无限期模型与世代交叠模型

福利与平衡增长路径
30
1、福利

一个十分自然的问题是，这种经济的均衡是否代表一个可 期望的值。 微观经济学第一福利定理告诉我们，如果市场是竞争的完 全的，并且不存在外部性，那么分散化的均衡时帕累托的 。由于福利定理在我们的模型中成立，均衡必为帕累托有 效的。并且由于所有家庭拥有效用，这意味着分散化均衡 在对所有家庭采用相同方式的配置中会产生最高的可能效 用。
2.4
贴现率下降的影响和政府购买的影响
34
1、贴现率下降的影响

35
2、调整速率与鞍点路径的斜率

c c [ k k ] [c c ] c k c k k [ k k ] [c c ] k k c ~ k ~ k ~ k k c k c



该模型与索洛模型类似，也假定家庭持有资本并向社会提供劳动， 而后进行消费和储蓄。 与索洛模型不同的是，家庭了储蓄与消费决策由具有无限生命期 的家庭决定。


大量相同的竞争性厂商租用资本雇佣劳动以生产并销售产 品，大量相同的长生不老家庭供给劳动、持有资本、消费 并储蓄。 不考虑市场的不完美性以及由异质家庭和代际关系造成的 所有问题。

H
(2.10)

e
H


t 0 e
L(t ) [W (t ) C(t )] dt H
s
lim e
R( s )
K ( s) 0 H
（2.10）表明，在极限时形式中家庭所持有资产的现值不 能是负的。这就是著名的非蓬齐对策条件。
14
专栏：非蓬齐对策

15

家庭最优化决策


代表性家庭想在其预算约束限定下最大化其终身效用。为做到这 一点，我们需要用每单位有效劳动的消费与劳动去表示目标函数 与预算约束 将c(t)设为每单位有效劳动的消费。因此每工人的消费C(t)，等于 A(t)c(t)。家庭的瞬时效用函数等于：


17


Rt e c(t ) t 0
A(t ) L(t ) A(0) L(0) dt k (0) H H

A(t)L(t) dt t 0 w(t ) H

Rt ( n g )t c(t )e dt t 0 e
k (0)

Rt ( n g )t w(t )e dt t 0 e
) (n g )t
(2.19)

(t ) c r (t ) (n g ) c(t )
(t ) r (t ) n g r (t ) g c c(t )
由于一个变量的对数关于时间的导数等于其增长率，则有：
(2.20)
~ c f (k )c ~ c ~ ~ k c ~ k k
~ k ~ c
38
调整的速率：为理解收敛于平衡路径的含义，表达式改写 为： 1 4 2 ( { ( 1)k 2[k (n g )k ]}1/ 2 (2.38) 1 2
e
c(t )]
Bet c(t ) e Rt e( n g )t
19

为明白（2.17）对消费行为的含义，给上式两边取对数
(2.18)

ln B t ln c(t ) ln R (t ) (n g )t ln
两边求导，可得：

t
0 r (
s
lime
R( s ) （n g）s
e
k (s) 0
28
4、鞍点路径


对于k的任何为正的初始水平，存在一个一个惟一的c的初 始水平。它与家庭的跨期最优化，资本存量的动态学，家 庭预算约束以及k不为负的要求相一致将这种初始的c作为 k的一个函数的函数便是著名的鞍点路径。 (详见教材)
29
2.3

44
专栏: RCK模型和戴蒙德模型的比较

相同之处：

均建立在一般均衡分析框架下 均建立了宏观经济学的微观基础，通过最优化分析，确定社会最 优消费、投资与储蓄，并描绘增长 均放弃了储蓄率外生的假定，将储蓄率表示为资本存量的函数， 以分析储蓄率变动 均从市场竞争（行为人最优）以及中央计划者配置（社会性最优 ）两个角度审视相应最优化结果是否具有一致性 人均资本存量以及人均消费量（以效率劳动的角度衡量）在长期 内的增长率均为零，不存在持续性的增长机制。
6
1、厂商行为

7
2、家庭行为

8

9

10
附录：CRRA效用函数

CARA与CRRA ：

ห้องสมุดไป่ตู้
CARA：constant absolute risk aversion，常绝对风险规避效用函 数 CRRA：constant relateve risk aversion，常相对风险规避效用函 数
c(t )e
( n g )t
dt k (0)


t 0
e R(t )[ (t ) G(t )]e(n g )t dt
40
5、政府购买的永久性与暂时性变动的效应

41

42
2.5
戴蒙德模型中的家庭行为分析
43
1、模型的基本假设

戴蒙德模型属于叠代模型 叠代模型的发展：阿莱(Allais，1947)提出，萨缪尔森 （Samuelson，1958）和戴蒙德(Diamond，1965)，布兰 查德（Blanchard，1985）等发展。 宏观经济学微观基础的第二个基本模型，旨在确定社会的 最优消费、储蓄和投资。
~ c ~ ~ c c k c k c
36
附录：泰勒级数展开

( x)
( x0 ) ( x0 )
0! 1!
( x x0 )
( x0 )
2!
( x x0 )
2
( n ) ( x0 )
n!
( x x0 )n Rn ( x)
45

