(文章)函数表示法中的一题多解

函数表示法中的一题多解

函数的三种表示方法——列表法、图像法和解析法，是研究函数问题的基点和出发点. 通过函数表示法中的一题多解，一方面我们可以在了解三种表示法各自优缺点的基础上，能根据不同问题的需要，达到灵活运用函数表示法的境界，即合理选择某种函数的表示法、综合运用几种函数的表示法，以及善于转化几种函数的表示法；另一方面可以从不同的角度帮助我们在更高层次上把握函数的概念、图像和性质.

一、把握函数概念中的一题多解

例1已知函数()()x g x f ,分别由下表给出：

则()[]1g f 的值 ；满足

()[]()[]x f g x g f >的x 的值 .

分析：因为题设中的两个函数都是由列表法给出的，定义域相同且有限，值域也有限，所求的问题也只与三个函数值有关，所以既可以通过解析法直观求解，又可以通过一个综合型的表格法直观求解.

解法1：∵⎩⎨⎧=31)(x f 2,31,==x x 或，⎪⎩

⎪⎨⎧=123)(x g 3,2,1,===x x x .

∴⎩⎨⎧=31)]([x g f 2,31,==x x 或，⎩⎨⎧=13)]([x f g 2

,31,==x x 或.

∴()[]11=g f ；满足()[]()[]x f g x g f >的x 的值为2.

解法2：函数()[]()[]x f g x g f x g x f ,),(),(由同一张表格给出：

x 1 2 3

)(x f 1 3 1 )(x g 3 2 1

)]([x g f 1 3 1

)]([x f g

3 1 3 ∴由上表可得()[]11=g f ，且满足()[]()[]x f g x g f >的x 的值为2.

点评：不论是解析法还是列表法，都能准确而清晰地表达自变量与函数值之间的对应关系，有时为了便于问题的解决，可以变通一些函数的表示法，如这里为了便于比较两个函数值的大小，就用了一种综合型的表格法.

例2 求函数11)(22

--=x x x x f 的值域.

分析：求含绝对值函数的值域，关键是如何去掉绝对值，所以既可以把原函数转化为分段函数求解，又可以通过图像法直观求解.

解法1：原函数写成分段函数得⎩

⎨⎧-=,,)(x x x f 11>x 时，x x f =)(的值域是),1()1,(+∞--∞ . 故取其并集即得函数)(x f 的值域为{}1±≠∈y R y y ，且.

解法2：⎩

⎨⎧-=,,)(x x x f 11>

观察图像得函数)(x f 的值域为{}1±≠∈y R y y ，且.

点评：研究含绝对值函数的问题，一般转化为分段函数求解，其目的就是把一个复杂问题转化为几个简单的问题来解决，从中我们更深刻地认识到了分段函数不是几个函数，而是一个函数.

二、把握函数图像中的一题多解

例3 图中的图像所表示的函数的解析式为( ) (A)|1|23-=x y )20(≤≤x (B)|1|2

323--=x y )20(≤≤x (C)|1|23--=x y )20(≤≤x (D)|1|1--=x y )20(≤≤x

分析：把已知图像转化为解析式表示，宜根据图像的特征，选择相应的函数模型通过待定系数法求解；又根据选择题的题型特征，可从图像的特殊点（最高、最低点，与坐标轴的交点等）入手，用表格法巧妙求解.

解法1：当10≤≤x 时，令ax y =，则点)2

3,1(代入解得23=a ，从而x y 23=；当21≤

3,1(、)0,2(分别代入解得3,23=-=b a ，从而32

3+-=x y . ∴已知图像所表示的函数的解析式为⎪⎩⎪⎨⎧+-=32

323x x y 21,10,≤<≤≤x x ，与选择支(B)的函数转化为分段函数后的解析式相同，故选(B).

解法2：由已知图像列表如下：

x 0 1

2 y 0 2

3 0 用点)0,0(代入选择支可排除(A)(C)，再用点)2

3,1(代入选择支可排除(D)，故选(B).

点评：研究函数的图像，既要从局部特征出发，研究它的特殊点、特殊线，又要从整体着眼，并预测整体的变化趋势.

例4 客车从甲地以h km /60的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以h km /80的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图像中，正确的是

( )

分析：先把实际问题转化为函数解析式，再转化为图像；也可在实际问题中，找出几个分界点或关键点，与已知图像一起双管齐下来破解.

解法1：当10≤≤t 时，t s 60=；当5.11≤

∴路程s 与时间t 之间的函数解析式为⎪⎩

⎪⎨⎧-=60806060t t y 5.25.1,5.11,10,≤<≤<≤≤t t t ，

对照图形选(C).

解法2：根据题意列出客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间的关系表格如下： t 0 0.5 1 1.25 1.5 2 2.5

s 0 30 60 60 60 100 140

用点)60,25.1(代入选择支可排除(B)，再用点)100,2(代入选择支可排除(A)

(D)，故选(C).

点评：从中我们进一步认识到了函数图像在实际问题中的作用与重要性，有时甚至用其它表示方法是无法替代的.