齐次线性方程组有非零解的条件
齐次线性方程组有非零解的条件
齐次线性方程组有非零解的条件
齐次线性方程组有非零解的条件是：
利用全选主元高斯消去法求解Ax=b(A是n阶矩阵，b是列向量)，当A
的行列式det A != 0时，齐次线性方程组Ax = b才有非零解。
如果
满足这个条件，则齐次线性方程组Ax = b就有非零解。
具体来说，首先要明确的是，只有行列式det A 不等于0的矩阵A，才能用高斯消去法求出非零解。
如果行列式 det A 等于 0，那么A
就不可逆，齐次线性方程组将一直没有解。
因此，为了使齐次线性方
程组有非零解，必须确保行列式det A != 0。
除了行列式det A 的条件外，齐次线性方程组有非零解还要满足
另一个条件，即矩阵A 和列向量b的维数必须相同，即n=m（m为列向
量b的维数，n为A的阶数）。
另外，要求各个方程的右边的b的分量
都不全为0。
从上面的分析可知，齐次线性方程组有非零解的条件是：
（1）行列式det A 不等于0；
（2）矩阵A和列向量b的维数必须相同，即n=m；
（3）各个方程的右边的b的分量都不全为0。
此外，还要确保齐次线性方程组的系数矩阵A在最终得到非零解后，它能满足A×x=b。
如果不满足，那么齐次线性方程组就无法求出
非零解。
而如果满足，那么就可以用全选主元高斯消去法求出非零解，从而解决齐次线性方程组 Ax = b 的有非零解问题。
齐次方程组有非零解是什么意思
齐次方程组有非零解是什么意思
齐次线性方程组只有零解说明只有唯一解且唯一解为零（因为零解必为其次线性方程组的解）。
齐次线性方程组有非零解即有无穷多解。
如：常数项全为0的n元线性方程组
称为n元齐次线性方程组。
设其系数矩阵为A，未知项为X，则其矩阵形式为AX=0。
若设其系数矩阵经过初等行变换所化到的行阶梯形矩阵的非零行行数为r，则它的方程组的解只有以下两种类型：（1）当r=n时，原方程组仅有零解；
（2）当r<n时，有无穷多个解（从而有非零解）。
齐次和非齐次线性方程组的解法整理定稿
线性方程组解的结构解法一、齐次线性方程组的解法定义 rA = r <n ,若AX = 0A 为m n ⨯矩阵的一组解为,,,n r -12ξξξ ,且满足：1 ,,,n r -12ξξξ线性无关;2 AX = 0 的任一解都可由这组解线性表示. 则称,,,n r -12ξξξ为AX = 0的基础解系.称n r n r k k k --=+++1122X ξξξ为AX = 0的通解 ;其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数.齐次线性方程组的关键问题就是求通解, 而求通解的关键问题是求基础解系. 定理 若齐次线性方程组AX = 0有解,则1 若齐次线性方程组AX = 0A 为m n ⨯矩阵满足()r A n =,则只有零解；2 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.注：当m n =时,齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.注：1、基础解系不唯一,但是它们所含解向量的个数相同,且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -. 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组简称“导出组”为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组;由上述定理可知,若m 是系数矩阵的行数也即方程的个数,n 是未知量的个数,则有：（1） 当m n <时,()r A m n ≤<,此时齐次线性方程组一定有非零解,即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；2当m n =时,齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =； 3当m n =且()r A n =时,若系数矩阵的行列式0A ≠,则齐次线性方程组只有零解； 4当m n >时,若()r A n ≤,则存在齐次线性方程组的同解方程组；若()r A n >,则齐次线性方程组无解;1、求AX = 0A 为m n ⨯矩阵通解的三步骤1−−→A C 行行最简形; 写出同解方程组CX =0. 2 求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ;3 写出通解n r n r k k k --=+++1122X ξξξ其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数.例题1 解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵12472315071014312143001641367124726000743A --⎡⎤⎢⎥-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦显然有()4r A n ==,则方程组仅有零解,即12340x x x x ====.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数即m n =注意：方程组的个数不等于未知量的个数即m n ≠,不可以用行列式的方法来判断,从而可计算系数矩阵A 的行列式：23153121327041361247A --==≠---,知方程组仅有零解,即12340x x x x ====. 注：此法仅对n 较小时方便例题2 解线性方程组12345123452345123450,3230,2260,54330.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵11111321130122654331A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1412(5)(3)r r r r ⨯-+⨯-+−−−−→11111012260122601226⎡⎤⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦2123242(1)(1)r r r r r r r ++⨯-+-⨯−−−−→10115012260000000000---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可得()2r A n =<,则方程组有无穷多解,其同解方程组为134523455,226.x x x x x x x x =++⎧⎨=---⎩其中3x ,4x ,5x 为自由未知量令31x =,40x =,50x =,得121,2x x ==-； 令30x =,41x =,50x =,得121,2x x ==-； 令30x =,40x =,51x =,得125,6x x ==-, 于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以,原方程组的通解为 112233X k k k ξξξ=++1k ,2k ,3k R ∈. 