力_力矩_力偶
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力矩和力偶矩的概念
力矩和力偶矩的概念力矩和力偶矩是物理学中的基本概念，它们在机械、力学等领域中应用广泛。
下面将详细地介绍它们的含义和相关概念。
一、力矩力矩，也称为力臂矩，是指力在某一点的偏转能力，即力通过某一点产生的旋转效应。
在物理学中，力矩的计算公式为：M=F*d，其中M 表示力矩，F表示作用力，d表示作用力对应的力臂。
通常我们用N·m 来表示力矩的单位。
力矩的方向与力的方向垂直，遵循右手定则，即以力为轴心，右手四指指向力的方向，拇指的方向就是力矩的方向。
下面简单介绍一下力矩的几种类型：1. 静止力矩：当物体处于静止状态时，力的作用点到旋转轴的距离与力的大小乘积就是静止力矩。
静止力矩越大，物体的旋转就越困难。
2. 动态力矩：当物体处于运动状态时，动态力矩就是作用在物体上的动态力量产生的效应。
动态力矩通常通过对物体的角加速度进行计算得出。
3. 平衡力矩：在物体处于平衡状态时，所有的力矩相互抵消，这些力矩被称为平衡力矩。
判断物体是否处于平衡状态时，可以通过计算平衡力矩来得出结论。
4. 转动惯量：在计算力矩时，还需要用到转动惯量的概念。
转动惯量是物体绕一个轴旋转时所需要的力矩与角加速度之比。
通常我们用kg·m2表示转动惯量的单位。
二、力偶矩力偶矩，也称为耦合力矩，是指通过两个相等作用力产生的旋转效应。
力偶矩的大小等于两个相等作用力的大小乘积再乘以它们之间的距离。
力偶矩的方向垂直于作用力的方向，并且遵循右手定则。
下面简单介绍一下力偶矩的几种性质：1. 力偶矩平面：将力偶矩所产生的旋转轴称为力偶矩平面。
通常情况下，力偶矩平面是由两个作用力之间的连线和它们施加力的垂线所构成的。
2. 产生力偶矩的条件：只有在作用力方向相反、大小相等，并且在同一平面内的两个力才能产生力偶矩。
3. 力偶矩的效应：力偶矩可以使物体产生旋转效应，但同时也会改变物体的转动惯量。
因此，力偶矩会对物体的旋转产生影响。
总之，力矩和力偶矩是物理学中非常重要的概念。
力系的简化和平衡-2.2力矩和力偶
定理叙述：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等
于各分力对同一点力矩的代数和
n
M o FR
M o Fi
i 1
定理证明：
FR
F1
r
A
O
Fn
F2 Fi
若 n 个力汇交于A点，则其合力为：
n
FR F1 F2 Fn Fi
i 1
r 用 同时矢积上式两端
r FR
r F1
zFx
xFz
j
xFy yFx k
由此可得：
M x
F
yFz zFy
M y
F
zFx xFz
M z F xFy yFx
Fz Fx Fy
18
力矩的单位： N m 或 kN m
B
Mo(F)
r
O
h
F
A
③力对点之矩矢的性质： a) 当力沿其作用线移动时，
M O F 保持不变。
12
①力对点之矩矢的概念 力对刚体产生的绕点转动效应取决于三要素： a.强度：力与力偶臂乘积 b.方位：转动轴的方位 c.方向：转动方向
13
力矩矢量的方向
MO
r
F
按右手定则
MO r F
14
②力对点之矩矢的矢量积和解析表达式
B
Mo(F)
r
O
h
F
A
力矢： F Fx , Fy , Fz
求： 光滑螺柱AB所受水平力。
解：由力偶只能由力偶平衡的 性质，其受力图为：
M 0
FAl M1 M 2 M 3 0
解得
FA
FB
M1
M2 l
M3
200N
1-2 力矩、力偶、力的平移
汽车制动踏板 力矩平衡实例
绕定点转动的物体平衡的条件是 ：各力对转动中心 O 点的矩的代数和等于零，即合力矩为零。用公式表示为：
力矩平衡实例
双动气缸均压式夹紧装置
双动气缸均压式夹紧装置
二、力偶
力偶实例
攻螺纹 观察思考 力偶实例
1．力偶的概念 力偶—— 一对等值、 反向且不共线的平行力， 用符号 （F， F′） 表示。 两个力作用线之间的垂直距离称为力偶臂，两个力作用线 所决定的平面称为力偶的作用面。
2．力偶的特性
（1）力偶中的两个力在力偶的作用面内任一坐标轴上 的投影的代数和等于零，因而力偶无合力，同时也不能和 一个力平衡，力偶只能用力偶来平衡。
（2）力偶对其作用面内任一点的矩恒为常数，且等于 力偶矩，与矩心的位置无关。
力偶在作用面内移动和转动
