离散数学课件第6章

a∨(b∧c)≼a∨b 又由a≼a且b∧c≼c得
a∨(b∧c)≼a∨c 从而得到 a∨(b∧c)≼(a∨b)∧(a∨c)
利用对偶原理，即得⑵。 一般地说，格中的∨和∧并不满足分配律。
第六章：格和布尔代数
【定义6.1.5】 设X,∨,∧是格，B是X的非空子集，如果B 关于运算∨和∧也构成格，则称B,∨,∧是X,∨,∧的子 格。
f(a∧1b)=f(a)∧2f(b) 则称f是格X1,∨1,∧1到格X2,∨2,∧2的格同态。如果f是单 射、满射和双射，分别称f是格单同态、格满同态和格同构。 称f(X1),∨2,∧2是X1,∨1,∧1的格同态像。
第六章：格和布尔代数
【定理6.1.7】 设X1,≼1和X2,≼2是格，X1,∨1,∧1 和 X2,∨2,∧2是它们导出的代数系统。f是格X1,∨1,∧1到 格X2,∨2,∧2的格同态，则a,bX1，如果a≼1b，必有 f(a)≼2f(b)
第六章：格和布尔代数
∨ a b a,b
∧ a b a,b
a b a,b
表6. 1 a a a a,b a,b
表6. 2 a a a
b b a,b b a,b
b b b
a,b a,b a,b a,b a,b
a,b a b
a,b
第六章：格和布尔代数
定义6.1.3 设f是含有格中元素以及符号=,≼,≽,∨和∧的命 题。将f中的≼替换成≽，≽替换成≼，∨替换成∧，∧替换 成∨，得到一个新命题，所得的命题叫做f的对偶命题， 记为f *。
x,yP (A)，x∨y=x∪y，x∧y=x∩y。这样，格P (A),R 导出的代数系统P (A),∨,∧实际就是代数系统P (A),∪,∩
，所以，二元运算∨和∧的运算表如表6.1和表6.2所示。 在例6.1中，根据图6.1，集合4,6的最小上界为12，即பைடு நூலகம்
4∨6=12=4和6的最小公倍数；它的最大下界为2，即 4∧6=2=4和6的最大公约数。同样，这个结果也可以推广到一 般情况。即在格S12,R导出的代数系统S12,∨,∧中，二元 运算∨是求最小公倍数；二元运算∧是求最大公约数。
第六章：格和布尔代数
【定理6.1.8】 设X1,≼1和X2,≼2是格，X1,∨1,∧1和X2, ∨2,∧2是它们导出的代数系统。f 是X1到X2的双射，则 f 是 X1,∨1,∧1 到 X2,∨2,∧2 的格同构的充分必要条件是 a,bX1，a≼1bf(a)≼2f(b)
证明：设f是X1,∨1,∧1到X2,∨2,∧2的格同构，下证 a,bX1，a≼1bf(a)≼2f(b)
例如，在格中，f为a∧(b∨c)≼a，则f的对偶命题f *为 a∨(b∧c)≽a
命题f和它的对偶命题f *遵循下列的规则，这规则叫 做格的对偶原理。
设f是含有格中元素以及符号=,≼,≽,∨和∧的命题。 若f对一切格为真，则f的对偶命题f *也对一切格为真。
格的许多性质都是互为对偶命题的。有了格的对偶原 理，在证明格的性质时，只需证明其中的一个就可以了。
由定理6.1.7可知，a,bX1，如果a≼1b，必有f(a)≼2f(b) 设f(a)≼2f(b)，由定理6.1.4有f(a)=f(a)∧2f(b)=f(a∧1b)，由于f是 双射，故a∧1b=a，所以a≼1b 这就证明a≼1bf(a)≼2f(b) 设a,bX1，a≼1bf(a)≼2f(b)，下证 f 是X1,∨1,∧1到 X2,∨2,∧2的格同构。 设a∧1b=c，则c≼1a，c≼1b，f(c)=f(a∧1b)，f(c)≼2f(a)， f(c)≼2f(b)，故 f(c)≼2f(a)∧2f(b)。 设f(a)∧2f(b)=f(d)，则有f(c)≼2f(a)∧2f(b)=f(d)，即 f(c)≼ f(d)；还有f(d)≼ f(a)和f(d)≼ f(b)。所以有d≼ a和d≼ b，
由以上3式得 (a∧b)∧c≼b∧c和(a∧b)∧c≼a∧(b∧c) 类似地可证 a∧(b∧c)≼(a∧b)∧c 根据偏序关系的反对称性有(a∧b)∧c= a∧(b∧c)