二、非齐次线性方程组的解法 求 AX = b 的解,()m n r r ⨯=A A用初等行变换求解,不妨设前r 列线性无关1112111222221()00rn r n rrrn r r c c c c d c c c d c c d d +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A b 行其中 0(1,2,,),ii c i r ≠= 所以知1(1)0r d +≠时,原方程组无解.1(2)0,r d r n +==时,原方程组有唯一解. 1(3)0,r d r n +=<时,原方程组有无穷多解.其通解为01122n r n r k k k --=++++X ξξξη,12,,,n r k k k -为任意常数;其中：12,,,n r -ξξξ为AX = b 导出组AX = 0的基础解系,0η为AX = b 的特解,定理1 如果η是非齐次线性方程组AX=b 的解,α是其导出组AX=0的一个解,则ηα+是非齐次线性方程组AX=b 的解;定理2如果0η是非齐次线性方程组的一个特解,α是其导出组的全部解,则αη+0是非齐次线性方程组的全部解;由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解,则其导出组一定有非零解,且非齐次线性方程组的全部解可表示为： r n r n C C C --++++αααη 22110其中：0η是非齐次线性方程组的一个特解,r n -ααα,,,21 是导出组的一个基础解系; 例题3判断下列命题是否正确, A 为m ⨯n 矩阵.1若AX =0只有零解,则AX=b 有唯一解. 答:错, 因rA =n , rA = n = rA |b2若AX =0有非零解,则AX=b 有无穷多解. 答:错, 因rA <n , rA = rA |b3若AX=b 有唯一解,则AX =0只有零解. 答:对, rA = rA |b =n. 4若AX =0有非零解,则A TX=0也有非零解.答:错,A 为m ⨯n , rA =m <n , rA T=m , 这时A TX=0只有零解. 例如A 为3⨯4, RA =3 <4, rA T=3=m . 5若rA =r =m ,则AX=b 必有解. 答:对,rA =r =m= rA |b .6若rA =r =n , 则AX=b 必有唯一解. 答:错,A 为m ⨯n ,当m >n 时, 可以rA |b =n +1. ⑴ 唯一解：()()r A r A n == ⇔线性方程组有唯一解例题4 解线性方程组12312312321,224,44 2.x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=-⎨⎪++=-⎩ 解：2113(2)(4)11211121()2124032641420346r r r r A A B ⨯-++-+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦))332311(224(3r r r r r ⨯-⨯+⨯-+−−−−−→21()3100110010306010200100010r ⨯---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--−−−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 可见()()3r A r A ==,则方程组有唯一解,所以方程组的解为1231,2,0.x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩⑵ 无解：()()r A r A ≠⇔线性方程组无解或若阶梯形方程组出现100r d +=≠,则原方程组无解例题5解线性方程组12312312321,22,2 4.x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩ 解：1212132(1)21111212()1212033311240336r r r r r r A A B ↔⨯+⨯-+---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦23r r +−−−−→121203330003--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦,可见()3()2r A r A =≠=,所以原方程组无解.⑶ 无穷多解：()()r A r A n =<⇔线性方程组有无穷多解例题6解线性方程组123412413423,231,2210 4.x x x x x x x xx x +-+=⎧⎪+-=⎨⎪--+=⎩解：1213(2)21112311123()21031012752021040241410r r r r A A B ⨯-+⨯+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-−−−−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦ 2321221(1)101520127500000r r r r r ⨯+⨯+⨯---⎡⎤⎢⎥−−−−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦可见()()24r A r A ==<,则方程组有无穷多解,其同解方程组为13423425,527.x x x x x x =--+⎧⎨=+-⎩ 其中3x ,4x 为自由未知量令340,0,x x ==得原方程组的一个特解2500η-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.又原方程组的导出组的同解方程组为1342345,27.x x x x x x =-+⎧⎨=-⎩其中3x ,4x 为自由未知量令31x =,40x =,得121,2x x =-=；令30x =,41x =,得125,7x x ==-,于是得到导出组的一个基础解系为 11210ξ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,25701ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦;所以,原方程组的通解为 1122X k k ηξξ=++1k ,2k R ∈.例题7 求线性方程组：12341234123421,22,2 3.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩ 的全部解. 