哈工大大学物理课件(马文蔚教材)-第1章力学

dx dy dz vy vz 直角坐标 v x dt dt dt
已知速度 求位置 （积分）
t
r (t ) x(t )i y (t ) j z (t )k （运动方程）
0
0
0
x(t ) x(0) vx dt
y (t ) y (0) v y dt
vx v y v z v x i v y j v z k v 方向： 切线方向 s B 2 2 2 大小： v vx v y vz A r 速率: 速度的大小 ( 标量 ) r r2 1 r s ds v v lim lim t 0 t t 0 t dt
x x(t ), y y (t ), z z (t )
y
Y
P
( x, y, z )
x
B X
A Z z o n
三. 质点的位置矢量（位矢、矢径） 用来确定某时刻质点位置（用矢端表示）的矢量。 r op Y
r r (t ) x(t )i y(t ) j z (t )k
2 2 0
v v at dv adt 0 v 0
v
vdt xdx
t
0
x
0
v v0 at
t 0
0

x
x0
dx (v0 at )dt
v v 2ax
1 2 x x x0 v0t at 2
例2
已知：
自由落体运动：
0
y
沿质点运动轨道建立y轴（正方向向下）
坐标系：固结在参考系上的一组有刻度的射线、曲线 或角度。 1.坐标系为参考系的数学抽象。 2.参考系选定后，坐标系还可任选。在同一参考系中 用不同的坐标系描述同一运动，物体的运动形式相同， 但其运动形式的数学表述却可以不同。
二. 运动方程 机械运动是物体（质点）位置随时间的改变。在坐标 系中配上一套同步时钟，可给出质点运动到各处的时 刻，从而得到质点位置坐标和时间的函数关系。该 函数关系称为质点的运动函数或运动方程。
例4
斜抛运动
二维（平面运动） 运动特点： 曲线运动 匀加速 ag 水平方向x轴 竖直方向y轴 建立坐标系： y vy v ax 0 X方向：匀速 y方向：匀加速
初始条件
(t=0) 0 0 v y 0 v0 sin o vx 0 vx v0 cos x v0t cos {v y v0 sin gt { y v t sin 1 gt 2 0 2 g 2 y xtg x 轨道函数 2 2 2v0 cos
g 2 r2 1 2 1 a t2 gt1 2 3 3 2
1 2 a2t2 2
t1 t2 t3
1-3
圆周运动
r1
r2
质点做曲线运动时，
可以看作各个瞬间做不 同曲率半径的圆周运动
ds 线速度 v dt （圆周运动速率）
角速度
d dt
v
0

s
r
s
A x
线量与角量关系： s r
t
z (t ) z (0) vz dt
t
质点运动状态变化
{
位移
瞬时加速度矢量
r
a
六 加速度
加速度：描写速度的大小和方向变化 v v2 v1 平均加速度: a 方向由速度改变量的方向来决定 t t 2 t1 (瞬时)加速度:
Y A Z o
v1
v dv d 2 r 2 a lim t 0 t dt dt
物体由三光滑轨道的顶端下滑
哪条轨道用时最短？
a1
r3
3
1 1 2 2 r a1t1 gt1 1 2 2 1 1 2 2 r2 a2t2 gt2 2 2 1 1 2 2 r3 a3t3 gt3 2 2 1 2 1 2 1 2 gt1 gt2 gt3 2 2 2
1
r1
1 a1t12 2
r
vx 0
vy
v
g
x
v v0 gt
1 2 r v0t gt 2
r xi yj 1 2 (v0 cos t ) i (v0 sin t gt ) j
2 2 1 (v0 cos i v0 sin j ) t ( gj ) t 2
x

r s
B
en A
et (t ) d ' et (t dt )
dv x d 2 x ax 2 dt dt dv y d 2 y ay 2 dt dt dvz d 2 z az 2 dt dt
质点运动状态
质点运动学中的正反问题： 位矢 r (t )
{
dr ( t ) 瞬时速度矢量 v dt
质点运动状态变化
{
位移
dv d 2 r ( t ) 瞬时加速度矢量 a dt dt 2
方向：指向圆心方向
圆周运动的加速度
切向加速度 at 法向加速度 an
d dt
速度大小变化产生的加速度
速度方向变化产生的加速度
dv 切向加速度 at 大小： at r 方向： 切线方向 dt
2 v 2 法向加速度 an 大小：a n r 方向：指向圆心 2 r dv v
力
1-1
学
第一章 质点运动学
质点运动的描述
（物体——看成“质点”
理想模型 一. 参考系和坐标系 参考系：用来描述物体运动而选作参考的物体或物体系。
1.运动描述的相对性决定描述物体运动必须选取参考系。 2.运动学中参考系可任选，不同参考系中物体的运动形式 （如轨迹、速度等）可以不同。 3.常用参考系: · 太阳参考系（太阳 ─ 恒星参考系） · 地心参考系（地球 ─ 恒星参考系） · 地面参考系或实验室参考系 · 质心参考系
d dx dy dz ( xi yj zk ) i j k dt dt dt dt
dx vx dt dy vy dt dz vz dt
质点运动学中： 质点运动状态
{
位矢
r (t )
dr (t ) v dt
瞬时速度矢量
已知位置
求速度 （求导）
圆周运动的总加速度
a 的大小
a an at dt et r en 2 r et r en 2 2 a an at
也可以采用“自然坐标系”来推导：
v (t t )
' et
C 0
v (t ) et
s
v vet det dv dv et v a dt dt dt det ? d et (1 d )en dt 2 dv v det d v a et en en en en dt r dt dt r
j
该式也叫质点的运动函数或运动方程。
r x2 y 2 z 2 x y z cos cos cos r r r
四.位移:
A Z z
y