由对偶原理得 (a∨b)∨c= a∨(b∨c) ⑶ 显然a≼a∨a，又由≼的自反性得a≼a，从而推出 a∨a≼a，根据偏序关系的反对称性有a∨a=a 由对偶原理得a∧a=a ⑷显然 a≼a∨(a∧b)， 又由a≼a，a∧b≼a得a∨(a∧b)≼a，从而得
a∨(a∧b)=a。 由对偶原理得a∧(a∨b)=a
第六章：格和布尔代数
【定理6.1.2】 设X,∨,∧是代数系统，其中∨,∧都是二元运算 。如果∨和∧满足吸收律，则∨和∧满足幂等律。
证明：a∨a=a∨(a∧(a∨b))=a，同理可证a∧a=a 【定理6.1.3】 设X,∨,∧是代数系统，其中∨,∧都是二元运算 ，满足交换律、结合律和吸收律，则可适当定义X的偏序关系≼， 使X,≼构成一个格。
≼=a,b|a,bX且a∨b=b， 用这个定义和类似于⑵的方法可以证明a∨b是集合a,b的 最小上界。
因此，X,≼构成一个格。 根据定理6.1.3，可以给出格的另一个等价定义。 【定义6.1.4】 设X,*,∘是代数系统，其中*和∘都是二元 运算，如果*和∘在X上封闭且满足交换律、结合律和吸收 律，则称X,*,∘为格。 根据定义6.1.4和定理6.1.1，格X,≼导出的代数系统 X,∨,∧是格，以后不再区分偏序集定义的格和代数系统 定义的格，统称为格。
(吸收律)
证明：⑴a,bX，a,b=b,a，所以它们的最小上界相
等。即a∨b=b∨a，同理可证a∧b=b∧a
⑵ a和b的最大下界一定是a、b的下界，即a∧b≼a，
同理，(a∧b)∧c≼a∧b，所以，(a∧b)∧c≼a∧b≼a
同理有 (a∧b)∧c≼a∧b≼b 和 (a∧b)∧c≼c
第六章：格和布尔代数
第六章：格和布尔代数
【 定理6.1.5】 设X,≼是格，∨是X上的并运算，∧是X上的交 运算。a,b,c,dX，若a≼b且c≼d，则a∨c≼b∨d，a∧c≼b∧d
证明： a≼b≼b∨d ，c≼d≼b∨d，因此a∨c≼b∨d 类似的可以证明a∧c≼b∧d 【定理6.1.6】 设X,≼是格，∨是X上的并运算，∧是X上的交 运算。则a,b,cX有 ⑴ a∨(b∧c) ≼ (a∨b)∧(a∨c) ⑵ (a∧b)∨(a∧c) ≼ a∧(b∨c) 证明：⑴ 根据定理8.1.5，由a≼a和b∧c≼b得
第六章：格和布尔代数
⑵证明a,bX，a∧b是集合a,b的最大下界。因为 (a∧b)∧a=a∧b和(a∧b)∧b=a∧b
所以a∧b≼a且a∧b≼b，即a∧b是a,b的下界。 下证a∧b是a,b的最大下界。 设c是a,b的任一下界，即c≼a，c≼b，那么有 c∧a=c，c∧b=c
而 c∧(a∧b)=(c∧a)∧b=c∧b=c 所以 c≼a∧b，即a∧b是a,b的最大下界。
⑶ 证明a∧b=a的充分必要条件是a∨b= b 设a∧b=a，由吸收率可得
a∨b=(a∧b)∨b=b∨(b∧a)=b，即a∨b= b 设a∨b=b，由吸收率可得
a∧b=a∧(a∨b)=a，即a∧b=a
第六章：格和布尔代数
⑷ 证明a,bX，a∨b是集合a,b的最小上界。 根据⑶，偏序关系≼可以等价的定义为：
在例6.1中，令B1＝1,2,3,6，B2＝2,4,6,12，则 B1,∨,∧和B2,∨,∧是格S12,∨,∧的子格。
令B3＝1,2,3,12，由于2∨3=6，而6B3，所以 B3,∨,∧不是格S12,∨,∧的子格。
以下定义格的同态。 【定义6.1.6】 设X1,∨1,∧1和X2,∨2,∧2是格，其中∨1, ∧1,∨2和∧2都是二元运算。f是从X1到X2的一个映射，对任 意的a,bX1有f(a∨1b)=f(a)∨2 f(b)，
解：它们都不是格。在(a)中，1,2没有下界，因而没 有最大下界。在(b)中，2,4虽有两个上界，但没有最小上 界。在(c)中，1,3没有下界，因而没有最大下界。在(d)中 ，2,3虽有三个上界，但没有最小上界。
第六章：格和布尔代数
设X,≼是格，x,yX，今后用x∨y表示集合x,y的最 小上界，二元运算∨称为并运算；用x∧y表示集合x,y的最 大下界，二元运算∧称为交运算。 【定义6.1.2】 设X,≼是格，∨是X上的并运算，∧是X上的 交运算。则称X,∨,∧是格X,≼导出的代数系统。