解： 21111()1211211213A A B -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 121213(2)(1)r r r r r r ↔⨯-+⨯-+−−−−→ 121120333301121-⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥-⎣⎦23r r ↔−−−→ 121120112103333-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦ 23212(3)(2)(1)r r r r r ⨯-+⨯-+⨯-−−−−→ 103340112100636⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦33331()3123()212r r r r ⨯-⨯⨯-⨯−−−−→310012301002100112⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可见()()34r A r A ==<,所以方程组有无穷多解,其同解方程组为14243431,23,211.2x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩其中4x 为自由未知量 令40x =,可得原方程组的一个特解1010η⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.又原方程组的导出组的同解方程组为1424343,23,21.2x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩其中4x 为自由未知量令42x =-注：这里取-2为了消去分母取单位向量的倍数,得1233,3,1x x x ==-=,于是得到导出组的一个基础解系为3312ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.所以,原方程组的通解为 X k ηξ=+ k R ∈.例题8求非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-++-=---+=-++=+-++55493123236232335432154321432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解;解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=421500421500421500312331515493111231203162312331A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→000000000000421500312331因为52)()(<==A r A r ,所以非齐次线性方程组有无穷多组解,取自由未知量为542,,x x x , 原方程组与方程组⎩⎨⎧-=-+-=+-++425323354354321x x x x x x x x 同解取自由未知量542,,x x x 为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000,得原方程组的一个特解： T ⎪⎭⎫⎝⎛=0,0,54,0,530η再求其导出组的基础解系,其导出组与方程组⎩⎨⎧=-+-=+-++025023354354321x x x x x x x x 同解对自由未知量542,,x x x 分别取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100,010,001,代入上式得到其导出组的一个基础解系为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100,010,0001352513515721ααα 则原方程组的全部解为：0332211ηααα+++=C C C X 三、证明与判断例题9已知321,,ηηη是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系,证明,,211ηηη+321ηηη++也是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系;证：由已知可得：齐次线性方程组AX ＝0的基础解系含有3个解向量,并且由齐次线性方程组解的性质可知321211,,ηηηηηη+++都是AX ＝0的解；因此只要证明321211,,ηηηηηη+++线性无关即可; 设存在数321,,k k k 使0)()(321321211=+++++ηηηηηηk k k 成立; 整理得： 0)()(332321321=+++++ηηηk k k k k k 1已知321,,ηηη是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系,即得321,,ηηη线性无关,则由1得⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k ,解得：0321===k k k 所以321211,,ηηηηηη+++线性无关; 即321211,,ηηηηηη+++也是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系; 例题10已知,,,1234ξξξξ是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系,若,,,t t t =+=+=+112223334ξξξξξξηηη t =+441ξξη;讨论t 满足什么条件时,,,,1234ηηηη是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系解：首先,,,,1234ηηηη是齐次线性方程组AX ＝0的解,只须证,,,1234ηηηη线性无关.由已知有：(,,,)(,,,)t tt t⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭12341234100100010001ξξξξηηηη 因为：,,,1234ηηηη线性无关0t tt t⇔≠100100010001, 即t t t t=100100010001t -≠041, 所以当t ≠ ±1时, ,,,1234ηηηη是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系例题11已知n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且rA =n -1,求线性方程组AX =0的通解. 解 ：由rA =n -1知AX =0的基础解系有一个非零解向量. 又0,,,,i i in a a a i n +++==1212, 即0i i in a a a ⋅+⋅++⋅=12111T (,,,),k ∴=111X k 为任意常数为所求通解.