推论1： 力偶可在它的作用面内任意移动和转动，而 不改变它对物体的作用效果。 推论2：同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，只 要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，就不会改变力偶 对物体的作用效果。
§1—2
力矩、力偶、力的平移
了解力矩、力偶、力向一点平移的结果。 一、力矩 1．力对点的矩
推门
拧螺母
力 F对点 O 的矩定义为：力的大小 F 与力臂h的乘积 冠以适当的正负号，用符号 MO（F）表示。通常规定：力 使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。
力矩的单位名称为牛顿米（ N·m）。
MO(F)＝±Fh
力矩总是相对于矩心而言的，不指明矩心来 谈力矩是没有任何意义的。也即：作用于物体上 的力可以对任意点取矩，矩心不同，力对物体的 力矩也不同。
观察思考
2．合力矩定理 平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩， 等于力系 中各分力对同一点力矩的代数和。 即：
第2章力、力矩、力偶
同样，在图 中线段aˊbˊ加上正号或负号是力F在y 轴上的 投影，用Fy 表示。 通常采用力F与坐标轴x所夹的锐角来计算投影，其正号或 负号可根据上述规定直观判断得出。由图可见，投影 Fy 和 可用下列式子计算 F
x
Fx F cos a Fy F sin a
•式中α 为力F与x轴所夹的锐角。
2. 加减平衡公理
在作用于某物体的力系中，加入或减去一个平衡力系， 并不改变原力系对物体的作用效果。这是因为一个平衡力系 作用在物体上，对物体的运动状态是没有影响的，所以在原 来作用于物体的力系中加入或减去一个平衡力系，物体的运 动状态是不会改变的，即新力系与原力系对物体的作用效果 相同。
推论(力的可传性原理)：作用在物体上的力可沿其作用 线移到物体的任一点，而不改变该力对物体的运动效 果。
对一个物体的运动趋势起制约作用的装置，我们称之为该物 体的约束。例如上面所提到的柱子是大梁的约束，基础是柱子 的约束，桥墩是桥梁的约束。约束给被约束物体的力，称为约 束力。 如上例中绳给球的作用力，柱子给梁的力。约束力作用点， 在约束与被约束物体的接触点上。
约束力方向：与约束所阻碍的物体运动方向相反。如上 图中约束力T 的方向与球向下运动的方向相反。 约束力大小：可由平衡条件求得。 物体受到的力一般可以分为两类。一类是使物体运动或使物 体有运动趋势的力，称为主动力，例如重力、水压力、土压力 等。主动力在工程上称为荷载。主动力往往是给定的或可测定 的。另一类则是约束力。约束力是阻止物体脱离约束的力，是 因其阻碍物体的运动而产生对物体的作用力，这种作用力因主 动力的存在而被动产生，并随着主动力的变化而改变，又称为 被动力或约束反力，简称反力。一般情况下，约束力都是未知 的。
图1-7
力 力矩、力偶
力的转动效应——力矩 M 可由下式计算：
M = ± FP ·d
式中：FP 是力的数值大 小，d 是力臂，逆时针转取 正号，常用单位是 KN-m 。 力矩用带箭头的弧线段表示。
集中力引起的力矩直接套用公式进行计算； 对于均布线荷载引起的力矩，先计算其合力，再 套用公式进行计算。
例 1
求图中荷载对A、B两点之矩
力偶系的平衡 显然，当物体平衡时，合力偶必须为零，
即：
M 0
上式称为力偶系的解析平衡条件。
物体的受力分析与受力图 研究力学问题，首先要了解物体的受力状 态，即对物体进行受力分析，反映物体受力状 态的图称为受力图。
受力图的绘制步骤为：
1. 取分离体； 2. 画已知力； 3. 画约束反力。
例 重量为的小球，按图1.23(a)所示放置，试 画出小球的受力图。 解 (1)根据题意取小球为 研究对象。 (2)画出主动力：主动力 为小球所受重力。 (3) 画出约束反力：约束 反力为绳子的约束反力以 及光滑面的约束反力。 小球的受力图如图1.23(b) 所示。
第2章 力、力矩、力偶
力的定义 力是物体间相互间的机械作用。 力的效应 使物体的机械运动状态发生改变，叫做力的
运动效应或外效应。使物体的形状发生改变，叫
做力的变形效应或内效应。 力的三要素 力的大小、方向、作用点称为力的三要素。
力的表示法
力是一个矢量，用带箭
头的直线段来表示，如右图 所示（虚线为力的作用线）。 力的单位
例 2
图中力对A点之矩
解：将力F沿X方向和Y方向
