2.函数极限、连续、可积性习题题目2010_798907746

1 π = . 1− x 2
（3） lim(sin
x 2 + 2 − sin x 2 + 1) = 0 ．
2. 求下列极限： (1) lim(sin
x →∞
1 1 + cos ) x . x x
(2) lim(1 + sin x ) 2 x .
x →0
1
ln( x 2 − x + 1) (3) lim . x →∞ ln( x10 + x + 1)
2
2
函数极限、连续函数的性质、可积性习题解答 2010-3-31
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9.证明：函数 f ( x) 在 [a, b] 上可积的充分必要条件是：任给 ε > 0, σ > 0 ，存在划分 T = {xk } ， 使得振幅 wk ≥ ε 的小区间 [ xk −1 , xk ] 的长度之和
n →∞ n →∞
第二部分 积分概念与可积性习题 1．假设 f ( x) 区间 [a, b] 上可积且有原函数 F ( x) （注释：在区间 [a, b] 可积的函数未必有原 函数）则有 ∫a f ( x)dx = F (b) − F ( a ) ． 2．设 f ( x ) 在[ a , b ] 上严格单增，且 f ′′( x) > 0 ，则
k n
wk ≥ε
∑ Δx
k
<σ ．
n −1
10. 证明分部求和公式：设 S k =
∑ ai ，则 ∑ ak bk = ∑ Sk (bk − bk +1 ) + Snbn ．
i =1 k =1 k =1
11.证明 Abel 引理：若 b1 ≥ b2 ≥ " bn ≥ 0 ，且 m ≤ S k =
n
∑ ai ≤ M (k = 1, 2," , n) ，则
b (b − a) f (a) < ∫a f ( x)dx < (b − a )
b
f (a) + f (b) ． 2
3．求证：假设 f ( x) 在 [a, b] 上可积，则 ∀ε > 0 ，存在区间 [a, b] 上的阶梯函数 g ( x) ，使得
b ∫a | f ( x) − g ( x) | dx < ε ．
i =1
k
b1m ≤ ∑ ak bk ≤ b1M ．
k =1
3
且
有
界
，
若
f (a )
< sup { f ( x )} ， 则
x∈ [ a ,+∞ )
∀α , f (a) < α < sup { f ( x)} ， ∃ξ ∈ (a,+∞) ，使得 α = f ( ξ ) .
x∈[ a , +∞ )
1
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8.设 f ( x), g ( x) ∈ C[0, +∞),
x →+∞
lim [ f ( x) − g ( x)] = 0 ．证明：函数 f ( x) 在 [0, +∞) 上一致连
续当且仅当函数 g ( x) 在 [0, +∞) 上一致连续． 9． 证明： 函数 f ( x) 在区间 I 上一致连续的充要条件是： 对区间 I 上的任何两个数列 {xn } 与
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函数极限、连续函数的性质、可积性习题题目 第一部分 函数极限、连续函数的性质习题 1． 用函数极限的定义证明： （1） lim
2x2 + 1 = 2. x →∞ x 2 − 3
x →∞
（2） lim arctan −
x →1
{ yn } ，当 lim( xn − yn ) = 0 时，有 lim[ f ( xn ) − f ( yn )] = 0 .并证明函数 f ( x) = e x 在 R 上非
n →∞ n →∞
一致连续. 10． 设函数 f ( x) 在区间 (a, +∞) 连续并有界． 证明： 对于任意的数 T ， 可以找到序列 {xn } 满 足 lim xn = ∞ ，且 lim[ f ( xn + T ) − f ( xn )] = 0 ． （书后习题）
4．证明下列各题： （1）设 a > 1, k > 0 ，利用 lim （2）证明 f ( x) = sin
nk xk = 0, 求证： lim =0． n →∞ a n x →+∞ a x
x 在 [0, +∞) 上一致连续.
2
（3）证明 f ( x) = sin x 在 [0, +∞) 上不一致连续. 5. 试举出定义在 R 上的函数 f 的例子，使 f 仅在 x = 0, 1, 2 三点处连续，而其余的点都是
4．设 f ( x) 在 [a, b] 上可积，求证函数 exp[ f ( x)] 在 [a, b] 上可积． 5.证明：当 f ( x) ≥ 0 时， w ≤
f
2 wf ．
2
6．设函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上可积， f ([a, b]) ⊆ [ A, B ] ， g (u ) 在区间 [ A, B] 可积．能否 断定函数 g ( f ( x)) 在区间 [a, b] 可积？试研究函数
f 的第二类间断点．
6. 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续，对 ∀x ∈ [a, b] ，总存在 y ∈ [ a, b] 使得 f ( y ) ≤ 至少存在一点η ∈ [a, b] ，使得 f (η ) = 0 ． 7 ． 设
1 f ( x) ．求证： 2
f ( x ) ∈ C[ a , +∞ )
3. 求解下列各题：
⎛ x2 −1 ⎞ (4) lim ⎜ 2 ⎟ . x →∞ x + 1 ⎝ ⎠
x2
(1)已知极限 lim ( x − x + 1 − ax − b) = 0 ，确定 a 与 b .
2 x →+∞
(2) 讨论极限 lim ⎜
⎛ 1 ⎡1⎤⎞ − ⎢ ⎥ ⎟ 是否存在？ x →1 x ⎣x⎦⎠ ⎝
x 是无理数， ⎧ 0, ⎧0, u = 0， ⎪ g (u ) = ⎨ f ( x) = ⎨ 1 m ⎪ n , x = n (m, n互素)， ⎩1， u ≠ 0 . ⎩
7. 设函数 f ( x) 在区间 [aБайду номын сангаас b] 上可积， f ([a, b]) ⊆ [ A, B ] ， g (u ) 在区间 [ A, B] 上连续，则 函数 g ( f ( x)) 在区间 [a, b] 可积． 8.证明： f ( x ) ∈ R[ a, b] ⇔ f ( x ) ∈ R[ a, b] ．