例题12设X 1,X 2,…, X t 是非齐次线性方程组 AX =b ≠0 的解向量,证明： 对于X 0=k 1 X 1+k 2 X 2+…+k t X t当k 1 +k 2+…+k t =1时, X 0是AX =b 的解；当k 1 +k 2+…+k t =0时, X 0是AX =0的解. 证 ：AX 0=Ak 1 X 1+k 2 X 2+…+k t X t =k 1 AX 1+k 2 AX 2+…+k t AX t =k 1 b +k 2 b +…+k t b =k 1+k 2+…+k t b故：当k 1+k 2 +…+k t =1时, AX 0 =b 当k 1 +k 2+…+k t =0时, AX 0=0由此可见, 非齐次方程组的解对于线性组合并不一定封闭,只有组合系数的和等于1的时候,解向量组的线性组合才是非齐次方程组的解例题13已知,12ηη为=AX β的两个不同解,12,ξξ是0AX =的一个基础解系.12,k k 为任意常数. 则=AX β的通解为 答案B (A)().k k -+++12112122ξξξηη (B)().k k ++-+12112122ξξξηη(C)().k k -+++12112122ξηηηη (D)().k k ++-+12112122ξηηηη例题14设321,,ηηη是四元非齐次线性方程组AX ＝b 的三个解向量,且矩阵A 的秩为3,()()TT 3,2,1,0,4,3,2,1321=+=ηηη,求AX ＝b 的通解;解：因为A 的秩为3,则AX ＝0的基础解系含有4－3＝1个解向量;由线性方程组解的性质得：)()(21312132ηηηηηηη-+-=-+是AX ＝0的解, 则解得AX ＝0的一个非零解为：()T5,4,3,22132----=-+ηηη;由此可得AX ＝b 的通解为：()()TTc 5,4,3,24,3,2,1+;例题15设A 是4阶方阵, β≠0是4×1矩阵, 1234()2,,,,=r A ηηηη是AX =β的解,且满足 122334232401,2,3030831⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ηηηηηη试求方程组AX =β的通解.解：先求AX =β的一个特解12112()024*⎡⎤⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ηηη再求AX =β的一个基础解系112230112()(2)1233⎡⎤⎢⎥=+-+=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ξηηηη,21234272()(3)015⎡⎤⎢⎥=+-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξηηηη因为124()2,,R -=A ξξ线性无关,所以12,ξξ是0AX =的一个基础解系.故方程组AX =β的通解是1122k k *=++=X ξξη121022*********k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 12,k k 为任意常数.例题16设矩阵A ＝()()s n ij nm ijb B a ⨯⨯=,;证明：AB ＝0的充分必要条件是矩阵B 的每一列向量都是齐次方程组AX=0的解;证：把矩阵B 按列分块：()s B B B B ,,,21 =,其中i B 是矩阵B 的第i 列向量),2,1(s i =,零矩阵也按列分块()s s m O O O O ,,,21 =⨯ 则()s AB AB AB AB ,,,21 = 必要性：AB ＝0可得： ),,2,1(,s i O AB i i ==,即i B 是齐次方程组AX=0的解;充分性：矩阵B 的每一列向量都是齐次方程组AX=0的解,即有 ),,2,1(,s i O AB i i ==得：()s AB AB AB AB ,,,21 =()s O O O ,,,21 =,即证;。
2002年考研数学(三)真题及详细解析
2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) ⑴ 设常数12a ≠，则21lim ln[]________(12)n n n na n a →∞-+=-. 【分析】将所求极限转换为1ln[1](12)lim1n n a n→∞+-，利用等价无穷小代换化简求解，或利用重要极限。
【详解】法一：11ln[1]211(12)(12)lim ln[]limlim 11(12)12nn n n n na n a n a n a an n→∞→∞→∞+-+--===-- 法二：11(12)12122111lim ln[]lim ln[1]lim ln (12)(12)12n a n aa n n n n na e n a n a a-⨯--→∞→∞→∞-+=+==---⑵ 交换积分次序：111422104(,)(,)________yyydy f x y dx dy f x y dx +=⎰⎰⎰⎰.【分析】写出对应的二重积分积分域D 的不等式，画出D 的草图后，便可写出先对y 后对x 的二次积分【详解】对应的积分区域12D D D =+，其中11(,)0,4D x y y y x y ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭2111(,),422D x y y y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭画出D 的草图如右图所示，则D 也可表示为 21(,)0,2D x y x x y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭故211114222104(,)(,)(,)yxyyxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⑶ 设三阶矩阵122212304A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，三维列向量(,1,1)Ta α=。
已知A α与α线性相关，则______a =。
【分析】由A α与α线性相关知，存在常数k 使得A k αα=，及对应坐标成比例，由此求出a【详解】由于122212123304134a a A a a α-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦由A α与α线性相关可得：233411a a a a ++==，从而1a =-。
线性方程组有解的判定条件
解 对增广矩阵B进行初等变换，
1 B =3
−2 −1
3 5
−1 −3
1 2
r2 r3
− −
2r1r1
1 0
−2 5
3 −4
−1 0
1 − 1
2 1 2 − 2 3 r3 − r2 0 05 −04 0 12
显然，R( A) = 2, R(B) = 3, 故方程组无解．
例３ 求解非齐次方程组的通解
λx1 + x2 x1 + λx2
+ +
x3 x3
= =
1
λ
x1 + x2 + λx3 = λ2
问λ取何值时,有解?有无穷多个解 ?