P
o
r
n
A
x
B
k
M
i
B
X
S
r r (t t ) r (t ) r2 r1 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 )k
v (v )n (v )t
线量与角量关系：a dv rd r t dt dt
d 角加速度 dt
v (t ) v (t t )
C
s

(v )n
r
B
v
s
A x
(v )t

v (t )
0
v (t t )
v BC | (v ) n | lim lim 法向加速度 an 大小： an t 0 t t 0 rt vs v s v (v ) n BC lim v lim t 0 rt r t 0 t r v r v2 an r
dr vdt
位矢
1 2 r r r0 vot at 2
1 2 r r0 vot at 2
vx vx 0 axt 瞬时速度 分量式 v y v y 0 a y t v v at 矢量式 0 vz v z 0 a z t
1 2 x x0 v0 xt axt 2 1 2 分量式 y y v t 1 a t 2 位矢 r r0 vot at 0 0y y 2 2 1 2 z z0 v0 z t az t 2
v r
ds rd
对匀速圆周运动：
T
2

v (t ) v (t t )
0

(v )n
s
v
r
s
A x
(v )t

v (t )
v (t t )
(v ) n (v )t dv v a lim lim lim an at t 0 t t 0 t 0 dt t t dv v 切向加速度 at 大小： at lim 方向：切线方向 t 0 t dt
(t=0)
求： y (t ) ? 解： 同理可得
a g y0 0 v0 0
v(t ) ?
1 2 y gt 2
g
v 2 gy
2
v
y
(t) y
g
v gt
例3
竖直上抛物体运动：
v0 0 沿质点运动轨道建立y轴（正方向向上） 0 a g （向下） v v gt y v t 1 gt 2 0 0 2 v0 0（向上） 可以看出：这是位移公式，不是路程公式！
例1
匀加速直线运动
x 0 a为常量 (t=0) 一维
运动特点：直线运动 匀加速
v
(t)
a
x
设质点运动轨道为x轴 已知：a 和 初始条件 (t=0) 解：
反问题：已知加速度 求速度
t
{
x0 ( x0 0)
v0
x(t ) ? 求： v(t ) ?
求位置（运动函数） （积分）
dv 由a dt dx 由v dt
dvz j k dt d 2z j 2 k dt
B v
v2
v2 X
dvx dv y i dt dt d 2x d 2 y 2 i 2 dt dt
ax i a y j az k ax a y az
方向: 指向轨道曲线凹下的一侧
dv 解： 由 a dt
1-2
加速度为恒矢量时的质点运动
dv adt
瞬时速度矢量

r r0
v
v0
dv adt
0 t
t
v v0 at
由
v v0 at
dr (v0 at )dt
0
1 2 r r0 v0t at 2
位移
dr (t ) v dt
求速度
r r2 r1
正问题：已知位置（运动函数） 反问题：已知加速度 求速度
求加速度 （求导）
求位置（运动函数） （积分）
r (t ) x(t )i y (t ) j z (t )k （运动方程）
r0 初始条件 { 已知： a 为常矢量（其大小和方向都不变） (t=0) v0 求： v (t ) ? r (t ) ?
{y
x0 0 vx 0 v0 cos
ay g
vy0
v0
(x y)
vx
g x

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矢量分析方法：
a g gj
v0 v0 x i v0 y j v0 cos i v0 sin j
v0t
y
vy0
1 2 gt 2
v0
(x y) vx
v vx i v y j v0 cos i (v0 sin gt ) j o (v0 cos i v0 sin j ) ( gj )t
r1
O
r
r2
N
大小： r x 2 y 2 z 2
问题：
| r | ? r
五.速度
速度：运动快慢程度和方向 平均速度: (瞬时)速度 :
r2 r1 r v t t
r dr v lim t 0 t dt