《随机变量的定义》PPT课件

X取什么值依赖于试验结果,即X的 取值带有随机性
定义: 设E是随机试验,是其样本空间, 如果对每个,总有唯一的一个实数 X()与之对应, 则称X()为定义在上 的一个随机变量 随机变量常用X、Y 或、等表示


X(ω) R
定义了随机变量后,就可以用随机 变量的取值情况来刻划随机事件
2.1 随机变量的定义
一、随机变量 二、分布函数
一、随机变量
例1 抛一枚硬币,观察正面1,反面2出 现的情况: 样本空间={1, 2} 引入一个定义在上的函数 X : 1, 1 X X ( ) 0, 2 由于试验结果的出现是随机的,因此 X()的取值也是随机的
具体写出这个函数如下:
0, (b1 , b2 ), (b1 , b3 ), (b2 , b3 ) 1, (a1 , b1 ), (a1 , b2 ), (a1 , b3 ) X X ( ) (a 2 , b1 ), (a 2 , b2 ), (a 2 , b3 ) 2, (a1 , a 2 )
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例1设F1 ( x )与F2 ( x )分别为随机变量X 1与X 2
的分布函数，为了使F ( x ) aF1 ( x ) bF2 ( x )
是某一随机变量的分布函数，则下列各组值 中应取（ A） 3 2 ( A) a , b 5 5 1 3 (C ) a , b 2 2
2 2 ( B) a , b 3 3
1 3 ( D) a , b 2 2
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例2 设随机变量X的分布函数为
0, F ( x ) ln x , 1, x1 1 x e xe
求P ( x 2), P (0 x 3)
解： P ( x 2) F (2 0) ln 2
例2 从包含两件次品(a1,a2)和三件正品 (b1,b2,b3)的五件产品中任意取出两件:
样本空间为: ={{a1,a2},{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1}, {a2,b2},{a2,b3},{b1,b2},{b1,b3},{b2,b3}}
以X表示抽取的两件产品中包含的 次品个数,则X是定义在上的一个函数 即 X=X(),
x
F ( ) lim F ( x ) 1
x
理解: 当x→+时,{X≤x}越接近于必然事件
(3)右连续性: 对任意实数x ,
F ( x0 0) lim F ( x ) F ( x0 )
x x0
具有上述三个性质的实函数必是某 随机变量的分布函数.该三个性质是分布 函数的充分必要性质
P (0 x 3) F (3) F (0) 1
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在例2中,事件“取出的两件产品中没有 次品” 用{X=0}表示 且概率为: P{X=0}=0.3
事件“取出的两件产品中至少有一件次 品” 用{X≥1}表示 且概率为: P{X≥1}=0.7
随机变量的特点:
1. X的全部可能取值是互斥且完备的
2. X的部分可能取值描述随机事件
二、分布函数 对随机变量的概率分布情况进行刻画 定义: 设X是一随机变量,称函数 F(x)=P(X≤x), <x<+ 为X的分布函数 X 显然,有: 0≤F(x)≤1 x
为了便于计算X在某些范围内取值的概率， 给出下面几个公式：
P ( X x ) F ( x 0);
P( X x) P( X x) P( X x)
F ( x ) F ( x 0); P ( X x ) 1 P ( X x ) 1 F ( x 0); P ( X x ) 1 P ( X x ) 1 F ( x );
另, P(x1<X≤x2)=F(x2) Leabharlann Baidu(x1) (x1<x2) X o x1 x2 x ∵ {x1<X≤x2}={X≤x2}{X≤x1}
且{X≤x1}{X≤x2}
故: P(x1<X≤x2)=P{X≤x2}P{X≤x1} =F(x2) F(x1)
性质:
(1)F(x)是x的不减函数 即若x1<x2 ,则F(x1)≤F(x2) (2) F ( ) lim F ( x ) 0