行星的轨道和位置

行星的轨道和位置

高路

（船舶海洋与建筑工程学院 5120109107）

一、背景介绍

16世纪以前，人们都认为行星绕太阳旋转的轨迹是圆。17世纪初，在丹麦天文学家T.Brache观察工作的基础上，Kepler提出了震惊当时科学界的行星运动三大定律：

1.行星运行的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆；

2.从太阳指向某一行星的线段在单位时间内扫过的面积相等；

3.行星运动周期的平方与其轨道椭圆长轴的立方之比值是不随行星而改变的常数。

对这三条定律的分析和研究导致Newton发现了著名的万有引力定律，而同时，应用万有引力定律，Kepler的行星运动三大定律得到了理论上的推导。由于行星间引力的存在，基于万有引力定律的计算表明：行星的轨道应该是稍偏于以太阳为焦点的椭圆。计算结果与天文学家测得的实际结果在木星、土星等行星的轨道上相当吻合，然而在天王星的轨道上却存在着不容忽视的误差。当时人们只发现了太阳系的七大行星，天王星是其中最后发现的（1781年），于是科学家们猜想：还存在影响天王星运行轨道的其他行星。1864年，Adams（英）与Leverrier（法）分别推算出这颗可能存在的行星的位置，同年，天文学家就在他们推算的方位上找到了海王星。由于这颗行星的发现首先依赖于根据万有引力定律的计算，因此它被称为“铅笔尖上的行星”。此后，仍是类似的猜想和推算导致了质量较小的冥王星被发现，这充分说明了Newton万有引力定律这样一个数学模型的正确性和重要性。

二、实际问题

水星距太阳最远处（远日点）距离为6.982×1010m，此时地球绕太阳运动（公转）的速度为3.886×104m/s，试求：

（1）地球距太阳的最近距离；

（2）地球绕太阳运转的周期；

（3）在从远日点开始的第50天结束时，地球的位置与速度。

三、数学模型

设太阳中心所在位置为复平面之原点O,在时刻t,行星位于

()θi re

Z=……………………………（１）

t

所表示的点P 。这里()t r r =，()t θθ=均为t 的函数，分别表示()t Z 的模和

辐角。

于是行星的速度为

dt

d ir

e e dt dr dt dZ i i θθθ+=

⎪

⎭⎫ ⎝⎛+=dt d ir dt dr

e i θθ 其加速度为

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dt d dt dr dt d r i dt d r dt r d e dt Z d i θθθθ22222222………（2） 而太阳对行星的引力依万有引力定律，大小为2

r

mMG

，方向由行星位置P 指向太阳的中心O ，故为θi e r

2

mMG -

，其中()kg M 30

10989.1⨯=为太阳的质量，m 是行星的质量，

()2

211/10672.6kg m N G ⋅⨯=-为万有引力常数。 依Newton 第二定律，我们得到

222-dt

Z

d m

e r mMG i =θ……………………（3） 将式（5.2）代入式（5.3），然后比较实部与虚部，就有

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫

⎝⎛-=+22

222

202r MG dt d r dt

r d dt d dt dr dt d r θθθ………………（4,5） 这是两个未知函数的二阶微分方程组。在确定某一行星轨道时，需要加上定解条件。我们设当0=t

时，行星正处于远日点，而远日点位于正实轴上，距原点O

为0r ，行星的线速度为0v ，那么就有初始条件：

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪

⎨⎧=

=======000000000r v dt

d dt dr r r t t t t θθ……………………………………（6~9）

问题（4）~（9）就是行星绕太阳运行的轨迹的数学模型。

将式（4）乘以r , 即得

02=⎪⎭

⎫

⎝⎛dt d r dt d θ

从而

()常数12

C dt

d r =θ………………………………（10） 其中

001v r C =

这样，有向线段OP 在时间t ∆内扫过的面积等于

2

2112t

C dt dt d r t

t t

∆=

⎰∆+θ……………………………（11） 显然，这正是Kepler 的第二定律：从太阳指向行星的线段在单位时间内扫过的面积相等。

将式（10）改写后代入式（5）得

232

122r

MG

r C dt r d -=- 于是我们得到了行星运动的形式较为简单的数学模型：

⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎪⎪⎨⎧====-=-===000000212

32122t t t dt

dr r r r C dt d r MG r C dt

r d θθ……………………（12~16） 四、解析方法

I.行星的轨迹

为求得行星的轨迹方程，要消去变量t ，令u

r

1

=

，那么式（13）可以写为 21u C dt

d =θ

………………………………（17） 从而

θ

θθd du C dt d d du u dt du u dt dr 12211-=-=-=

22

221221122θ

θθθd u

d u C dt d d u d C d du dt d C dt r d -=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 将上式代入式（12），简化后为

p

u d u d 1

2

2=+θ………………………………（18） 其中MG

C p 2

1=.

式（18）是一个二阶常系数非齐次微分方程，引进p

u u 1

-=，立即可以求

出