信赖区间与信心水准

◎常態分配：

當數值資料組夠多時，直方圖中各長方形的中點用平滑曲線相連，就形成次數分佈曲線圖，統計資料折線圖的形狀有很多種，如果其形狀是中間部分高聳，而兩旁對稱下降，這種統計資料叫做常態分配。例如人類的身高、智力測驗…。

特徵：常態分佈曲線圖是以數值平均數為中心對稱軸，左右對稱，圖形成鐘鈴形的平滑曲線。

◎常態分配規則：

資料的平均數x ，樣本標準差s ，

68%的數值落在距平均數1個標準差的範圍內﹒即在〔￣x －s ﹐￣x ＋s 〕內。 95%的數值落在距平均數2個標準差的範圍內﹒即在〔￣x －2s ﹐￣x ＋2s 〕內。 99.7%的數值落在距平均數3個標準差的範圍內﹒即在〔￣x －3s ﹐￣x ＋3s 〕內。

信賴區間與信心水準

◎信賴區間與信心水準：

報章﹑媒體經常利用民調來反映一般民眾對某些公共政策支持或反對的程度﹐ 對某位行政首長施政的滿意或不滿意程度﹐對某位候選人支持或不支持的程 度…﹐例如﹔下面是某報社針對某位政治人物「從政生涯」表現的滿意度調查﹔ 「…四成九民眾滿意﹐二成八不滿意﹐本次調查以臺灣地區住宅電話為母體作 尾數兩位隨機抽樣﹐成功訪問了932位成年人﹐在95%的信心水準下﹐抽樣誤 差在正負3.2個百分點以內」（96年4月）﹒在這項調查結果中﹔

(1) 所謂「抽樣誤差在正負3.2個百分點」的意義﹔將49%分別加﹑減3.2%﹐可以得一區間為[]0.490.032,0.490.032-+[]0.458,0.522=即表示全臺灣的成年人中滿意此政治人物的「從政生涯」表現的真正滿意度p 值﹐可能會介於45.8%與52.2%之間﹐而對於區間[]0.458,0.522就稱為本次調查的信賴區間﹓0.458及0.522稱為信賴界限﹒

(2) 所謂「95%的信心水準」的意義﹔除非我們對全臺灣的成年人做全面的普查﹐否則母體真正的滿意度p 值是不可能得知的﹐而任何一次的抽樣都會有誤差﹐所以我們並不能保證真正的滿意度p 值一定會介於我們所推估的信賴區間之中﹐而所謂的「95%信心水準」即表示﹔如果我們對母體抽樣100次﹐而每一次抽樣結果都會得到一個信賴區間﹐那麼這100個信賴區間中﹐約有95個會涵蓋母體真正的p 值﹒

假如母體真正的滿意度為p 時﹐若抽樣的樣本數夠多時﹐則抽樣的算術平均數會

等於p 95%的數值會落在距平均數2個標準差的範圍內

若母體真正的滿意度為p ﹐而抽樣的樣本數為n ﹐則 ^p n

樣本中滿意的人數= 表示此次抽樣中滿意的比例﹐而對 ^p

而言﹐有95%的機會會落在 〔^p －2 ^p （1－^p ）n ﹐^p ＋2 ^p （1－^p ）n

〕範圍之間﹐但母體真正的p 值 是未知的﹐經統計學專家運算得知﹐可以用 ^p

值取代未知的p 值﹐ 所以〔^p －2 ^p （1－^p ）n ﹐^p ＋2 ^p （1－^p ）n

〕就稱為本次調查在95%的 信心水準下的信賴區間﹒

解

(1)常態分布為左右對稱的分布, 其平均數在曲線的中心點, 所以約有50%的數

值超過7.5小時.

(2)6.5到8.5小時為與平均數相距1個標準差的範圍,根據68-95-99.7規則,約占68%的比例.

(3)8.5小時在平均數以上1個標準差的地方,由圖知在此數的左邊區域的比例約

為

5068184

+⨯=.

1001002100

解

(1)母體是臺灣地區20歲以上的成年民眾,抽出的樣本有900個.

(2)在900位受訪者當中, 滿意度為六成四, 即回答滿意者約有

900⨯64100

= 576（人）. (3)在95%的信心水準下, 抽樣誤差為正負3.2個百分點. 信賴區間為「估計值 ± 誤差界限」, 即[0.640.032,0.640.032][0.608,0.672]-+=

解

(1)甲候選人的支持比例 ^p 345100%48%718

p =⨯=﹒ (2)在95%的信心水準下﹐誤差範圍為±0.037=±=± ∴本次調查的抽樣誤差為正負3.7個百分點﹒

(3)95%的信賴區間為

[]0.480.037,0.480.037-+[]0.443,0.517=﹒