解 对增广矩阵 B = ( A,b) 作初等行变换，
λ 1 1 1 1 1 λ λ2
B=1 λ 1 λ ~1 λ 1 λ
1
1λ
λ2
λ
1
1
1
1 1
一、线性方程组有解的判定条件
问题：如何利用系数矩阵 A 和增广矩阵 B 的秩， 讨论线性方程组 Ax = b 的解．
定理1 n 元齐次线性方程组 Am×n x = 0 有非零解
的充分必要条件是系数 矩阵的秩 R(A) < n.
证 必要性. 设方程组 Ax = 0 有非零解，
设R(A) = n,则在A中应有一个n阶非零子式Dn,从而
x2 x3
− −
x3 x4
= a2 = a3
由此得通解：
x4 − x5 = a4
x1 = a1 + a2 + a3 + a4 + x5
x2 = a2 + a3 + a4 + x5 x3 = a3 + a4 + x5
齐次线性方程组有非零解条件的应用
2032013年第9期总第131期No.9.2013Sum 131高等教育齐次线性方程组有非零解条件的应用慕晓凯（广东培正学院人文系广东广州510830）摘 要：讨论了齐次线性方程组有非零解的条件定理在求解代数、解析几何、数学分析等数学分支中的某些问题时的应用，并着重指出了在解决这些问题时利用题中所给的一些条件巧妙地构造齐次线性方程组的方法和技巧。
关键词：齐次线性方程组；非零解；应用中图分类号：O13文献标识码：A 文章编号：1000-9795（2013）09-0203-02收稿日期：2013-08-14作者简介：慕晓凯（1985-），男，河南平顶山人，从事微分流形向的研究。
一、齐次线性方程组有非零解的两个定理线性代数中关于齐次线性方程组有如下两个定理[1]：定理1：齐次线性方程组有非零解的充要条件是.定理2：如果齐次线性方程组的系数矩阵的秩，那么它有非零解.相比之下，定理1的应用更为广泛，它最直接的应用就是解决一些线性方程组的问题。
除此之外，它在代数以外的其它数学分支中也有着举足轻重的作用。
本文也将重点讨论定理1的应用。
二、定理1的应用举例2.1在代数学中的应用2.1.1运用定理求解具有一些等式关系的问题例1设不全为零，且其中任意两个不相等，又知，求所满足的关系式.解：由已知得，即(1)因为不全为零，且其中任意两个不相等，所以关于的齐次线性方程组(1)有非零解，故系数矩阵行列式为零，即将上式展开并整理得.这就是所满足的关系式.在上面的例题中，直接求解比较麻烦。
但题设中已知不全为零，且其中任意两个不相等，由此去构造以为未知量的齐次线性方程组去化简问题的求解，便使问题一目了然。
2.1.2运用定理求解三角函数问题现在来看三角函数中的一个特殊的结论：例2在中，求证：.解：因为，所以有.即有.同理可得,.上面三式可以组成以为未知量的齐次线性方程组。
因为不同时为零，因此所组成的方程有非零解。
故其系数矩阵行列式为零，即展开行列式并整理，可得结论：.在例2中并没给出等式关系，但在中由三个角的余弦便可得到三个关系式，从而再像例1那样去构造齐次线性方程组去解题。
齐次线性方程组解的判定、线性组合与线性相关1
1 2 4 ~ 2 −1 3 A= − 1 1 − 1 5 1 11
1 2 0 − 5 0 3 0 − 9
4 −5 3 −9
1 2 0 1 0 0 0 0
4 1 0 0
三、向量组间的线性表示 1.定义：设有两向量组 A:α1,α2,···,αs；B:β1,β2,···,βt 若向量组B中的每一个向量都能由向量组A线性表示， 则称向量组B能由向量组A线性表示。 若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个 A B 向量组等价。 2.定理：若向量组A可由向量组B线性表示，向量组B 可由向量组C线性表示，则向量组A可由向量组C线性 表示。(传递性）
k1α1 + k2α 2 + ⋯ + knα n = O
