第五章数值积分

0.5
6
0.5 4
0.751) 0.430934
n=3, 1 xdx 0.5( 0.5 3 0.6666673 0.8333331) 0.430951
0.5
8
n=4, 1 xdx 0.5(7 0.5 32 0.62512 0.7532 0.8757) 0.430964
0.5
90
而 1 xdx 2(10.51.5) 0.43096440（积分的准确值）
c3(4)
3 2, 90
c(4) 2
12 90
b
7 32 12327
a f( x ) d ( b x a )9 [ f( x 0 0 ) 9 f( x 1 0 ) 9 f( x 2 0 ) 9 f( x 3 0 ) 9 f( x 4 0 )]
R 4(f)984 b5 4a 7f(6 ()n( )4 的 ( (牛 a,b)顿 柯 ) 特斯公式特特 别斯 称公 作
n 0
n j0, ji
tj ij
dt
当n=1时，c0 (1)
11[(t1)d ] t 1
10
2
,
c1(1)
1 1
1tdt1
0
2
当n=2时,
c0 (2) 1 202((0t 1 1))t0 (( 22))d t1 6,
c(2) 1
12(t0)t(2)d t 4 20(10)1 (2) 6
c(2) 2
当 a b nf(x 2)时 d c， x ( 0(2b ) a c2()2)1 6 [f16(,x 0 c1)(2 ) 6 464f((x n1 ) 21 6 的 f(x 牛 2)顿 ]柯 R2(特 f)斯 (b2 公 a 8)58 式 f(40 )(即 )公 ( 为 (a式 ,抛 b)） )
当 n4时c， 0 (4) c4 (4) 9 70 , c1(4)
1 2(t0)t(1)d t 1 20(20)2 (1) 6
书上P197列出了n =1, 2, …, 8的柯特斯系数。
柯特斯系数具有以下性质:
n
（1）
c(n) i
1
i0
（2）系数有对称性。即
c(n) i
cn(n)i
（3）n≥8时有负值。
四、常用的几个牛顿-柯特斯公式及其余项
牛顿-柯特斯公式为
b f(x)d
(R1(f)较,大 R2(f)较,小 而 R4(f)更,小 n越大截断误
牛顿-柯特斯求积公式应用举例
例
用n=1,2,3,4的牛顿-柯特斯求积公式计算
1
0.5
x dx
的近似值。
解 已知 f(x) x,a0.5,b1
当n=1,
1 xdx 0.5(
0.5
2
0.5 1) 0.426776
n=2,
1 xdx 0.5(
三、牛顿-柯特斯公式(等距节点的插值求积公式）
插值求积公式为
b
n
f(x)dx
a
Ai f(xi)
i0
取 c(n)i
1 ba
Ai
，而且
xi=x0+i*h(插值节点等距)时，c
( i
n
)
称为柯特斯系数。这时
b
n
f(x)d x(ba)
a
Ci(n)f(xi)
i0
称为牛顿-柯特斯求积公式(简称牛顿-柯特斯公式）。
第五章 数值积分和数值微分
牛顿莱布尼兹公式: 若 f(x)在 [a, b]上连续, 则 必存在原函数F(x)使F'(x)=f(x), x∈[a,b], 并且
b
a f(x)dx F(b)F(a)
但在具体计算f(x)的定积分时, 莱布尼兹公式有其 局限性，如求 f(x)=sin(x2) , f(x)= x2 2X2 3 或列表 函数的原函数就不方便。在解实际问题时,常常只 需计算有关定积分满足精确度要求的近似值。因 此我们需要研究定积分的数值方法(近似方法)。
x
n bn
[
a
i0
j0,ji
b
n
a
f (x)dx
Baidu Nhomakorabeai0
Ai
f
( xi
称为插值求积公式。
xxj xi xj
d]xf(xi)
bn
) (其中 Ai a
j0, ji
n
Ai f ( xi
i 0
xxj dx) xi xj
)
f(x)Pn(x)f(n (n 1)1 ())!w(x)
a bf(x)d x a bP(x n )d xa bf(( n n 1 )1 () )!w (x)d（x插值求积公式余项)
牛顿-柯特斯求积公式的余项(截断误差)为
R n(f)a bf((n n 1 )1 ())!(xx0)x (x1) (xxn)dx
柯特斯系数
柯特斯系数
C(n) i
1 ba
Ai
1 ba
bn a
j0,ji
xxj xi xj
dx
作x 变 a t,h 换 取 x j a j,h 则 ci(n) 1n
形式。
i0
最终把求积分变成求级数(或函数值计算)。
二、插值求积公式
设f(x)为列表函数(xi,f(xi)) ( i = 0, 1, …, n ), 我们可用n次拉格
朗日多项式Pn(x)代替f(x)来求
b
a
f
( x)dx的近似值。
b a
f(x)dxabPn(x)dxa bi n0(j0 n ,jix xi x xjj)f(xi)d
a
a
bf(x)d xba[f(a)f(b)]
a
2
这就是梯形公式。
若用抛物线代替f(x)，可得
0a
bx
b f( x ) d x b a [f( a ) 4 f( a b ) f( b )]
a
6
2
这就是抛物线公式或辛卜生(Simpson)公式。
以上都可写成
b
a
n
f(x)dx Ai f(xi)
第一节 牛顿-柯特斯求积公式
一、数值积分的基本思想
用近似曲线代替f(x)求
b
a
f
( x)dx的近似值。
若用直线代替f(x) (如图所示） y y=f(a)+[f(b)-f(a)]/(b-a)*(x-a)
b f( x ) d x b [f( a ) (f( b ) f( a )/b )( a )* ( x a )d ]xy = f(x)
a
n
x(ba)
C i(n)f(xi)
其余项为
i0
R n (f)a bf(( n n 1 )1 ())! (x x 0 )x ( x 1 ) (x x n )d x
当na bf1(时 x)d， c x 0(1()b 12a,)[1 2 c1(1f)(x012) (n1 2 f1(时 x1)的 ] R 牛 1(f顿 ) 特 柯 (b 斯 1 a公 )23f'式 '() 即 ((为 a,b） )梯 ) 形
0.5
3
[由此看出, n 越大(取的节点数越多)计算的结果越接近精确值]