无限期模型与世代交叠模型

C
0 k
0 k
图（2.2） k 的动态学
24
k
c
0 c
0 k
k
k
图2.3 c 与k 的动态学
3、C的初始值


K的初始值是给定的，c的初始值必须被决定。图2.3 表明 在给定c和k的初始值时，为满足家庭的跨期最优化条件。 以及连接k的变化与产出和消费的方程。C与k如何地必须 随时间而演化；k的初始值是给定的，但是C的初始值必须 被决定 。 当k被给定时，假定c的各种可能值，最后得到c的唯一取 值。
) (n g )t
(2.19)

(t ) c r (t ) (n g ) c(t )
(t ) r (t ) n g r (t ) g c c(t )
由于一个变量的对数关于时间的导数等于其增长率，则有：
(2.20)
~ c ~ ~ c c k c k c
36
附录：泰勒级数展开

( x)
( x0 ) ( x0 )
0! 1!
( x x0 )
( x0 )
2!
( x x0 )
2
( n ) ( x0 )
n!
( x x0 )n Rn ( x)
~ c f (k )c ~ c ~ ~ k c ~ k k
~ k ~ c
38
调整的速率：为理解收敛于平衡路径的含义，表达式改写 为： 1 4 2 ( { ( 1)k 2[k (n g )k ]}1/ 2 (2.38) 1 2
2.4
贴现率下降的影响和政府购买的影响
34
1、贴现率下降的影响

35
2、调整速率与鞍点路径的斜率

c c [ k k ] [c c ] c k c k k [ k k ] [c c ] k k c ~ k ~ k ~ k k c k c
s
lime
R( s ) （n g）s
e
k (s) 0
28
4、鞍点路径


对于k的任何为正的初始水平，存在一个一个惟一的c的初 始水平。它与家庭的跨期最优化，资本存量的动态学，家 庭预算约束以及k不为负的要求相一致将这种初始的c作为 k的一个函数的函数便是著名的鞍点路径。 (详见教材)
29
2.3
45

不同之处：

人口：
拉姆齐模型：生命期无限，家庭效用函数采用无限期界连续最优控制 戴蒙德模型：生命期有限，划分为青年和老年两个阶段，青年期只生


17


Rt e c(t ) t 0
A(t ) L(t ) A(0) L(0) dt k (0) H H

A(t)L(t) dt t 0 w(t ) H

Rt ( n g )t c(t )e dt t 0 e
k (0)

Rt ( n g )t w(t )e dt t 0 e
2、平衡增长路径

经济行为一旦已经收敛于点E，它便等同于处在平衡增长 路径上的索罗经济的行为。 因此索罗模型关于经济增长的驱动力的核心含义并不能够 依据一个不变的储蓄率的假设决定。即使当储蓄是内生的 ，劳动的有效性增长仍是每工人产出不断增长的惟一可能 的源泉。
3、资本的黄金律水平



索洛模型和RCK模型的平衡增长路径之间的惟一显著 的差异是：拥有资本量大于黄金资本水平的平衡路径 时不可能的。 在索罗模型中，充分高的储蓄率引致经济达到一个平 衡路径，存在一些可行的选择，它们涉及在美时刻跟 高水平的消费。 因此k 收敛于与一个低于黄金律水平的资本量。由于 是经济收敛于平衡增长路径时的k的最优水平，它便 是著名的修正的黄金律资本存量。
中级宏观经济学
第2章 无限期界模型与世代交叠模型
阅读资料： 罗默：《高级宏观经学》（第四版），第2章 Ramsey., F. P., A Mathematical Theory of Saving, The Economic Journal, Vol. 38, No. 152 (Dec., 1928), pp. 543-559. Cass, David, Optimum Growth in an Aggregative Model of Capital Accumulation, The Review of Economic Studies, Vol. 32, No. 3 (Jul., 1965), pp. 233-240

44
专栏: RCK模型和戴蒙德模型的比较

相同之处：

均建立在一般均衡分析框架下 均建立了宏观经济学的微观基础，通过最优化分析，确定社会最 优消费、投资与储蓄，并描绘增长 均放弃了储蓄率外生的假定，将储蓄率表示为资本存量的函数， 以分析储蓄率变动 均从市场竞争（行为人最优）以及中央计划者配置（社会性最优 ）两个角度审视相应最优化结果是否具有一致性 人均资本存量以及人均消费量（以效率劳动的角度衡量）在长期 内的增长率均为零，不存在持续性的增长机制。
福利与平衡增长路径
30
1、福利

一个十分自然的问题是，这种经济的均衡是否代表一个可 期望的值。 微观经济学第一福利定理告诉我们，如果市场是竞争的完 全的，并且不存在外部性，那么分散化的均衡时帕累托的 。由于福利定理在我们的模型中成立，均衡必为帕累托有 效的。并且由于所有家庭拥有效用，这意味着分散化均衡 在对所有家庭采用相同方式的配置中会产生最高的可能效 用。