等效分解为两个分力，由 合力矩定理得：
M A Fx d x Fy d y
由于 dx = 0 ，所以：
2 M A Fy d y 20 2 28.28kN m 2
力矩和力偶
公法线
G
A FN
公切线
节圆
20 FN
FN 20 压力角
车轮与钢轨
光滑点接触：
B
FNB
凸轮与顶杆
A
FNA FNA A
两轮齿啮合
O
G
B FNB
C FNC
FR
滑槽与销钉
滑道、导轨：约束力垂直于滑道、导轨，指向待定。
A O
B
FNB
3. 光滑铰链约束
(1) 光滑圆柱铰链 (中间铰链)约束
两个或两个以上物体上做出相同直径的孔并用一 个圆柱形销钉连接起来，即构成圆柱铰链（又称为中 间铰链）。
向，则投影为正
试分别求出图中各力在X轴和Y轴上投影。
已知 F1 100N F2 150N F3 F4 200N ，各力方向如图所示。
【解】可得出各力在x，y轴上的投影为
，
F1x F1 cos 45 100N 0.707 = 70.7N
，
F1y F1 sin 45 100N0.707 = 70.7N
R
F2
F1 a b cx 合力的投影
y
Rx
Ry R
x
试分别求出图中各力的合力在x轴和y轴上投影。
已知 F1 20N F2 40N F3 50N ，各力方向如图所示。
【解】 可得出各力的合力在x、y轴上的投影为
FRx
Fx F1 cos 90 F2 cos 0 F3
3 32 42
，
直于销钉轴线的平面内，通过铰链的中心，
方向未知，常用过铰链中心的两个正交分力
表示 。
A
FAx
FAy A
FAx
FAy
A
B
B
G
A FN
公切线
节圆
20 FN
FN 20 压力角
车轮与钢轨
光滑点接触：
B
FNB
凸轮与顶杆
A
FNA FNA A
两轮齿啮合
O
G
B FNB
C FNC
FR
滑槽与销钉
滑道、导轨：约束力垂直于滑道、导轨，指向待定。
A O
B
FNB
3. 光滑铰链约束
(1) 光滑圆柱铰链 (中间铰链)约束
两个或两个以上物体上做出相同直径的孔并用一 个圆柱形销钉连接起来，即构成圆柱铰链（又称为中 间铰链）。
向，则投影为正
试分别求出图中各力在X轴和Y轴上投影。
已知 F1 100N F2 150N F3 F4 200N ，各力方向如图所示。
【解】可得出各力在x，y轴上的投影为
，
F1x F1 cos 45 100N 0.707 = 70.7N
，
F1y F1 sin 45 100N0.707 = 70.7N
R
F2
F1 a b cx 合力的投影
y
Rx
Ry R
x
试分别求出图中各力的合力在x轴和y轴上投影。
已知 F1 20N F2 40N F3 50N ，各力方向如图所示。
【解】 可得出各力的合力在x、y轴上的投影为
FRx
Fx F1 cos 90 F2 cos 0 F3
3 32 42
，
直于销钉轴线的平面内，通过铰链的中心，
方向未知，常用过铰链中心的两个正交分力
表示 。
A
FAx
FAy A
FAx
FAy
A
B
B
工程力学中的力矩与力偶分析
工程力学中的力矩与力偶分析工程力学是一门研究物体受力和作用力的学科，其中力矩与力偶是重要的概念与分析方法。
力矩是力的旋转效果，力偶则是由一对大小相等、方向相反的力构成，它们在工程力学中有着广泛的应用。
一、力矩的概念和计算方法力矩是衡量力的旋转效果的物理量，它描述了力对物体的转动影响。
在工程力学中，力矩的计算方法可以通过以下公式得到：M = F * d其中，M表示力矩，F表示作用力的大小，d表示作用力与旋转中心之间的距离。
根据右手定则，力矩的方向垂直于力的方向和d的方向。
力矩的计算可以分为静力矩和动力矩。
静力矩指的是静止物体受到的力矩，可以通过将物体划分为若干个力的作用点与旋转中心所连接的有无数个线段，然后将每个力的大小乘以其所对应的线段长度再求和得到。
而动力矩指的是动力学过程中物体受到的力的时间积分。
二、力偶的概念和特点力偶是由一对大小相等、方向相反的力构成的力对，它们具有相同的力臂，而力臂是力偶的重要特点之一。
力臂是指力偶成对的两个力的作用线之间的距离，力偶的力臂相等且方向相反。
力偶与力矩的区别在于，力偶是由两个力构成的力对，其作用线重合，而力矩是由单个力与旋转中心构成的，其作用线不重合。
力偶的特点使其在工程力学中被广泛应用于杆件受力分析、结构分析等领域。
三、力矩与力偶在工程力学中的应用1. 杆件受力分析：力矩与力偶常用于杆件受力分析中。
