第五章 因素模型

教学目的及要求 1、掌握因素模型是根据收益生成过程通过回归 分析建立的收益和风险关系的资产定价模型 2、认识因素模型与资本资产定价模型的关系 3、了解因素模型是实践中具有操作性的替代资 本资产定价模型的测定风险和收益关系的模 型
重点内容 ： 掌握因素模型的生成性质及实际运用
第一节 单因素模型 第二节资本资产定价模型与因素模型 第三节 多因素模型
• 假定上例中，α
i
=4%，β
i
=2，则
Ri 4% 2G i
这一关系也可用下面的图形表示
ri 24 20 16 12 8 4
0
·
·
· · ·
2
4
6
8
GDP
为了阐明图中所反映的数量关系，我们使用 一元回归分析的统计技术做一条直线来拟合 图中的点。那么，图中这条直线的回归方程 则为Ri=4%+2GDP 回归方程和直线都表示较高预期的 GDP与较高 的证券收益率相关联。
随后， Sharpe又鉴于马科维兹“均值－方差 组合模型”及其早期提出“单指数模型”中方 差与投资比例不呈线性关系，必须用二次规划 法求解，求解程序复杂的问题，因而于1967 年提出线性规划法，将马科维兹的组合模型以 线性规划的方式求解。根据Sharpe 进行的实 证研究，当股票种类达 20 种以上时，投资组 合的非系统风险逐渐趋于零，此时风险只剩下 了系统风险，从而只与市场因素的方差有关， 投资组合的标准差逐渐成为一个线性函数，因 此可用“线性规划法”迅速找出有效边界。
4.单因素模型的两个重要特征 1）切点组合 首先，所有证券的回报率只对一个共同的因素起 反应的假设大大地简化了确定切点组合的任务。 为了确定切点组合构成，投资者需要估计出所有 的预期回报率，方差和协方差。这可以通过估计 单因素模型中每种证券的α i、β i和ε it来完成。 当然，我们还必须知道因素的预期值F和它的标准 差 δ F ，进而可以导出弯曲的马氏有效集。最后， 对于一个给定的无风险利率，切点组合可以被确 定。 证券对因子共同作出反应的假设，使得我们没有 必要直接估计证券之间的协方差，而只需要通过 证券的敏感性和因素的方差即可获得协方差。
Ri i i RM i
一些投资者可能认为证券的回报率生成过程 仅包含一个因素，例如他们认为证券的回报 率与预期国内生产总值的增长率有关，那么 预期国内生产总值与证券回报率之间的关系 以方程形式可以表示为：
Ri i iG i




