线性目标规划

在一个规划问题中，决策者在要求达到这些目标时， 是有轻重缓急的，称这些目标是属于不同层次的优先等 级。优先等级层次的高低可分别通过优先因子P1，P2，… 表示，并规定Pk ＞＞Pk＋1，符号“＞＞”表示“远大 于”，表示Pk与Pk＋1，不是同一各级别的量，即Pk与Pk＋1 有更大的优先权。
对属于同一层次优先等级的不同目标，按其重要程度 可分别乘上不同的权系数。权系数是一个个具体数字， 乘上的权系数越大，表明该目标越重要。
规划模型：
max Z 6 x1 8 x 2
5 x1 10 x 2 60 s.t. 4 x1 4 x 2 40
x1
,
x2
0
解得最优生产计划为 x1 8 件，x2 2 件，
利润为 zmax 64元。
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如果工厂作决策时可能还需根据市场和工厂实 际情况，考虑其它问题，如： （1）由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不 超过产品Ⅰ的一半； （2）原材料严重短缺，原料数量只有60； （3）最好能节约4小时设备工时； （4）计划利润不少于48元。
负偏差，因此在这些约束中加入正、负偏差变量，是
软约束。
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①目标函数变为目标约束
线性规划问题的目标函数，在给定目标值和偏差 变量后可变换为目标约束。
比如：计划利润不少于48元。
6x1 8x2
6x18x2dd48
这样就将目标函数则转化为目标约束。
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②绝对约束变为目标约束
一般来说，可能提出的要求只能是以下三种情况 之一，对应每种要求，可分别构造目标函数：
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构造目标函数的方法
x1x2dd0
• 如希望产品Ⅰ 产量恰好等于产品Ⅱ的产量 ，即正、 负偏变量都要尽可能地小，这时目标函数是：
mzi nf(dd)
• 如希望产品Ⅰ 产量低于产品Ⅱ的产量 ，即允许达不 到目标值，正偏差变量要尽可能地小, 这时目标函数是：
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目标规划问题实例
例1：工厂生产两种产品，受到原材料供应和设 备工时的限制。在单件利润等有关数据已知的条件 下，要求制订一个获利最大的生产计划，具体数据 见下表。
产品
ⅠⅡ
原材料(kg/件)
5
10
设备工时(h/件) 4
4
利润(元/件)
6
8
限量 60 40
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4
设产品Ⅰ、Ⅱ的产量分别为 x1, x2 ，建立线性
d＋——超出目标值的差值，称正偏差变量；
d－——未达到目标值的差值，称负偏差变
量；
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• 当实际值超出目标值时，有d－＝0， d＋＞0； • 当实际值未达到目标值时，有d＋＝0，d－＞0 ； • 当实际值同目标值恰好一致时， d＋＝ d－ ＝ 0 。
注意 :d,d中 ,至少有一 ,即 个 dd为 0零 。
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2、目标规划的基本概念
（1）目标值和正、负偏差变量
目标规划通过引入目标值和正、负偏差变量。
所谓目标值是预先给定的某个目标的一个期望值。 实际值（或决策值）是当决策变量x1、x2、…、xn选定 以后目标函数的对应值。显然，实际值和目标值之间 会有一定的差异，这种差异称为偏差变量(事先无法确 定的未知量)，用d＋和d－表示。
miznf(d)
• 如希望产品Ⅰ 产量不低于产品Ⅱ的产量 ，即要求超
过目标值，不得低于目标值，负偏差变量尽可能地小，这
时目标函数是： miznPPT学f习(交d流 )
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例1中目标函数的构成
x12x2dd0
希望产品 Ⅱ产量不超过产品Ⅰ产量的一半，即正偏差
变量要尽可能地小，不希望上式中的d＋＞0，这时目标函
P划的目标函数－－准则函数
从决策者的要求分析：总希望得到的结果与规 定的目标值间的偏差愈小愈好，由此决策者可根据 自己的要求构造一个使总偏差量为最小的目标函数， 这就是目标规划的目标函数称为准则函数，记为
m Z ifn d ,d
即目标函数是正、负偏变量的函数。
数是：
mind
4x14x2dd36
希望能节约4小时设备工时，即正偏差变量要尽可能 小，不希望上式中的d＋＞0，这时目标函数是：
midn
6x18x2dd48
希望计划利润不少于48元，即负偏差变量尽可能小，
不希望上式中的d－＞0，这时目标函数是：
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mind
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（5）满意解
目标规划问题的求解是分级进行的，首先要求满足P1 级目标的解；然后再保证 P1级目标不被破坏的前提下，再 要求满足P2级目标的解；…依次类推。总之，是在不破坏 上一级目标的前提下，实现下一级目标的最优。因此，这
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1、问题的提出
• 线性规划是在一组线性约束条件下，寻求某一项 目标的最优值，而实际问题往往要考虑多个目标的 决策问题。 • 如核电站的设计问题，传统的单目标规划只允许 设定一个目标，那么单一目标选择什么？电站建设 费用最低，安全运行的可靠性最高，电能输出最大， 对周围环境的影响最小。显然，上述目标都很重要， 且又互相矛盾。这是一个多目标决策问题，普通的 线性规划是无能为力的。
该约束的右端项看作目标值，再引入正、负偏差
变量即可。
x2
1 2
x1
或
x12x2 0
此为系统约束
x12x2dd0
在达到此目标值时允许发生正或负偏差，因此在 这些约束中加入正、负偏差变量，它们是软约束，在 给定目标值和加入正、负偏差变量之后，可以将绝对 约束转化为目标约束。
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（3）优先因子（优先等级）与权系数
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（2）绝对约束与目标约束
绝对约束又称系统约束，是指必须严格满足的等
式和不等式约束，如线性规划问题的所有约束都是绝
对约束，不满足这些约束条件的解称为非可行解，所
以它们是硬约束。
原材料严重短缺，原料数量只有60；
5x110 x260 目标约束是目标规划特有的，可把约束右端看做
要追求的目标。在达到此目标值时允许发生正偏差或
第5章 线性目标规划 (Goal Programming)
一、目标规划概述 二、目标规划的数学模型 三、目标规划的图解法 四、目标规划的单纯形法
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一、目标规划概述
• 线性规划在实践中得到广泛应用，但有两个方 面不足：一是不能处理多目标的优化问题；二是 其约束条件过于刚性化，不允许约束资源有丝毫 超差。 • 目标规划是为了解决这一不足而创建的一类数 学模型。