通过计算力对杆件的力矩和力偶，可以确定杆件上不同部位的受力情况，从而为工程设计提供依据。
例如，在悬臂梁的分析中，力矩与力偶的运用可以帮助工程师确定悬臂梁上的最大弯曲应力点，从而合理设计悬臂梁的支撑结构。
2. 结构分析：在结构分析中，力矩与力偶也起着重要的作用。
通过力矩与力偶的计算，可以确定结构中不同部位的受力情况，进而判断结构的稳定性。
例如，在桥梁的设计中，通过计算桥梁支点处的力矩和力偶，可以评估桥梁的承载能力，及时发现结构中存在的问题并采取相应的加固措施。
3. 机械运动分析：在机械工程中，力矩与力偶的分析也被广泛应用于机械运动的研究。
第2章力、力矩、力偶
FNB
AP
B
24
例题2-3 解：
作圆柱O受力图。
C
AO B FW
FT
C
A
FNA
O FW
B
FNB
25
例题2-4
屋架受均布风力 q（N/m），屋架重为 P，画出 屋架的受力图。
26
解：取屋架
P
画出简图
P FAy
画出约束力
画出主动力
FAx
P
FN
B
27
例题2-5
水平均质梁 AB重为 P1 ，电动机重为 P 2 ， 不计杆 CD自重，画杆 CD 和梁 AB的受力图。
MB = 4×2×1 = 8 kN ·m
45
例题：p22 2-7 已知：F=1kN，钢筋混凝土ρ1=2600kg/m3，
砖砌体ρ2=1900kg/m3，如图。问雨篷是否绕A 点倾覆？
46
二、 合力矩定理
平面内合力对任一点之矩，等于各分力对同一
点之矩的代数和。
F1
M 0(R)M 0(F1)M 0(F2) M 0(Fn)
作用线相同，但指向相反，并同时分别作用于这两 个物体上。
[例] 吊灯
二力作用在不同的物体上 在画物体受力图时要注意此公理的应用。
15
三、力的合成与分解 1、力的合成 几何方法：按力平行四边形法则对力进行合成。
1
A
2
F2
按比例作图——力三角形
F1 F1
R A 1
1800
2 F2 R
16
1、力的合成
力称为该力系的合力，而力系中的各个 力称为该合力的一个分力。
4
力的效应
外效应—改变物体运动状态的效应 内效应—引起物体变形的效应
建筑力学 第2章 力力矩力偶
图（a)
图（b)
4、作用与反作用定律 两物体间相互作用的力（作用力与反作力） 同时存在，大小相等，作用线相同而指向相反。
这一定律就是牛顿第三定律，不论物体是 静止的或运动着的，这一定律都成立。
与二力平衡区别，作用于两个物体上。
FT FT
P
P
y
y
A
o
B
b1 Fy a1 A
b
x o
Fx
FB
Fy
I
E
D
出各构件的受力图。 P
例 题 1-4
解：
1. 杆 AB 的受力图。
FAB
C
A
B FBA
2. 杆 BC 的受力图。
A
45
H B F
FBy
FCB
C
H
45
B F
FBx
I
E
D
FTH
FTF
B
FBC
P
3. 轮 B (B处为没 有销钉的孔）的受
力图。
例 题 1-4
5. 轮 D 的受力图。 4. 销钉 B 的受力图。
支座特点：允许结构绕A转动，但不能移动。 约束反力：通过铰A的中心，但指向和大小均未知。
5. 可动铰支座 在固定铰支座下面加几个辊轴支承于平面上，就构成可 动铰支座。 支座特点：限制了杆件的竖向位移，但允许结构绕铰作 相对转动，并可沿支座平面方向移动。 约束反力：作用点确定，即通过铰中心并与支承平面相 垂直，但指向未知。
图 a 平行光线照射 下物体的影子
a
图b 力在坐标轴上的投影
a
Fx
b
x
由图b知，若已知力 F 的大小 和其与x轴、y轴的夹角为 ，则力在x、y轴上的投影为 、
1.5力偶与力偶矩
力偶的三要素
1.力偶矩的大小 2.力偶在作用平面内的转向 3.力偶的作用面
力偶的特性
1、力偶没有合力，不能与一个力平衡，只能用力偶来平衡。 2、力偶对物体的转动效果可用力偶矩来度量。 3、凡是三要素相同的力偶都是等效力偶，可以相互代替。
§3.2 力偶与力偶矩
三、力偶与力偶矩的性质
相同点
使物体转动状态பைடு நூலகம்变。
力偶矩是矢量，逆时针为正，顺时针为正。
力偶的三要素和特性
力偶在作用面内可以任意移动和转动， 而不改变它对物体的作用。
力偶的转动作用 取决于力偶矩， 在同一平面内凡 是力偶矩相同的 力偶，一定是等 效力偶。
不改变力偶矩的大小和转动条件下同时改 变力偶中力的大小和力偶臂，不改变它对 物体的转动作用效果。
力矩 不同点 不同点 力偶
转动效应与矩心有关
对作用面内任一点矩 为常数，即等于力偶 矩。
小结
