质心与质心运动定理

tv
uv uv
F矢量和dt P系 P0系
t0
当且
Fv矢量和＝0

uv P系＝恒矢量
一、质心与质心运动定理
• 对质点系而言,空间总存在一点 C（质心）:
v F矢量和

MavC
其中
n
M＝ mi i 1
– 1. 质心的计算
– 以两质点系统为例
Fv矢量和＝
dd（t m1
v v1

m2
v v2
(4)质心与重心不一样，物体尺寸不十分大 时， 质心与重心位置重合。
2.质心运动定理

Fi

Mac
表明：不管物体的质量如何分布，也不管外 力作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是 物体的质量全部都集中于此，而且所有外力也都 集中作用其上的一个质点的运动一样。
抛手榴弹的过程：
Y
C
O
X
v F矢量和


mi xi
i
mi
i
rvC
i
mi rvi mi



yC


mi yi
i
mi
i

i


ห้องสมุดไป่ตู้
zC


mi zi
i
mi
i


xC

xdm dm
rvC

rvdm dm



yC


ydm dm

zC

zdm dm
说明：
)
＝
d2 dt 2
v (m1 r1

m2
v r2
)
uv
F 1 m1
vv r1 rc v
m2 uv F2
r2
O
vv

(m1

m2 ) v
d2 dt 2
( m1 r1 m1
m2 r 2 uuvm2
)
M
d2rc dt 2

M
avc

d Pc dt
–即
v F矢量和

MavC
称作 质心运动定理
vv
– 其中质心
dm dx v0dt
m
l
v
由单个物体的动量定理
x
F
F1dt v0dm 0 v02dt
F1 v02
F

F1

x l
mg

v02

x l
mg
uuv v0
v N
o
x dx

m l
v02

x l
mg
两项的意义很明显
解法二：利用物体系的动量定理
以整条绳子为研究对象 设t时刻提起x时，体系的总动量为
t0
t0
tv
tv
uv uv
v
v
m2: F2dt f12dt P2 P20 m2 v2 m1v10
t0
t0
相加：
t
v (F1

v F2
)dt
uv (P1

uv P2
)

uv uv P10 P20
t0
tv
uv uv
F矢量和dt P P0
t0
推广：n个物体组成的系统，仍然有
vc/=0, Pc/＝0
相对于质心系，质点系的总动量为零，所以又
叫零动量系
说明：
（1）系统的动量守恒和质心保持匀速直线运 动等效；在质心系，即质心速度不变；
（2）质心系的优点在于它具有最大的对称性
例1： 一质量m1＝50kg的人站在一条质量为m2＝
200kg，长度l＝4m的船的船头上。开始时船静止，
• (1)质心的位矢并不是各个质点的位矢的几何平
均值，而是它们的加权平均值.质心的性质只有在 系统运动与外力的关系中才体现出来.因此,质心并 不是一个几何学或运动学概念，而是一个动力学 概念．
(2)体系质心的坐标与坐标的选取有关，但质心 与体系内各个质点(质元)的相对位置与坐标的选取 无关．
(3)质量均匀的规则物体的质心在几何中心
Fdt

P2
P1
2.质点系的动量定理
对两物体系统： v
v uv
10
F1
uuv f12
v v 20 uv
F2 uuv f21
uv uuv
v1
v2
m1
m2
分别对m1，m2应用动量定理
tv
tv
uv uv
vv
m1: F1dt f21dt P1 P10 m1v1 m1v10
质心与质心运动定理
关于动量定理的回顾 1. 单个质点的动量定理
出发点：牛顿第二定律
r F

dpr
dt
特例
r F

mar
v c

动量定理的微分式： Fdt dP
动量定理的积分式：
v I
t2
v Fdt

t1
v P2 v P1
v dP

v P2

v P1
定义冲量：
I
t2 t1
力，因而在水平方向 的质心速度不变。又
x1
x1
因为原来质心静止，
所以在人走动过程中
质心始终静止，因而 o
质心的坐标值不变。
x2 x2
cb cb d
x
xc xc
m xl-d 11

m2 x2

m1x1d
m2 x2
m1(x1 x1) m2 (x2 x2 )
d

m1 m1 m2
试求当人走到船尾时船移动的距离。（假定水的阻
力不计。）
解：
y
x1
x1
设cb表示船 本身的质心
o x2 x2
cb cb d
x
x 当人站在船的左端时
c
m1x1 m2 x2 m1 m2
当人站在船的右端时 对船和人这一系统，
x m1x1 m2x2
c
m1 m2
在水平方向上不受外 y
mi
d vi dt
mi


mi ai mi
质心的动量：
就是系统的总动量
pc Mvc
mivi
i
当
F 0, M
dvc

dpc
0
dt dt
即动量守恒表现为pc 恒量，或vc 恒量
质心系（动量中心系，零动量系）
质心参考系的坐标原点在质心，在质心系中，
v rc

m1r1 m加2 r权2 平均值
m1 m2
v
uv uv
F矢量和 F1 F 2
推广：对n个质点组成的系统
rvC
i
mi rvi
mi
mi rvi
i
M
i
v
n uv
F矢量和 F i
i 1
质心位置的计算（直角系中的分量式）:
质点组:
连续分布:



xC

MavC
二、质心系
F
Mac

M
dvc dt

M
d 2rc dt 2

dMvc dt

dpc dt
质心的速度：
vc

drc dt

d dt


i
miri
mi

i
mi
dri dt

M
mivi
i
M
质心的加速度： i


ac

d vc dt
l

0.8(m)
y
x1
x1
o x2 x2
cb d
cb
x
例：长为l总质量为m的柔软绳索放在水平台面上，
用手将绳索的一端以恒定速率v0向上提起，
求当提起高度为x时手的提力 （ x < l ） 。
v
x
F
uuv v0
v N
o
x dx
解法一：利用单个物体的动量定理
以 dt 时间内上升（由静止变为运动）的绳索为研究对象，忽略重力和地面的 支持力