不同之处：

人口：
拉姆齐模型：生命期无限，家庭效用函数采用无限期界连续最优控制 戴蒙德模型：生命期有限，划分为青年和老年两个阶段，青年期只生
3
主要内容
2.1 RCK模型中的厂商和家庭行为分析
2.2 经济的动态学 2.3 福利和平衡增长路径
2.4 贴现率下降的影响和政府购买的影响
2.5 戴蒙德模型中的家庭行为分析 2.6 经济的动态学 2.7 政府购买的影响
4
2.1
RCK模型中的厂商和家庭行为分析
5
拉姆齐（1928）提出，卡斯和库普曼斯（1965）发展。 宏观经济学微观基础第一个基本模型，旨在确定社会最优 储蓄率。
Rn ( x)
( n1) ( p)
(n 1)!
( x x0 )n1
( p在x0与x之间)
37

f (k )c ~ ~ c k

~ ~ ~ k [ f (k ) (n g )]k c ~ ~ [( g ) (n g )]k c ~ ~ k c

1 4 1 2 （ g )[ g (n g )}1 / 2 ） (2.39) 1 （ { 2
39
4、政府购买的效应

(t ) f (k (t ) c(t ) G(t ) (n g )k (t ) k


t 0
e
R (t )

一般情况下，常借用效用函数的二阶导数的符号来判断对 待风险的态度。大于零为风险偏好型；小于零为风险规避 ；等于零为风险中立。
11

12


R（t ) e C(t ) t 0
L(t ) K (0) H H

R( t ) e W (t ) t 0
L(t ) dt H
K(0) H
(2.11)
C(t )1 [ A(t )c(t )]1 1 1 [ A(0)e Rt ]1 1 A(0)1- e (1 ) gt
16
c(t )1 1

U

t e t 0
C (t )1 L(t ) dt 1 H
1 nt c ( t ) L ( 0 ) e t 1 (1 ) gt t e [ A ( 0 ) e ] dt 0 1 H 1 L ( 0 ) c ( t ) t (1 ) Rt nt A(0)1 e e e dt t 0 H 1 1 c ( t ) t B t e dt 0 1
中级宏观经济学
第2章 无限期界模型与世代交叠模型
阅读资料： 罗默：《高级宏观经学》（第四版），第2章 Ramsey., F. P., A Mathematical Theory of Saving, The Economic Journal, Vol. 38, No. 152 (Dec., 1928), pp. 543-559. Cass, David, Optimum Growth in an Aggregative Model of Capital Accumulation, The Review of Economic Studies, Vol. 32, No. 3 (Jul., 1965), pp. 233-240

C
0 k
0 k
图（2.2） k 的动态学
24
k
c
0 c
0 k
k
k
图2.3 c 与k 的动态学
3、C的初始值


K的初始值是给定的，c的初始值必须被决定。图2.3 表明 在给定c和k的初始值时，为满足家庭的跨期最优化条件。 以及连接k的变化与产出和消费的方程。C与k如何地必须 随时间而演化；k的初始值是给定的，但是C的初始值必须 被决定 。 当k被给定时，假定c的各种可能值，最后得到c的唯一取 值。
20

21
2.2
经济的动态学
22
1、C的动态学

(t ) f (k (t ) g c c(t )
C
0 c
0 c
k
图2.1 c的动态学
23
k
2、K的动态学
假设不存在折旧，因此则有： (2.24) k (t ) f (k (t )) c(t ) (n g )k (t )

L(t ) s R( t ) [W (t ) C(t )] dt t 0 e H
0
lim
s 0
K (0) [ H

S
t 0
e
R (t )
L(t ) [W (t ) C (t )] dt] 0 H
13
在s 时刻，家庭和资本持有量为： K ( s) (2.9) R( s ) K (0) s R ( s ) R( t )
18

lim
s
e R ( s ) e ( n g ) s k ( s) 0
1 c ( t ) t B t e dt [k (0) 0 1
e

Rt ( n g )t w（t）c(t )dt t 0e e
R (t ) ( n g )t
26
c
A
B C F
k (0)
D
0 c
k


其中ABC 三点的初始消费之较高。最终经济处于消费永久上升， 而资本永久下降的路径。而D点表明初始消费很低的，最终经济处 在消费日益下降，而资本日益上升的路径上。但如果经济正好处 在临界水平上它会最终收敛于c和k均不变的点上。 值得说明的是：为排除由低于F的点开始的路径，可以利用资本持 有量的极限行为表示的预算约束。
2、平衡增长路径

经济行为一旦已经收敛于点E，它便等同于处在平衡增长 路径上的索罗经济的行为。 因此索罗模型关于经济增长的驱动力的核心含义并不能够 依据一个不变的储蓄率的假设决定。即使当储蓄是内生的 ，劳动的有效性增长仍是每工人产出不断增长的惟一可能 的源泉。
3、资本的黄金律水平



索洛模型和RCK模型的平衡增长路径之间的惟一显著 的差异是：拥有资本量大于黄金资本水平的平衡路径 时不可能的。 在索罗模型中，充分高的储蓄率引致经济达到一个平 衡路径，存在一些可行的选择，它们涉及在美时刻跟 高水平的消费。 因此k 收敛于与一个低于黄金律水平的资本量。由于 是经济收敛于平衡增长路径时的k的最优水平，它便 是著名的修正的黄金律资本存量。