控制系统数学模型的建立

y y0 f ( x0 )x
f ( x0 ) 2 x 2!
忽略二次以上高阶无穷小
y f ( x0 )x
（接上页）
（2）具有两个自变量非线性方程 y f ( x1, x2 ) 的 线性化
设在平衡点(x10,x20)处的各阶偏导数都具有有 限值，略去二次以上高阶无穷小，
Lf dw Tf J ( B w MR df ； Tf—励磁回路时间常数 秒 ) , dt
TmL T —— 惯性和阻尼摩擦时间常数 , （ ）消去中间变量 , Md ∵ ( 秒 ) f iB f ； m3 K Kd i 。 Kd ——电动机传递系数， M d K mΦ K m K f i f K i i f R f BJ —— 转动部分转动惯量； L f J d 2w L f J dw Ki B — 阻尼摩擦系数。 ( ) w uf ∴ 2
（接上页）
（1）单变量非线性方程
y f ( x)
的线性化
将 y f ( x) 在平衡点P(x0,y0)附近展成泰勒级数，即
f ( x0 ) y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2!
x x0 x
f ( x0 ) y0 在平衡点，
dy(t ) f1 (t ) B dt
B—— 阻尼系数
弹簧力
f2 (t) = Ky(t)
K—— 弹性系数
（3）代入上式并整理
d 2 y (t ) dy (t ) M B Ky (t ) f (t ) 2 dt dt
—— 线性定常二阶微分方程式
建模举例3
Ra—— 电枢回路总电阻(欧)； 控制量 —电枢电压 Ke—— 电势系数 (伏/弧度 /秒)；ua ， 扰动—负载转矩 M 变化 w —— 电动机角速度 (弧度/秒 )L ； 输出（被控量）： ua—— 电枢电压 (伏)； 2) ； 式中 J—— 转动部分转动惯量 ( 公斤 · 米 角位移q ia — 电枢电流(安— )。 ML—— 电动机轴上负载转矩(牛顿· 米)； 或角速度w ， Md— 电动机转矩(牛顿· 米d )。 ia La Ra ia K ew ua （1）列写原始方程式。电枢回路方程式： t · Km— 电动机转矩系数(d 牛顿 米/安)。 dw 根据刚体旋转定律，写出运动方程式 J ML Md
式中 T1=L/R，T2=RC 为该电路的两个时间常数
或
建模举例2
弹簧—质量—阻尼器系统
输入——f (t) 输出——y(t) 要求写出系统在外力f (t) 作用下的运动方程式
d2 y f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) M 2 dt
（1）列出原始方程式。 （2）消去中间变量 阻尼器阻力
2 h0
h
h R
R
2 h0
由
S
S
dh qi q dt
增量化，得
dh S qi q dt
a
~ 称为液阻
dh h qi dt R
整理，得 RS
dh h Rqi dt
§2-3 控制系统的传递函数
2.3.1 传递函数的概念
RC电路如下：
Ri(t ) uc (t ) ur (t )
1 uc (t ) i(t )dt C
duc (t ) RC uc (t ) u r (t ) dt
消去中间变量i(t)，得 进行拉氏变换： 求出Uc(s)的表达式：
RCsUc (s) RCuc (0) U c (s) U r (s) 1 RC U c ( s) U r ( s) uc (0) RCs 1 RCs 1
§2-1 概述
数学模型:描述系统各变量之间关系的数学表达式。
动态模型：描述系统动态过程的方程式。 如微分方程、偏微分方程、差分方程等。 静态模型：在静态条件下(即变量的各阶导数为零)，描述 系统各变量之间关系的方程式。
建模途径：
•理论推导法——通过系统本身机理(物理、化学wk.baidu.com律)的分析
确定模型的结构和参数，从理论上推导出系
a为节流阀的流量系数(米2.5/秒) dh S a h qi （3）消去中间变量q，得 dt
——一阶非线性微分方程式
非线性方程的线性化 • 增量化数学模型：将输入输出参数都用增量
来表示的数学模型。 例如 热力系统数模： dq o
T dt
设Q=常量 φi 静态时：φ i
、θ i
(QC p R 1)q o R i (QC p R 1)q i
线性化举例
试将流体过程数学模型
S
即将 q
a
dh a h qi dt
线性化，
h 线性化，并写出增量化数学模型。
过工作点(h0 ,q0)作一切线代替原曲线，切 线斜率K 。 dq d (a h ) a
K dh |h h0 dh |h h0 2 h0
q Kh
a
统的数学模型。 •实验测试法—根据对系统的观察，通过测量所得到的大量输 入、输出数据，推断出被研究系统的数学模型。
建立系统数学模型时，应注意：
• 根据研究目的和精确性要求，忽略一些次要因素， 使系统数学模型简化，便于数学上的处理。 • 根据所采用的分析方法，建立相应形式的数学模 型(微分方程、传递函数等)，有时还要考虑便于 计算机求解。
§2-2
系统微分方程式的建立
建立系统(或元件)微分方程式的一般步骤：
(1)确定输入变量和输出变量;
(2)根据物理或化学定律，列出系统(或元件)的原始方程式； (3)找出中间变量与其它因素的关系式； (4)消去中间变量， 得到输入输出关系方程式； (5)若所求输入输出关系为非线性方程，则需进行线性化；
1 U c ( s) U r ( s) RCs 1
若uc(0)=0
或
G( s)
U c ( s) 1 1 U r ( s) RCs 1 Ts 1
式中 T=RC
传递函数的定义