3.以回归分析得出单指数或单一因素模型 假设先考虑经济增长GDP对公司之股票收益 率的影响，即只考虑GDP变化对风险补偿的 影响。

这一分析结果可用下表表示：
变量 α α α ß ß ß 数值 正
0
与市场的比较 优于 相同 劣于 风险大 相同 风险小
负 大于1 1 小于1
我们可以运用对历史数据的回归分析估计出 市场模型中的参数，从而得出ß 值。例如，可 以计算过去5年内的月收益率，这样市场指数 和某一证券的收益率就分别有 60个观察值， 然后对这些观察值进行回归分析。ß 的观察值 越多，ß 值的估算就越准确。 而资产组合系统性风险的计算公式为ßpσm ßp=X1 ß1 +X 2 ß2 +X3 ß3 +· · · · · · · +Xnßn Xi为证券i在资产组合中所占的比重。
二、资本资产定价模型与因素模型的关系
1.实际收益与期望收益
资本资产定价模型是一个很好的模型。问题是它 是否具有现实世界的价值—它的含意是否由经验得来。 我们现在要扼要地重点讨论更基本的问题：资本资产定 价模型在原则上是否可以检验？首先，资本资产定价模 型的核心预言是，市场资产组合是一个均方差有效的资 产组合，目前无法检验。再者，资本资产定价模型暗示 了各种期望收益之间的关系，而所有我们可以观察到的 只是实际的或已实现的持有期间的收益，并且它们并不 需要等于先前的预期值。 同资本资产定价模型的简单与深入一样，我们必 须提出附加的假定条件，以使它可以起作用并可以检验。
2 p 2 p 2 p 2
其中； p X i i
2 ( ep ) X i2 2 ( ei )
上述方程表明组合的总风险也可视为有两部分 构成，这与单个证券的总风险可以分解成两个 部分一样。相应地，分别称上述方程的右边第 一项和第二项为组合的因素风险和非因素风险。 当一个组合变得更加分散时（即含有更多的证 券），每一个比例xi将变得更小，这并不导致 β p 明显的降低或升高，除非可以加进那些 β i 值相对低或高的证券。其原因正如方程 β p=∑xiβ i 所表明的， β p 仅仅是证券敏感度 β i以xi为权数的加权平均。于是，分散化导致 因素风险的平均化。
ri E(ri ) i F i
这个等式被称为股票收益的单因素模型（ single-factor model）
二、单指数模型的估计
1.单因素模型的定义 单因素模型是描述证券收益率生成过程的一种
模型，往往以指数形式出现（如 GNP 指数、股 价指数、物价指数等） , 所以又称为指数模型。 单因素模型相对 CAPM是为了解决两个问题，一 是提供一种简化地应用 CAPM的方式；二是细分 影响总体市场环境变化的宏观因素，如国民收 入、通胀率、利率、能源价格等具体带来风险 的因素。
ri iI iI rI iI
式中：r i代表某一给定时期证券i的收益率 I代表市场指数 rI代表相同时期市场指数I的收益率 ε iI是随机误差项
ß iI 代表了证券市场线的斜率，它表明了每当市 场收益变化1%，证券收益变化的程度。用市 场模型来描述证券收益，可以帮助我们确定系 统性风险和非系统性风险，证券系统性风险等 于市场收益的标准差乘以ß 值，因此，β 代表了 股票相对于市场的系统风险，非系统性风险等 于非系统性收益的标准差ζ ε 。如果β >1，表 明了此股票的风险大于市场的风险，反之，则 表明了股票的风险小于市场的风险；如果截距 aiI为正，则证券的表现要优于市场，反之，则 劣于市场。
一、系统风险与公司特有风险
由第二章的内容可知，总风险＝系统风险＋非 系统风险。其中： 1.系统风险是指整个市场所承受到的风险，如 经济的景气情况、市场总体利率水平的变化等 因为整个市场环境发生变化而产生的风险，即 每一证券的风险来源是一样的。由于市场风险 与整个市场的波动相联系，因此，无论投资者 如何分散投资资金都无法消除和避免这一部分 风险。

两个方程都表明证券的预期回报率与证券的一 个特征β i相联系，假定因素E(F)和(E(rM)-rf) 的预期回报率为正，那么特征的值越大，证券 的预期回报率就越大。在这一点上两个方程几 乎没有区别。 关键在于每个方程右边的第一项：α i和rf。 根据资本资产定价模型，决定预期收益率的唯 一特征为β iM，而rf表示无风险利率，对所有 证券都是同一个值。然而在因素模型中，决定 证券的预期收益率还有第二个特征，α i它需 要估计。正是一种证券与另一种证券α i的大 小不同，妨碍了因素模型成为一种均衡模型。
历史数据库
年
1 2 3 4 5 6
GDP增长率 （%）
5.7 6.4 7.9 7.0 5.1 2.9
证券收益率 （%）
14.3 19.2 23.4 15.6 9.2 13.0
用回归分析的方法可以得出二者的关系， 如下：
Ri i iG i
( Ri ri rf )
• 两边求期望得 E( Ri ) i i E(G)
根据指数模型，依照与等式三相似的原理，我们可 以把实际的或已实现的证券收益率区分成宏观（系 统）的与微观（公司特有）的两部分。我们把每个 证券的收益率写成三个部分的总和，也就是我们这 的等式四： 我们用大写的R代表超过无风险收益的超额收益， 把这个等式改写为等式五：
ri rf i i (rM rf ) i
例子：考虑股票 A，有 α iI =2%，ß iI =1.2 ， 这意味着股票A的市场模型为： rA 2% 1.2riI AI 因此，如果市场指数回报率为10%，则证券A的回 报率预期为14%（=2%+1.2*10%）。同样，如果市 场预期的回报率为-5%，则证券A的预期回报率为4%。 注意：由于随机误差项的存在（表示证券回报率中 没有被市场模型所完全解释的部分），当市场指数 上升 10% 或下降 5% 时，证券 A 的回报率将不会准确 地为14%或-4%。即，实际回报率和所给定市场指数 回报率之间的差额将归结于随机误差项的影响。