• • • • • • 力偶 力偶臂 力偶矩 力偶矩公式 力偶三要素 力偶三特性
§3.2 力偶与力偶矩
一、 力偶
1、力偶：由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成 的。 m F , F 记作 2、力偶臂：力偶中两力之间的垂直距离。
§3.2 力偶与力偶矩
二、力偶矩
M F , F F d
力偶矩记作 mF , F 或m
d ——力偶臂，m F——力的大小，N m——力偶矩，N . m
力偶与力偶矩
§3.2 力偶与力偶矩
一、 力偶
由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的 力系称为力偶，记作
No Image
§3.2 力偶与力偶矩
二、力偶矩
力偶中两力所在平面称为力偶作用面 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂 两个要素 a.大小：力与力偶臂乘积 b.方向：转动方向
力偶矩
No Image
§3.2 力偶与力偶矩
三、力与力偶矩的性质
(1).力偶在任意坐标轴上的投影等于零.
(2).力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡. (3) .力偶对任意点取矩都等于力偶矩， 不因矩心的改变而改变.
§3.2 力偶与力偶矩
No Image
No Image
No Image
力矩的符号
No Image
力偶矩的符号 M
一、 力偶
由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的 力系称为力偶，记作
No Image
§3.2 力偶与力偶矩
二、力偶矩
力偶中两力所在平面称为力偶作用面 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂 两个要素 a.大小：力与力偶臂乘积 b.方向：转动方向
力偶矩
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§3.2 力偶与力偶矩
三、力与力偶矩的性质
(1).力偶在任意坐标轴上的投影等于零.
(2).力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡. (3) .力偶对任意点取矩都等于力偶矩， 不因矩心的改变而改变.
§3.2 力偶与力偶矩
No Image
No Image
No Image
力矩的符号
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力偶矩的符号 M
力、力矩与力偶
M = ± FP ·d
式中：FP 是力的数值大小，d 是力臂，逆时针转动取正号，常 用单位是 KN-m 。
力矩的特性： 1、力作用线过矩心时：力矩为零； 2、力沿作用线移动时：力矩不变。
合力矩定理 一个力对一点的力矩等于它的两个分力对同一点之矩的代数和 (依据力的合成与分解的等效原理, 或取特殊点为矩心,其中一个
合力为原两力的矢量和(矢量表达式：R=F1+F2)
作用和反作用公理 任何两个物体间的相互作用的力，总是大小相等、方向
相反、作用线相同，分别作用于这两个物体上。
加减平衡力系公理 可以在作用于刚体的任何一个力系上加上或去掉
几个互成平衡的力，而不改变原力系对刚体的作用。
推论1：力的可传性定理 作用于刚体上的力，其作用点可以沿着作用线在该刚体内部 移动，而不改变它对该刚体的作用。
力偶性质1：力偶不能合成为一个力，也不能与一个力平衡，力 偶与力是力学的两个基本要素。
力偶性质2：力偶的转动效果与矩心位置无关，由力偶矩确定 （力偶矩的大小及转向）。
平面力偶系的合成:
作用在平面物体上的一组力偶称为一个平面力偶系。力偶系的 合成结果为一个合力偶M
M M1 M2 Mn M 平面力偶系平衡的充要条件： M 0
处于静止状态)的力系。 二力平衡公理
要使刚体在两个力作用下维持平衡状态，必须也只须这两个力
大小相等、方向相反、沿同一直线作用。
受两个力作用而处于平衡状态的杆件或构件(忽略构件自重) 称为二力杆件（简称为二力杆）或二力构件。
力的平行四边形法则： 作用于物体上任一点的两个力可 合成为作用于同一点的一个力，即合力。合力的矢由原 两力的矢为邻边而作出的力平行四边形的对角矢来表示。
