2015届高考数学总复习第二章 函数与导数第10课时 函数与方程课时训练

第二章 函数与导数第10课时 函数与方程

1. 函数f(x)＝23x ＋1

＋a 的零点为1，则实数a ＝_________． 答案：－12

解析：f(1)＝231＋1

＋a ＝0a ＝－12. 2. 用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2，3]上的近似解，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有解区间为________．

答案：[2，2.5]

解析：令f(x)＝x 3－2x －5，则f(2)<0，f(2.5)>0，f(3)>0，可知下一个有解区间为[2，2.5]．

3. 函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x ＋x 2－2的零点个数是________．

答案：2

解析：在同一坐标系内作出函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫13x 与g(x)＝2－x 2的图象，两图象有两个交点．

4. 关于x 的方程 x 2－(2m －8)x ＋m 2－16＝0的两个实数根 x 1、x 2 满足 x 1<32

答案：⎝⎛⎭

⎫－12，72 解析：令f(x)＝x 2－(2m －8)x ＋m 2－16，则f ⎝⎛⎭⎫32<0.

5. 已知函数f(x)＝13

x 3＋x 2＋(2a －1)x ＋a 2－a ＋1，若f′(x)＝0在(1，3]上有解，则实数a 的取值范围为_____________．

答案：[－7，－1)

解析：由题意得f′(x)＝x 2＋2x ＋2a －1＝0，所以a ＝12(－x 2－2x ＋1)＝－12

(x ＋1)2＋1，当1

6. 若x 0是方程a x ＝log a x(0

解析：在同一坐标系中画出函数y ＝a x 与y ＝log a x 的图象，由图象知x 0<1.又log a x 0<1＝log a a ，∴ x 0>a.

7. 已知函数f(x)＝log a x ＋x －b(a>0且a ≠1)．当2

n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________．

答案：2

解析：因为函数f(x)＝log a x ＋x －b(2log a a ＋3－b ＝4－b>0，所以x 0∈(2，3)，即n ＝2.

8. 设f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f(x ＋4)＝f(x)，且当x ∈[0，2]时，f(x)＝2x －1.若在区间(－2，6]内关于x 的方程f(x)＝log a (x ＋2)恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是________．

答案：(34，2)

解析：因为f(x)是偶函数，所以当x ∈[－2，0]时，f(x)＝⎝⎛⎭⎫12x

－1，又f(x ＋4)＝f(x)，知

f(x)是周期为4的函数，而方程f(x)＝log a (x ＋2)有3个不同的实数根，即为函数f(x)与y ＝log a (x

＋2)有三个不同的交点，在同一坐标系下画出两函数图象，易得a 的取值范围是(34，2)．

9. 已知关于x 的方程32x －m·(3x ＋1－1)＋2m·3x ＋m －1＝0有两个不同的正实根，求m

的取值范围．

解：设3x ＝t(t>0)，原方程化为t 2－mt ＋2m －1＝0 ①，原问题等价于方程①有两个不同的根，且两根均大于1，

∴ ⎩⎪⎨⎪⎧m 2

>1，1－m ＋2m －1>0，Δ＝m 2

－4（2m －1）>0， 解得m>4＋2 3.

10. 已知函数f(x)＝12

lg(kx)，g(x)＝lg(x ＋1)． (1) 求f(x)－g(x)的定义域；

(2) 若方程f(x)＝g(x)有且仅有一个实数根，求实数k 的取值范围．

解：(1) 由题意得，⎩

⎪⎨⎪⎧kx>0，x ＋1>0，若k>0，则定义域为(0，＋∞)；若k<0，则定义域为(－1，0)．

(2) 由f(x)＝g(x)，得kx ＝x ＋1，此方程在定义域内有且仅有一个解，考查y ＝kx 与y ＝x ＋1的图象，当k>0时，解得k ＝4；当k<0时，恒成立，从而k 的取值范围是k ＝4或k<0.

11. 已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋(b －a)x(b ≠2a 且ab ≠0)．

(1) 求证：函数f(x)的导函数f′(x)在区间⎝

⎛⎭⎫－1，－13内有唯一零点； (2) 试就a 、b 的不同取值情况，讨论函数f(x)的零点个数．

(1) 证明：因为f′(x)＝3ax 2＋2bx ＋(b －a)，

所以f′(－1)＝2a －b ，f ′⎝⎛⎭⎫－13＝－13

(2a －b)． 因为b ≠2a ，所以f′(－1)·f′⎝⎛⎭⎫－13＝－13

(2a －b)2<0， 故f′(x)在区间⎝

⎛⎭⎫－1，－13内有唯一零点． (2) 由f(x)＝0，得ax 3＋bx 2＋(b －a)x ＝0，即x ＝0或ax 2＋bx ＋(b －a)＝0，(*)因为方程

(*)的判别式Δ＝(b －2a)2>0(b ≠2a)，所以方程(*)有两个相异的实根．

故当x ＝0不是方程(*)的根，即a ≠b 时，f(x)有3个零点；

当x ＝0是方程(*)的根，即a ＝b 时，f(x)有2个零点．