ri E (ri ) mi i
我们还可以得出进一步的结论，即不同企业对 宏观经济事件有不同的敏感度。因此，如果我 们记宏观因素的非预测成分为F，记证券i对宏 观经济事件的敏感度为 i ； 则证券i的宏观成分为 m F ，则上面的等式 i i 则可表达为等式山：
2.非系统风险是公司特有的风险，诸如企业 陷入法律纠纷、罢工、新产品开发失败等等ຫໍສະໝຸດ Baidu 即每一证券的风险来源是独立的。风险与整 个市场的波动无关，投资者可以通过投资分 散化来消除这部分风险。
当所有的风险都是对特定公司有影响时， 分散化就可以把风险降至任意低的水平。 这是因为所有风险来源都是独立的，任何 一种风险来源的暴露可以降低至可以忽略 的水平。当共同的风险来源影响所有的公 司时，即便是最充分的分散化亦不能消除 风险。资产组合的标准差随着证券的增加 而下降，但是它不能降至为零。
第二节、资本资产定价模型与因 素模型
一、市场模型
二、资本资产定价模型与因素模型的关系
一、市场模型(Market Model)
在实际应用过程中常用市场指数来作为影响证 券价格的单因素，此时的单因素模型被称为市 场模型。市场模型实际上是单因素模型的一个 特例。
假设一种股票在某一特定时期内的收益率与同 一时期市场指数（如标准普尔500指数）的收 益率相联系，即如果行情上扬，则很可能该股 票价格会上升，市场行情下降，则该股票很可 能下跌。因此，可以用市场模型的方程表示这 一关系：
2）分散化 单因素模型的第二个有意义的特征与分散化有 关。在前面已经说明，分散化导致系统风险的 平均化和个别风险的降低。对任何因素模型， 除了术语上用因素风险和非因素风险分别代替 系统风险和非系统风险外，上述特征总是成立 的。在单因素模型中，组合的方差由下式给出 ：
( ep )
因为投资者可以通过分散化投资降低以至于消 除非系统风险，所以持有风险分散化投资组合 的投资者比起不进行风险分散化的投资者，可 以要求相对较低的投资回报率，这样，在市场 竞争中就处于比较有利的竞争地位。市场均衡 定价将根据竞争优势者的行为来确定，因此， 市场定价的结果，将只对系统风险提供风险补 偿，只有系统风险才是市场所承认的风险。所 以，对于有风险资产而言，通过市场交易定出 的均衡价格，其收益率只包含系统风险的风险 补偿而不对非系统风险提供风险补偿。
然而，组合的更加分散化，可望使得非因素风 险δ 2(ε ep)下降。这可以通过考察方程 δ 2(ε ep)=∑xi2δ 2(ε ei)来加以说明。假设投 资者投资于每种证券的数量相等，那么可以用 1/N代替xi，即δ 2(ε ep)= ∑（1/N）2 δ 2(ε ei) = 1/N(∑δ 2(ε ei)/N）。这说明随 着组合的更加分散化，组合种证券的数目N会 越来越大，从而使得组合的非因素风险变小。 简而言之，分散化降低非因素风险。
第一节 单因素模型
一、系统风险与公司特有风险 二、单指数模型的估计
威廉.夏普（Sharpe）继马科维兹之后于1963 年提出了“单指数模型”，将“均值－方差模 型”予以简化。他认为马科维兹的投资组合分 析中，方差－协方差矩阵太过复杂不易计算， 因此提出用对角线模式来简化方差－协方差矩 阵中的非对角线元素。此模型假设证券间彼此 无关且各证券的收益率仅与市场因素有关，这 一因素可能是股票市场的指数、国民生产总值、 物价指数或任何对股票收益产生最大影响的因 素。经由夏普的模型，任一股票收益率可由单 一的外在指数来决定，这大大简化了马科维兹 资产组合模型的分析工作。