式中：FP 是力的数值大小，d 是力臂，逆时针转动取正号，常 用单位是 KN-m 。
力矩的特性： 1、力作用线过矩心时：力矩为零； 2、力沿作用线移动时：力矩不变。
合力矩定理 一个力对一点的力矩等于它的两个分力对同一点之矩的代数和 (依据力的合成与分解的等效原理, 或取特殊点为矩心,其中一个
合力为原两力的矢量和(矢量表达式：R=F1+F2)
作用和反作用公理 任何两个物体间的相互作用的力，总是大小相等、方向
相反、作用线相同，分别作用于这两个物体上。
加减平衡力系公理 可以在作用于刚体的任何一个力系上加上或去掉
几个互成平衡的力，而不改变原力系对刚体的作用。
推论1：力的可传性定理 作用于刚体上的力，其作用点可以沿着作用线在该刚体内部 移动，而不改变它对该刚体的作用。
力偶性质1：力偶不能合成为一个力，也不能与一个力平衡，力 偶与力是力学的两个基本要素。
力偶性质2：力偶的转动效果与矩心位置无关，由力偶矩确定 （力偶矩的大小及转向）。
平面力偶系的合成:
作用在平面物体上的一组力偶称为一个平面力偶系。力偶系的 合成结果为一个合力偶M
M M1 M2 Mn M 平面力偶系平衡的充要条件： M 0
处于静止状态)的力系。 二力平衡公理
要使刚体在两个力作用下维持平衡状态，必须也只须这两个力
大小相等、方向相反、沿同一直线作用。
受两个力作用而处于平衡状态的杆件或构件(忽略构件自重) 称为二力杆件（简称为二力杆）或二力构件。
力的平行四边形法则： 作用于物体上任一点的两个力可 合成为作用于同一点的一个力，即合力。合力的矢由原 两力的矢为邻边而作出的力平行四边形的对角矢来表示。
力、力矩、力偶
T
G
例题3 作图示结构的受力图 A
q
D
P
B
C
FBx B
P
C
FBy
RC
q
FAx
A FAy
F'BY
DB
FD
F'Bx
q
FAx A
P
D
B
FAy
FD
C RC
B
A
C
P
NB
NAX NB
P NAy
思考题 NC
改错
§2 力 矩
一、力矩基本概念 力矩：力使物体绕某点转动效应的度量
M O(F)Fh
h—力臂，指O点到力F作用线 的（垂直）距离。 0点称为力矩中心，简称矩心。
BF
FB
A
= A
性质二 作用力和反作用力
作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反、作用线 相同、分别作用在两个不同物体上的力。
性质三 力的合成与分解
1、力的合成 力的平行四边形法则
作用于物体上任一点的两个力 可合成为一个力，即合力。合力 的大小由这两力为邻边作出的平
行四边形的对角线来表示。
F2
R
A
图（b）：
MA = - 4×2×1 = -8 kN ·m MB = 4×2×KN/m
A
D
B
2m
1m
三、力矩的平衡 例：用秤秤物体重量。 秤杆处于平衡状态时：
F O
h2
h1
Wh2 Ph1
M0(F)M0(P)M0(W)
W
P
0Wh2 Ph1 0
物体在力矩作用下的平衡条件：作用在物体上同
一平面内的各力对某点或转轴之矩的代数和为零。
第二章-力-力矩-力偶
动的状态。
§2-1-2 力学基本公理
公理：是人类经过长期实践和经验而得到的结论，它被 反复的实践所验证，是无须证明而为人们所公认的结论。
公理1 二力平衡公理（P17 性质四）
作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是：
这两个力大小相等 | F1 | = | F2 | , ( F1 = F2 )
d
Pn
D 2
cos
75.2 N m
②应用合力矩定理
MO (Pn ) MO (P ) MO (Pr )
Pn
cos
D 2
0
75.2 N m
§2-3-1 力偶（P25 §2-3 ）
一、 力偶的定义 两个大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。 二、力偶的性质 1 性质1 力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。
作用于物体上同一点的两个力可合成 一个合力，此合力也作用于该点，合力的 大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的 平行四边形的对角线来表示。
R F1 F2
推论2：三力平衡汇交定理 刚体受三力作用而平衡，若其中两力作
用线汇交于一点，则另一力的作用线必汇交 于同一点，且三力的作用线共面。（不平行 的三个力平衡的必要条件）
