈。

V 的零向量在A 下的原像组成的集合称为A 的核，记为1(0)A -，即
1(0){|()0}A V A αα-=∈=。

注 也记()A V 为Im A (the image of A )，
1(0)A -为ker A (the kernel of A )。

命题 1(),(0)A V A V -≤。

定义 称dim ()A V 为A 的秩，记为()R A ，称1dim (0)A -为A 的零度，记为()N A 。

二、()A V 及1(0)A -的结构及关系
定理 设V 为P 上n 维线性空间，(),A L V ∈1,,n εεL 为V 的一个基，A 在1,,n εεL 下的矩阵为A ，则
（1）12()((),(),,())n A V L A A A εεε=L ；
（2）()()R A R A =；
注：由于A 在不同基下的矩阵相似，而相似矩阵有相同的秩，故计算()R A 时与基的选择无关。

定理 令V 为P 上n 维线性空间，(),A L V ∈1,,n εεL 为V 的基，A 在1,,n εεL 下的矩
阵为A ，则
（1）11(0){(,,)|0}n A X AX εε-==L ；
（2）1(0)A -同构于0AX =的解空间；
（3）()()N A n R A =-；
（4）若1,,t ηηL 为0AX =的一个基础解系，则
1111,(,,),(,,)n t n t αεεαεεηη==L L L
为1(0)A -的一个基。

推论 令V 为P 上n 维线性空间，(),A L V ∈ 则
()()R A N A n +=。

也即
1dim ()dim (0)dim A V A V -+=。

注：尽管有1dim ()dim (0)dim A V A V -+=，但1()(0)A V A -+却不一定等于V ，原因是
1()(0)A V A -I 不一定为零子空间。

推论 令V 为P 上n 维线性空间，(),A L V ∈ 则A 为单射当且仅当A 为满射。

【教师解读】
线性变换的值域与核对研究线性变换很重要，特别是可以通过核来判别线性变换是否是单射，是否可逆。

在一般代数系统的研究中，可以通过核构造商代数系统，为用归纳法研究代数系统提供了条件。

_________________________________________________________
● 拓展资料
设a 是数域P 中的数，给定线性空间P 3的变换A 如下：
A ：123122313(,,)(2,,)x x x x x x x ax x -++a ，
(1)证明：A 是V 的线性变换；
(2)求A 的值域与核；
(3)确定出a 为何值时A 是可逆的。

___________________________________________________
● 讨论交流
讨论主题：如何判断线性空间V 的一个向量是否在线性变换A 的值域中。

教师提示：回顾线性变换的值域的构造。