传递函数:
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
若线性定常系统由下述n阶微分方程描述： dn d n 1 d an n c(t ) an 1 n 1 c(t ) a1 c(t ) a0c(t ) dt dt dt dm d m 1 d bm m r (t ) bm 1 m 1 r (t ) b1 r (t ) b0 r (t ) dt dt dt
磁场控制的直流电动机
uf —— 励磁电压(伏)； 设 if —— 励磁电流(安)； 电枢电流Ia=常数， Rf —— 励磁回路电阻 ( 欧 )； 气隙磁通F(t) Kf if (t)， — 励磁绕组磁链(韦)。
励磁回路电感Lf=常数。
（1）激磁回路方程式
u f Rf if
d dt
（2）电机转矩Md克服系统惯性和负载的阻尼摩擦，有
（2）i与uc(t)的关系 u c (t ) 1 idt
C
duc (t ) 或 iC dt
（3）消去i，得
d 2 u c (t ) du c (t ) LC RC u c (t ) u r (t ) 2 dt dt
d 2 u c (t ) du c (t ) T1T2 T2 u c (t ) u r (t ) 2 dt dt
R f B dt Rf B dt Rf B
J
或
dw T f Tm 2 (T f Tm ) w Kdu f dt dt
d 2w
输入量：控制参数 i 干扰θ i 和 Q 输出量： q0
建模举例5 热力系统
（1）按能量守恒定律 t i c o s （2）找出中间变量
θi θo
对象
都不变，并等于额定值，
则θo 就等于给定值。从而 输入与输出关系式为：
dq o 0 dt
—平衡状态
(QCp R 1)q o0 Ri 0 (QCp R 1)qi 0
其中， q o q o0 q o , i i 0 i ,q i qi 0 qi
—— 机电时间常数，(秒) —电动机电枢回路时间常数，一般比Tm小，(秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
Ta Tm d 3q dt 3 Tm d 2q dt 2 T T T dM L dq 1 ua m M L a m dt Ke J J dt
—— 三阶线性定常微分方程
建模举例4
普通高等教育“十一五”国家级规划教 材
自动控制原理
第2章 控制系统数学模型的建立
机械工业出版社
第二章 控制系统数学模型
2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 概述 数学模型 系统微分方程式的建立 传递函数 控制系统结构图 控制系统的传递函数
本章主要内容：
• 系统和元件数学模型的建立 • 传递函数的概念 • 结构图建立及化简
(6)标准化。将输入项及各阶导数放到方程的右边，将输出项及 各阶导数放到方程的左边，然后按降幂的顺序排列。
建模举例1
R-L-C电路
ur(t)—输入量，uc(t)—输出量。 列出uc(t)与ur(t)的关系式。
（1）写出原始方程式
i是中间变量
di 1 L Ri idt u r (t ) dt C
t C
dq 0 dt
0 —— 出水带走的热流量(瓦特)； （3）代入热平衡方程 (1 瓦特)； dq 0 c —— 进水带入的热流量 1 C (QC —— )q) i (QC p )q i C —— 水箱中水的热容量 Q —— 出水流量 ( 焦耳 公斤 /℃）； 秒 p 0； R 由水箱内壁通过热绝缘扩散 — 通过热绝缘耗散的热流量 (瓦特)。 dt R R s Cp ——d水的比热 (℃ 焦耳 /公斤· ℃ )。 q 0 —— 水箱中水的温度 )。 到周围环境的等效热值 (℃/瓦特)。 q 0 或 T (QC p R 1)q 0 R i (QC p R 1)q i dt ——一阶非线性微分方程式 当Q一定，q i也为常值时，系统为一阶线性定常微分方程 T=RC为热时间常数(秒)。 dq T (QC p R 1)q R i dt
Ke Km
（续上页）
L a J d 2w Ra J dw Ra La dM L 1 w ua ML 2 K e K m dt K e K m dt Ke Ke Km K e K m dt
或
Tm
Ta
Ta Tm
Ra J K eK m
La Ra
d 2w dt 2
Tm
T T T dM L dw 1 w ua m M L a m dt Ke J J dt
（2）Md和ia是中间变量。 联立求解，整理后得 L a J d 2w Ra J dw
K e K m dt
2
原理图和结构图如下：
电枢控制的直流电动机 式中 L —— 电枢回路总电感(亨)；
a
输入：
dt
电动机转矩与电枢电流成正比，有 M d K m ia
Ra La dM L 1 w ua ML dt Ke Ke Km K e K m dt
f f y y0 y f ( x10 , x20 ) x x x ( x1 x10 ) x x x ( x2 x20 ) 2 1 10 1 x12 x10 x2 x20 20
或
f f y x x x x1 x x x x2 2 1 10 1 x12 x10 x2 x20 20
q0 qi QC q QC q 0 p 0 s )； t —— 供给水箱中水的热流量 (瓦特 c p i
R
建模举例6 流体过程
输入__qi 输出__h
（1）根据物质守恒定律得：
dh S qi q dt
（2）按流量公式可得 q a h S —— 液罐截面积(米2)； h —— 液面高度(米)；