m 0 m1 m2 NA l cos 0
解得：
m2 m1 cos 2
§2-3-3 空间力对点之矩与空间力偶
一、力对点的矩 ⒈ 空间力对点之矩三要素
决定力对刚体的作用效应,除力矩的大小、力矩的转向外, 还须考虑力与矩心所组成的平面的方位，方位不同，则力对物 体的作用效应也不同。所以空间力对 刚体的作用效应取决于下列三要素：
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G2 A
240
G1
1000
(2)自重:
雨篷板上的检修荷载： P=1kN / m 混凝土:25；砖墙：19
解：
350
G3 G2 A
240
P
70
G1=25×0.07×1×4=7kN L1=0.5m G2=25×0.24×0.35×4=8.4kN L2=0.12m G3=19×0.24×3×4=54.7kN
作用在物体上同一平面内的各力，对支点 或转轴之矩的代数和应为0。 ∑MA(Fi)＝0
例1：已知P1=P2=P3=2kN，a=4m,求∑mA(Pi)。 P1 300 A P2 B P3 解：
P1y P1
300 P1x
a/2
C
a/2
M A ( P3 ) 0kN m
kN m
0 M A (P ) M ( P ) M ( P ) 0 P sin 30 0.5a 1 A 1x A 1y 1
公理，分析物体的受力情况
作用在物体上的力 主动力 被动力 荷载 约束反力或支座反力
(2)隔离体 解除了约束的物体 (3)受力图 将作用于该隔离体的所有力表示在简图上
例：绘下列结构的受力图。
1. 简支梁 A
P B
解：
HA
A
VA
P B
VB
2. 三铰拱，画出拱AC和拱CB的受力图。拱自重不计
P
C
A
B
F 刚体
F 刚体
F
刚体
=
=
3. 静力学公理 公理
人类经过长期实践和经验而得到的结论，
它被反复的实践所验证，是无须证明而为人们 所公认的结论。 公理1 公理2 公理3 公理4 作用力和反作用力定律 力的平行四边形法则 二力平衡公理 加减平衡力系原理
公理1
作用力和反作用力定律
作用力和反作用力总是同时存在，两力的大小相
P28：2-12；2-15 力矩 力偶
第二章
学习要求：
力、力矩、力偶
掌握力、力矩、力偶的基本概念和性质，受 力分析方法及受力图的绘制； 理解平衡和刚体的概念。
第二章
主要内容：
力、力矩、力偶
2.1
2.2 2.3
力的概念及受力分析
力矩的概念及计算 平面力偶理论
2.1
力的概念及静力学公理
力的概念 静力学公理
物体受力分析
1. 刚体 力作用下，物体内部任意两点的距离不变 理想的力学模型 理论力学的基本假设
y F
h
F'
x
力偶在任何轴上的投影为零，本身又不平衡。 力偶不能合成为一个力，不能用一个力 来等效替换；力偶也不能用一个力来平衡， 只能由力偶来平衡。
1. 力偶矩 力偶对平面内任意一点的矩：
M O F ( x d ) F 'x Fd
d
力偶对其所在平面内任一点
的矩与矩心的位置无关，简记为
G1
1000
L3=0.12m
P=1×4=4kN
LP=1m
G3
350
P
70
G2 A
240
G1
1000
M A顺 P 1LP G 1L 1 4 1 7 0.5 7.5kN m M A逆 G2 L2 G3 L3 8.4 0.12 54.7 0.12 7.57kN m
2. 力 force 物体间相互的机械作用 力的效应： 外部效应－－运动效应 F A
内部效应－－形变效应
力的三要素F 大小，方向，作用点
力的单位
国际单位制：牛顿(N) 千牛(kN) F1
力系
作用在物体上的一群力 F3 物体在力系作用下处于平衡 F2
平衡力系
力的可传性。 作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一 刚体内的任一点，而不改变该力对刚体的效应。
M A逆 M A 顺
安全 讨论： M A逆 M A顺 解决方法
例3：钢筋混凝土柱，h=3m，受风荷载作用q=10kN/m， 求风荷载对A点的矩。 q B 0.5qh B
h
A 分析： 合力矩定理
A 三角形的面积和形心
2/3h
等效
解：
B 0.5qh 2/3h
推广：
B q1 B
q
h
A
A
A
q2
2 M A 0.5qh h 0.5 10 3 2 30 kN m 3
m，称为力偶矩，是对刚体转动
效应的度量。
力偶矩：
M F h