1.定义：对于向量组:α1,α2,···,αs，如果存在一组不全 为零的数k1,k2,···,ks, 使得： k1α1+k2α2+···+ksαs=O 则称向量组α1,α2,···,αs 线性相关； 如果当且仅当k1=k2=···=ks=0时上式才成立，则称向 量组α1,α2,···,αs 线性无关。 例 α1=(1,1)T,α2=(2,2) T 线性相关。 2α1－α2=O 例 n维单位向量组 ε1 , ε 2 ,⋯, ε n 线性无关。 若 k1ε1 + k2ε 2 + ⋯ + knε n = O = (k1 , k2 ,⋯, kn )T 则： 1 = k2 = ⋯ = kn = 0 k
练习： 1.α=(1,1,1)T, β=(1,3,0)T, γ =(2,4,1)T, 试将α表示为β, γ的 线性组合。 性相关性。 线性相关性。 4.课本96页第7题。 α=－β＋γ 线性相关 线性相关 2.讨论α1=(1,2,1)T, α2=(4,－1,－5)T, α3 =(2,1,－1)T 的线 3.若α1,α2, α3线性无关，讨论α1－α2,α2－α3 ,α3－α1的
齐次线性方程组解的结构
四、思考与练习
思考题:
设B是一个三阶非零矩阵它，的每一列是 齐次线性方程组
x1 2x2 2x3 0
2x1 2x2 x3 0
3x1 x2 x3 0
的解,求的值和B
解: B0,B的列向量是齐次的 方解 程， 组 则该 方 程 组 有 非 所 零 以 解 。 该 方程组
如果
1 1 ,2 , ,t是 A 0 x 的一 ; 组解
2 1,2, ,t是线 的 ;性无关
3 A 0 的 x 任1 ,一 2 , ,t线 解 .性 都
即
X k 11 k 22 k t t ( ＊ )
(*)式称为方程组的通解公式
定 理4. 4: m n型 齐 设次线 AX 性 0的 方 系 程 数 组
零 .A 解 0 x 有非 R A 零 n 解
例1 求下列齐次方程组的通解。
(1) 2xx11
2x2 4x2
4x3 8x3
x4 x4
0 0
3x1 6x2 2x3
0
解： 1 2 4 1
A
2 3
4 6
8 2
1 0
1 2 4
1
1
2
0
1 5
初 等行 变换
0 0
0 0
b
r
1
r1 1
r2
b
r
2
0
b r ,n r
n 0
cr
r1
0
1
0
r
2
0
0
1 n
由与 于 都是 A 方 x 0 的 程 ,而 解 Ax0又等价于
方程组
x 1 b1 1x r1 b1 ,n rxn xr br1xr1 br,nrxn
齐次线性方程组有非零解的条件
如果同时满足这两个条件，则该方程组一定有非零解。这是因为在这种情况下，方程组的解空间一定 是非零空间，即存在至少一个非零解向量。
在实际问题中的应用与展望
解决实际问题
算法优化
齐次线性方程组有非零解的条件在许 多实际问题中都有应用。例如，在经 济学、工程学、物理学等领域中，经 常需要解决一系列线性方程来描述实 际问题的数学模型。在这些情况下， 如果齐次线性方程组有非零解，则可 以通过求解该方程组来找到问题的解 决方案。
详细描述
二元一次方程组的一般形式为 ax + by = c 和 dx + ey = f。可以通过消元法或代入法 求解。例如，方程组 {x + y = 3, 2x - y = 4} 可以消元求解为 x = 2, y = 1。
三元一次方程组的解法实例
总结词
三元一次方程组有三个未知数，解法相 对复杂，需要运用行列式或矩阵方法。
定义与形式
定义
齐次线性方程组是由n个n维向量作为系数矩阵构成的方程组，其中每个方程的常数项都是0。
形式
Ax=0，其中A是一个n×n矩阵，x是一个n维列向量。
解的概念与性质
解的概念
如果一个n维向量x满足方程组Ax=0，则称x是该方程组的一个解。
解的唯一性
如果方程组有解，则解是唯一的。
解的稳定性
如果方程组无解，则对于任意的常数c，c×x也是方程组的解。
