高考数学专题03 利用导数求函数的极值、最值(第六篇)(解析版)

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第六篇函数与导数

专题02 利用导数求函数的单调性

【典例1】【陕西省渭南市2019届高三二模】已知函数()f x x

=． (Ⅰ)求函数()f x 的极值；

(Ⅱ)若0m n >>,且n m m n =,求证：2mn e >． 【思路引导】

(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可求出函数()f x 的极值；(Ⅱ)得到

()()f m f n =,根据函数的单调性问题转化为证明2e m e n >>，即证()22ln ln n n n n e

-<,令()()222ln 2ln 1G x e x x x x x e =-+<<，根据函数的单调性证明即可．

【详解】 (Ⅰ)()ln x f x x Q =

()f x ∴的定义域为()0,∞+且()21ln x

f x x

-'= 令()0f x '>，得0x e <<；令()0f x '<，得x e >

()f x ∴在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减

∴函数()f x 的极大值为()ln 1

e f e e e

=

=，无极小值 (Ⅱ)0m n >>Q ，n m m n =ln ln n m m n ∴=

l ln n m m n

n

∴

=，即()()f m f n = 由(Ⅰ)知()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减 且()10f =，则1n e m <<<

要证2mn e >，即证2e m e n >>，即证()2e f m f n ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即证()2e f n f n ⎛⎫< ⎪⎝⎭

即证

()2

2ln ln n n n n e

-< 由于1n e <<，即0ln 1n <<，即证222ln 2ln e n n n n <- 令()()2

2

2

ln 2ln 1G x e x x x x x e =-+<<

则()()()()()2242ln 2ln 12ln 1e x e x e e G x x x x x x x x x x x x x +-⎛⎫'=

-++=-+-=+- ⎪⎝⎭

1x e <恒成立()G x ∴在()1,e 递增 ()()0G x G e ∴<=在()1,x e ∈恒成立

2mn e ∴>

【典例2】【2019年甘肃省兰州市高考数学一诊】已知函数f （x ）=13x 31

2

-（a 2+a+2）x 2+a 2（a+2）x ，a ∈R ．

（1）当a=-1时，求函数y=f （x ）的单调区间； （2）求函数y=f （x ）的极值点． 【思路引导】

（1）先求解导数，利用导数取值的正负可得单调区间； （2）先求解导数，结合导数零点情况判断函数极值点的情况. 【详解】

（1）当a=-1时，()3

21f x x x x 3

=

-+．∵()f x '=x 2-2x+1=（x -1）2≥0， 故函数在R 内为增函数，单调递增区间为（-∞，+∞）．

（2）∵()f x '

=x 2-（a 2+a+2）x+a 2（a+2）=（x -a 2）[x -（a+2）]，

①当a=-1或a=2时，a 2=a+2，∵()f x '

≥0恒成立，函数为增函数，无极值；

②当a ＜-1或a ＞2时，a 2＞a+2，

可得当x ∈（-∞，a+2）时，()f x '

＞0，函数为增函数；

当x ∈（a+2，a 2）时，()f x '

＜0，函数为减函数； 当x ∈（a 2，+∞）时，()f x '

＞0，函数为增函数．

当x=a+2时，函数有极大值f （a+2），当x=a 2时，函数有极小值f （a 2）． ③当-1＜a ＜2时，a 2＜a+2．

可得当x ∈（-∞，a 2）时，()f x '＞0，函数为增函数； 当x ∈（a 2，a+2）时，()f x '

＜0，函数为减函数； 当x ∈（a+2，+∞）时，()f x '＞0，函数为增函数．

当x=a+2时，函数有极小值f （a+2）；当x=a 2时，函数有极大值f （a 2）．

综上可得：当a=-1或a=2时，函数无极值点；当a ＜-1或a ＞2时，函数有极大值点a+2，函数有极小值点a 2；当-1＜a ＜2时，函数有极大值点a 2，函数有极小值点a+2. 【典例3】【广东省2019年汕头市普通高考第一次模拟】已知2

1()ln 2

x f x x ae x =+-． （1）设1

2

x =

是()f x 的极值点，求实数a 的值，并求()f x 的单调区间： （2）0a >时，求证：()1

2

f x >．

【思路引导】

（1）由题意，求得函数的导数()1x

f x x ae x '=+-

，由12x =是函数()f x

的极值点，解得a =由102f ⎛⎫

=

⎪⎭

'⎝，进而得到函数的单调区间； （2）由（1），进而得到函数()f x 的单调性和最小值()()20000min 0

11

ln 2f x f x x x x x ==

+--，令()211

ln ,(01)2g x x x x x x

=

+--<<，利用导数求得()g x 在()0,1上的单调性，即可作出证明. 【详解】

（1）由题意，函数()f x 的定义域为()0,+∞，