平面解析几何复习课件1

考 点 探 究
考点一
求双曲线的方程
x2 y2 【例1】 求与双曲线 =1有共同的渐近线，且过点 9 16 (-3,2 3 )的双曲线方程．
x2 y2 思路点拨：设双曲线方程为 2- 2 =1，求双曲线方程，即 a b 求a，b，为此需要关于a，b的两个方程，由题意易得关于a，b
的两个方程．
x2 y2 解析：(法一)设双曲线的方程为 2－ 2＝1， a b
2 2 x y ＝36，所求的双曲线的方程为(4x)2－(3y)2＝36，即 － ＝1. 9 4 4
点评：求双曲线的方程，关键是求a，b，在解题过程中应
熟悉各元素(a，b，c，e)之间的关系，并注意方程思想的应
用．若已知双曲线的渐近线方程为ax±by=0，可设双曲线方程 为a2x2-b2y2=l(l0)．
第七章 平面解析几何
第八节 双曲线(二)
基础自测
x2 y2 1．(2012·安徽江南十校摸底)已知双曲线C： 2- =1上一点 a 1 P到两焦点的距离之差为2，则该双曲线的离心率是( ) 3 A．2 B. 3 C. 2 D. 2
解析：由双曲线定义知 2a＝2，得 a＝1，又 b＝1，∴c c 2 2 ＝ a ＋b ＝ 2，∴离心率为 e＝a＝ 2.故选 C. 答案：C
3．(2012·唐山市三模)中心在原点，经过点(3,0)，离心率 为
5 的双曲线的标准方程为__________． 3
解析：依题意，双曲线实轴在 x 轴上，且 a＝3，设其方 2 2 2 2 3 ＋b 5 x y 程为 － 2＝1(b＞0)，则 ＝ ，得 b2＝16，故双曲线 9 b 3 3 x2 y2 的标准方程为 － ＝1. 9 16 x2 y2 答案： － ＝1 9 16
考点二
【例2】
求双曲线的渐近线方程
已知以原点O为中心，F( 5 ，0)为右焦点的双曲 5 线C的离心率e= .求双曲线C的标准方程及其渐近线方程． 2 x2 y2 解析：设 C 的标准方程为 2－ 2＝1(a≥0，b＞0)，则由 a b c 5 题意 c＝ 5，e＝a＝ ， 2 2 x 因此 a＝2，b＝ c2－a2＝1，C 的标准方程为 －y2＝1. 4 1 C 的渐近线方程为 y＝± x，即 x－2y＝0 和 x＋2y＝0. 2
x2 y2 4．(2012·北京市海淀区一模)过双曲线 - =1的右焦点， 9 16 且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是____________．
解析：双曲线的右焦点为(5,0)，经过一、三象限的渐近 x y 4 4 线方程为 － ＝0，其斜率为 ，故所求直线的方程为 y＝ (x 3 4 3 3 －5)，即 4x－3y－20＝0. 答案：4x－3y－20＝0
b>0)的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点， 则双曲线的离心率为(
3 A. 2
x2 y2 2．(2011·合肥市模拟)设F1和F2为双曲线 2- 2 =1(a>0， a b
)
5 C. 2
B．2
D． 3
π c 3Leabharlann Baiduc 2 2 2 2 解析：由 tan ＝ ＝ 有 3c ＝4b ＝4(c －a )，则 e＝a 6 2b 3 ＝2.故选 B. 答案：B
2 2 x y c2＝a2＋b2＝4λ＝16，∴λ＝4.∴双曲线方程为 － ＝1. 4 12 故选 D. x2 y2 (2)设双曲线方程为 2－ 2＝1，一个焦点为(c,0)，一条渐 a b c2 6 3 |bc± 0| 近线方程为 bx－ay＝0，依题意有 2＝ ＝ ， 2 2＝1，结 a 4 2 b ＋a 2 x 合 a2＋b2＝c2，解得 a2＝2，b2＝1，∴双曲线方程为 －y2＝ 2 1.故选 A. 答案：(1)D (2) A
考点三
求双曲线的离心率
【例3】 (2011·柳州市模拟)已知P是以F1，F2为焦点的 2 2 1 x 双曲线 2-y 2 =1上一点，PF1⊥PF2，且tan∠PF1F2= ，则此双 a b 2 曲线的离心率e=______. c 思路点拨：求椭圆的离心率，即求 ，只需求a，c的值或 a a，c用同一个量表示，或者是先得到a，b，c的一个关系式，然 后再求e；本题没有具体数值，因此只需把a，c用同一量表示．
由题意，得 －3 2 3 a － b ＝1，
b 4 a＝3，
2 2 2 2
9 解得 a ＝ ，b2＝4. 4
2
x2 y2 所以双曲线的方程为 － ＝1. 9 4 4
x2 y2 4 (法二)因为双曲线 － ＝1 的渐近线方程为 y＝± x，即 4x± 3y 9 16 3 ＝0，因它也是所求的双曲线的渐近线方程，故可设所求的双曲 线的方程为(4x)2－(3y)2＝λ(λ≠0)，将点(－3,2 3)代入求得 λ
x2 A. 2
-y2=1
2 x C. -y2=1 4
x2 y2 B. - =1 2 3
D．x2-y2=1
2 2 2 y x y 故双曲线方程设为 x2－ ＝λ(λ＞0)， 即 λ － ＝1， a2＝λ，b2＝3λ. 3 3λ
解析： (1)因双曲线的渐近线为 y＝± 3x， 焦点在 x 轴上， ∵焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，∴c＝4.
变式探究 1．(1)(2012·唐山市期末)已知双曲线的渐近线为y=± 3 x， 焦点坐标为(-4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( )
2 2 x A. - y =1 8 24 2 2 C. x -y =1 24 8
x2 y2 B. - =1 12 4 2 2 x D. - y =1 4 12
(2)(2012·北京市朝阳区一模)已知中心在原点，焦点在x轴 上的双曲线的离心率e= 6 ，其焦点到渐近线的距离为1，则此双 2 曲线的方程为( )
变式探究
y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
( ) A.
5
x2 y2 2．(2012·福建卷)已知双曲线 - 2 =1的右焦点与抛物线 4 b
B．4 2
C．3
D． 5
解析：由抛物线方程 y2＝12x 易知其焦点坐标为(3,0)， 又根据双曲线的几何性质可知 4＋b2＝32，∴b＝ 5，从而可 5 得渐进线方程为 y＝± x，即± 5x－2y＝0， 2 |± 5×3－2×0| ∴d＝ ＝ 5.故选 A. 5＋ 4 答案：A