正 负
单位：kN · m
2. 平面力偶等效定理 作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶 矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。 推论1： 力偶可以在其作用面内 任意移动和转动，而不影响 它对刚体的作用效应。
推论2： 只要保持力偶矩大小和转向 不变，可以任意改变力偶中力的 大小和相应力偶臂的长短，而不 改变它对刚体的作用效应。
2 1 2 2
α2
正弦定理
F1
R F1 F2 sinα sinα1 sinα 2
公理3
二力平衡公理
F1
刚体
F2
作用在刚体上的两个力， 使刚体保持平衡的必要与充分条件是：
大小相等
方向相反
作用线共线
说明: 二力体(杆) 在两个力作用下平衡的刚体 F
F
公理4 加减平衡力系原理 在已知力系上加上或减去任意一个平衡力系，
3. 平面力偶系的合成和平衡条件 作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系。
d
M1 F1d1
M 2 F2d2
M1 P 1d1
合力偶矩
M 2 P2d2
M M1 M 2
结论:
M M1 M 2 M n M i
i 1
n
平面力偶系合成结果还是一个力偶, 其力偶矩为各力偶矩的代数和。 平面力偶系平衡的充要条件是: 所有各力偶矩的代数和等于零。
o
h
o: 矩心; h:力臂
拉力 A 重力 P2 A P4 P5 P1
P B
G
P3
P6 G B
思考： 结合实际工程， 那个力合理？
2. 合力矩定律 平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩， 等于所有各分力对同一点的矩的代数和
M O ( R ) M O ( Fi )
i 1
n
3. 力矩平衡条件
i 1
Mi 0
n
例1：求简支梁A、B支座反力。 HA A a VA 分析： (1)支座反力 (2)平面力偶系平衡条件
i 1
m
B
VB
Mi 0
n
解：
HA=0
A
a VA
m
B
VB
m M i 0 m VB a 0 VB a i 1
n
作
业
P26：2-1 受力分析 P27：2-5 力的分解
等，方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个相互
作用的物体上。
N N’
公理2
力的平行四边形法则
作用在物体上同一点的两个力可合成一个合力，
此合力也作用于该点，合力的大小和方向由以原两力
矢为邻边所构成的平行四边形的对角线来表示。
力四边形
力三角形
F2
余弦定理 R
α1 α
R F F 2 F1F2 cos α
2 0.5 0.5 4 2
M A ( P2 ) P2 a 2 4 8kN m
M
A
(P i ) 2 8 0 6kN m
例2：已知钢筋混凝土雨蓬，梁上的墙高3m，雨篷板 宽4m，判断结构的安全性。
分析：
G3
350
P
70
(1)受力特点－4个力 雨篷板自重：G1 雨篷梁自重：G2 梁上墙自重：G3
分析：
BC段：两铰
二力杆
AC段：两铰和一个外力
三力汇交
解：
FC
C
BC段
AC段
P C
FC’ B
FB FA FAx A FAy
2.2
力矩的概念及计算
力矩的概念 合力矩定律
力矩平衡条件
1. 力矩 力对刚体可以产生 移动效应 转动效应 力 力矩
F
M O (F ) F h
正 单位：kN · m 负
并不改变原力系对刚体的作用。
F
刚体
=
F/2
F
F/2
F/2
F/2 反对称
+
F/2 对称
F/2
推论：三力平衡汇交定理
当刚体受三力作用而平衡时，若其中两力作用线 汇交于一点，则另一力的作用线必汇交于同一点，且
三力的作用线在同一平面内。
A
B
A
B
4. 物体受力分析及受力图
(1)受力分析 根据已知条件、约束类型并结合基本概念和
h
B
B
q
qh A 0.5h
A
h
q1
B q 1h
B
B
h
0.5h
0.5(q2-q1)h
A
q2Байду номын сангаас
A
A
1/3h
2.3
平面力偶理论
力偶与力偶矩的概念 平面力偶等效定理
平面力偶系的合成和平衡条件
1. 力偶 由两个大小相等，方向相反且不共线的
平行力组成的力系
F
h
F'
力偶的作用面：两力作用线所决定的平面 力偶臂：两力之间的垂直距离h 力偶对物体的作用产生转动效应