证明：定义X上的一个二元关系 ≼=a,b|a,bX且a∧b=a
⑴ 证明≼是X上的偏序关系。 由定理6.1.2知∧满足幂等律，即a∧a=a，所以a≼a。故≼是自反 的。
设a≼b且b≼a，则a∧b=a且b∧a=b，于是a=a∧b=b∧a=b。所 以≼是反对称的。
设a≼b且b≼c，则a∧b=a且b∧c=b，于是a∧c=(a∧b)∧c =a∧(b∧c)=a∧b=a，即a≼c，故≼是传递的。
第六章：格和布尔代数
【定理6.1.1】 设X,≼是格，X,∨,∧是格X,≼导出的
代数系统。则a,b,cX有
⑴ a∨b=b∨a， a∧b=b∧a (交换律)
⑵ (a∨b)∨c=a∨(b∨c)
(a∧b)∧c=a∧(b∧c)
(结合律)
⑶ a∨a= a， a∧a= a
(幂等律)
⑷ a∨(a∧b)=a
a∧(a∨b)=a
第六章：格和布尔代数
证明：a,bA，设a≼b ，cf(a)，c≼a，由偏序关 系的传递性得c≼b，所以 cf(b)，即f(a)f(b)，于是 f(a)Rf(b)。故f是保序的。
对于b,dA，b∨d=a f(b∨d)=f(a)=A f(b)∪f (d)=b,e∪d,e
=b,d,e f(b∨d)≠f(b)∪f (d) f不是格同态。 但是，当f是格同构时， 定理6.1.7的逆成立。
教学难点： 布尔代数和布尔表达式。
第六章：格和布尔代数
§6.1 格的概念
【定义6.1.1】 设X,≼是偏序集，如果x,yX，集合x,y 都有最小上界和最大下界，则称X,≼是格。 【例6.1】设S12＝1,2,3,4,6,12是12的因子构成的集合。其 上的整除关系R=x,y| xS12∧yS12∧x整除y，R是S12上 的偏序关系，S12,R是偏序集。写出S12上的盖住关系COV S12，画出哈斯图，验证偏序集S12,R是格。
证明：设a≼1b，根据定理6.1.4，a∧1b=a，由于 f 是格 X1,∨1,∧1到格X2,∨2,∧2的格同态，所以 f(a)=f(a∧1b)= f (a)∧2f (b)，再由定理6.1.4，f (a)≼2f (b)。
定理6.1.7说明格同态是保序的。一般地说，定理6.1.7 的逆并不成立。 【例6.3】设A=a,b,c,d,e，A,≼是格，其哈斯图如图8.3所
解：S12上的盖住关系 COV S12＝1,2,1,3,2,4,2,6,3,6,
4,12,6,12， 哈斯图如图6.1所示。从哈斯图中可看出，集合S12的任意两 个元素都有最小上界和最大下界，故偏序集S12,R是格。
第六章：格和布尔代数
第六章：格和布尔代数
【例6.2】图8.2中给出了一些偏序集的哈斯图，判断它们是 否构成格。
第六章：格和布尔代数
【定理6.1.4】 设X,≼是格，∨是X上的并运算，∧是X上 的交运算。则a,bX有
⑴ a≼b当且仅当a∧b=a ⑵ a≼b当且仅当a∨b=b 证明：⑴ 设a≼b，下证a∧b=a 由a≼a且a≼b知a是集合a,b的下界，故有a≼a∧b；另 一方面，由于a∧b是a,b的最大下界，所以是a,b的下界 ，即a∧b≼a。根据偏序关系的反对称性得a∧b=a 设a∧b=a，下证a≼b a=a∧b≼b，即a≼b ⑵ 可类似⑴进行证明。
示，P(A)是A的幂集合，R=x,y|xP(A)∧yP (A)∧ xy是P(A)上的偏序关系。P(A), R也是格。作映射 f：A→P (A)，定义为：xA，f(x)= y|yA且y≼x，即：
f(a)=a,b,c,d,e=A，f(b)=b,e，f(c)=c,e，f(d)=d,e， f(e)=e。证明f是保序的，但不是格同态。
离散数学课件第6章
2020年4月29日星期三
第六章：格和布尔代数
§6.1 格的概念 §6.2 分配格 §6.3 有补格 §6.4* 布尔代数
第六章：格和布尔代数
教学目的及要求： 深刻理解和掌握格与布尔代数的基本概念和基本运 算
教学类容： 格的概念、有补格，分配格、布尔代数和布尔表 达式。
教学重点： 格、布尔代数和布尔表达式。