第七章线性变换总结篇(高等代数)

第 7章 线性变换

7.1知识点归纳与要点解析

一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义

数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。 注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。

2.线性变换的判别

设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么：

σ为V 的线性变换⇔()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+∀∈∀∈ 3.线性变换的性质

设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα∀∈。

性质1. ()()00,σσαα==-; 性质2. 若12s ,,

,ααα线性相关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性相关。

性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,,

,ααα线性无关，那么()()()12s ,,

,σασασα

也线性无关。

注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββ，12,,,s γγγ是V 中的两个向量组，

如果：

11111221221122221122s s

s s m m m ms s

c c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=++

+

记：

()()112111222

2121212,,,,,

,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ⎛⎫ ⎪ ⎪

= ⎪

⎪⎝⎭

于是，若()dim V n =，12,,,n ααα是V 的一组基，σ是V 的线性变换， 12,,

,m

βββ是V 中任意一组向量，如果：

()()()11111221221122221122n n n n m m m mn n

b b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=++

+

记：

()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=

那么：

()()112111222

2121212,,,,,

,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα⎛⎫

⎪ ⎪

= ⎪

⎪⎝⎭

设112111222

212m m n n mn b b c b b c B b b c ⎛⎫

⎪

⎪

= ⎪

⎪⎝⎭

，12,,,m ηηη是矩阵B 的列向量组，如果12,,,r i i i ηηη是

12,,

,m ηηη的一个极大线性无关组，那么()()()

12

,r

i i i

σβσβσβ就是

()()()12,m σβσβσβ的一个极大线性无关组，因此向量组()()()12,m σβσβσβ的

秩等于秩()B 。

4. 线性变换举例

（1）设V 是数域P 上的任一线性空间。

零变换： ()00,V αα=∀∈； 恒等变换：(),V εααα=∀∈。

幂零线性变换：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换，如果存在正整数m ，使

得σ

=m

0，就称σ为幂零变换。

幂等变换：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换，如果2

σσ=，就称σ为幂等

变换。

（2）n

V P =,任意取定数域P 上的一个n 级方阵A ，令：

1112

22n n n n x x x x x x A ,P x x x σ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=∀∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

。

（3）[]V P x =，()()

()()[]D f x f x ,f x P x '=∀∈。 （4）n n

V P

⨯=，()

ij A a =是V 中一固定矩阵，()n n X AX ,X P τ⨯=∀∈。

二．线性变换的运算、矩阵 1. 加法、乘法、数量乘法

（1） 定义： 设V 是数域P 上的线性空间，,στ是V 的两个线性变换，定义它们的和

στ+、乘积στ分别为：对任意的V α∈

()()()()στασατα+=+，()()()()στασ

τα=

任取k P ∈，定义数量乘积k σ为：对任意的V α∈

()()()k k σασα=

σ的负变换-σ为：对任意的V α∈

()()()-=-σασα

则στ+、στ、k σ与-σ都是V 的线性变换。

（2）()L V ={σ

σ为V 的线性变换}，按线性变换的加法和数乘运算做成数域P 上的维线

性空间。

2. 线性变换的矩阵

（1）定义：设V 是数域P 上的n 维线性空间，σ是V 的线性变换，12,,

,n ααα是V 的

一组基，如果：

()()()11111221221122221122n n n n n n n nn n

a a a a a a a a a σαααασαααασαααα=+++=+++=++

+

那么称矩阵112111222212n n n

n

nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

为线性变换σ在基12,,,n ααα下的矩阵。

此时：()()()()()()121212,,

,,,,

,n n n A σααασασασαααα==

（2）线性变换的和、乘积、数量乘积、逆变换、负变换及线性变换多项式的矩阵：

设12,,

,n ααα是数域P 上的n 维线性空间V 的一组基，(),L V στ∀∈，设

它们在12,,

,n ααα下的矩阵分别为A,B 。