该模型与索洛模型类似，也假定家庭持有资本并向社会提供劳动， 而后进行消费和储蓄。 与索洛模型不同的是，家庭了储蓄与消费决策由具有无限生命期 的家庭决定。


Байду номын сангаас
大量相同的竞争性厂商租用资本雇佣劳动以生产并销售产 品，大量相同的长生不老家庭供给劳动、持有资本、消费 并储蓄。 不考虑市场的不完美性以及由异质家庭和代际关系造成的 所有问题。
(2.11)
C(t )1 [ A(t )c(t )]1 1 1 [ A(0)e Rt ]1 1 A(0)1- e (1 ) gt
16
c(t )1 1

U

t e t 0
C (t )1 L(t ) dt 1 H
1 nt c ( t ) L ( 0 ) e t 1 (1 ) gt t e [ A ( 0 ) e ] dt 0 1 H 1 L ( 0 ) c ( t ) t (1 ) Rt nt A(0)1 e e e dt t 0 H 1 1 c ( t ) t B t e dt 0 1
26
c
A
B C F
k (0)
D
0 c
k


其中ABC 三点的初始消费之较高。最终经济处于消费永久上升， 而资本永久下降的路径。而D点表明初始消费很低的，最终经济处 在消费日益下降，而资本日益上升的路径上。但如果经济正好处 在临界水平上它会最终收敛于c和k均不变的点上。 值得说明的是：为排除由低于F的点开始的路径，可以利用资本持 有量的极限行为表示的预算约束。
Rn ( x)
( n1) ( p)
(n 1)!
( x x0 )n1
( p在x0与x之间)
37

f (k )c ~ ~ c k

~ ~ ~ k [ f (k ) (n g )]k c ~ ~ [( g ) (n g )]k c ~ ~ k c
6
1、厂商行为

7
2、家庭行为

8

9

10
附录：CRRA效用函数

CARA与CRRA ：

CARA：constant absolute risk aversion，常绝对风险规避效用函 数 CRRA：constant relateve risk aversion，常相对风险规避效用函 数

一般情况下，常借用效用函数的二阶导数的符号来判断对 待风险的态度。大于零为风险偏好型；小于零为风险规避 ；等于零为风险中立。
11

12


R（t ) e C(t ) t 0
L(t ) K (0) H H

R( t ) e W (t ) t 0
L(t ) dt H
K(0) H
e
c(t )]
Bet c(t ) e Rt e( n g )t
19

为明白（2.17）对消费行为的含义，给上式两边取对数
(2.18)

ln B t ln c(t ) ln R (t ) (n g )t ln
两边求导，可得：

t
0 r (
20

21
2.2
经济的动态学
22
1、C的动态学

(t ) f (k (t ) g c c(t )
C
0 c
0 c
k
图2.1 c的动态学
23
k
2、K的动态学
假设不存在折旧，因此则有： (2.24) k (t ) f (k (t )) c(t ) (n g )k (t )

1 4 1 2 （ g )[ g (n g )}1 / 2 ） (2.39) 1 （ { 2
39
4、政府购买的效应

(t ) f (k (t ) c(t ) G(t ) (n g )k (t ) k


t 0
e
R (t )

H
(2.10)

e
H


t 0 e
L(t ) [W (t ) C(t )] dt H
s
lim e
R( s )
K ( s) 0 H
（2.10）表明，在极限时形式中家庭所持有资产的现值不 能是负的。这就是著名的非蓬齐对策条件。
14
专栏：非蓬齐对策

15

家庭最优化决策


代表性家庭想在其预算约束限定下最大化其终身效用。为做到这 一点，我们需要用每单位有效劳动的消费与劳动去表示目标函数 与预算约束 将c(t)设为每单位有效劳动的消费。因此每工人的消费C(t)，等于 A(t)c(t)。家庭的瞬时效用函数等于：

L(t ) s R( t ) [W (t ) C(t )] dt t 0 e H
0
lim
s 0
K (0) [ H

S
t 0
e
R (t )
L(t ) [W (t ) C (t )] dt] 0 H
13
在s 时刻，家庭和资本持有量为： K ( s) (2.9) R( s ) K (0) s R ( s ) R( t )
c(t )e
( n g )t
dt k (0)


t 0
e R(t )[ (t ) G(t )]e(n g )t dt
40
5、政府购买的永久性与暂时性变动的效应

41

42
2.5
戴蒙德模型中的家庭行为分析
43
1、模型的基本假设

戴蒙德模型属于叠代模型 叠代模型的发展：阿莱(Allais，1947)提出，萨缪尔森 （Samuelson，1958）和戴蒙德(Diamond，1965)，布兰 查德（Blanchard，1985）等发展。 宏观经济学微观基础的第二个基本模型，旨在确定社会的 最优消费、储蓄和投资。
18

lim
s
e R ( s ) e ( n g ) s k ( s) 0
1 c ( t ) t B t e dt [k (0) 0 1
e

Rt ( n g )t w（t）c(t )dt t 0e e
R (t ) ( n g )t
3
主要内容
2.1 RCK模型中的厂商和家庭行为分析
2.2 经济的动态学 2.3 福利和平衡增长路径
2.4 贴现率下降的影响和政府购买的影响
2.5 戴蒙德模型中的家庭行为分析 2.6 经济的动态学 2.7 政府购买的影响
4
2.1
RCK模型中的厂商和家庭行为分析
5
拉姆齐（1928）提出，卡斯和库普曼斯（1965）发展。 宏观经济学微观基础第一个基本模型，旨在确定社会最优 储蓄率。