在实际应用中，求解齐次线性方程组 的方法有很多种。但是，如果齐次线 性方程组有非零解，则可以通过一些 算法优化技巧来提高求解效率。例如 ，可以利用高斯消元法、LU分解等算 法技巧来加速求解过程。
未来研究方向
克莱姆法则
定理三 如果齐次线性方程组有非零解,则 齐次线性方程组的系数行列式D=0. [证 ] 若 D 0 由克莱姆法则知齐次线性方程组只Hale Waihona Puke 唯一的零解. 与已知矛盾 D=0
由定理三可知,齐次线性方程组的系 数行列式D=0是齐次线性方程组有非零解 的必要条件. 在第四章将会看到,D=0也是齐次线性 方程组有非零解的充分条件. 综合上述,得到: 齐次线性方程组有非 零解的充要条件是系数行列式D=0.
2 1 8 1 1 3 9 6 D3 D3 = 27 x 3 D 0 2 5 2 27 1 4 0 6 = 1 27
2 1 5 8 D4 27 1 3 0 9 =27 x 4 D4 D 27 0 2 1 5 =1 1 4 7 0
二、齐次线性方程组有非零解的充要条件 齐次线性方程组: a11 x1 a12 x 2 a1n x n 0 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n 0 显然,齐次线性方程组总是有解的.因为 x1=0, x2=0,, xn=0就是一个解,它称为零解.
则该线性方程组有且仅有唯一解: Dn D1 D2 x1 , x2 ,, xn D D D 其中Dj (j=1,2,...,n)是把系数行列式D中第j 列的元素用常数项b1,b2,,bn代替后得到的 n阶行列式. 即 a11 a1, j 1 b1 a1, j 1 a1n a 21 a 2, j 1 b2 a2 , j 1 a 2 n Dj a n1 a n , j 1 bn a n , j 1 ann
齐次线性方程组有非零解
对于齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2 a1n xn 0, x 0, x 0, , x 0 1 2 n a2 n xn 0, 一定是它的解 ann xn 0,
1 3
于是 D2 D1 x 4, x1 3, 2 D D
D3 D4 x3 1, x4 1 D D
1 5 7 0
由此例可体会到该法则并不实用，因为要计算n +1 个 n 阶行列式. 但它仍具有极为重要的理论价值. —— 根的存在性和唯一性 定理 1.4 如果线性方程组（1）的系数行列式 D 0 ,则（1）一定 有解，且解是唯一的. 互逆
非零解？
定理1.5 如果齐次线性方程组的系数行列式 D 0 ,则它仅有零解.
定理1.5 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式 D 0
在第四章将证明
(5 ) x 2y 例1.12 (6 ) y 2x （P27） 2x
5 D 2 2 2 6 0 2 0 4
解 把四个点的坐标代入曲线方程，
a0 a1 a2 a3 3 a0 2a1 4a2 8a3 4 a0 3a1 9a2 27a3 3 a0 4a1 16a2 64a3 3
其系数行列式
1 D 1 1 1 1 2 3 4 1 4 9 16 1 8 27 64
Dn
5 2 7 2 5 7
7 Dn1 5
2
D1 7
Dn 5D n1 2( D n1 5D n2 ) 22 ( Dn2 5Dn3 )
Dn 7 Dn1 10 Dn2
3.4 齐次线性方程组
解:对矩阵 A 作初等行变换,化为行简化阶梯形矩阵:
1 2 1 1 1 1 2 4 3 1 1 0 A= → → 1 2 1 3 3 0 0 0 2 4 2 0 2 0 1 0 1 0 0 1 ห้องสมุดไป่ตู้ 0 0 0 0 2 0 0
x1 = 2 x2 2 x5 得 x3 = x5 ( x2 , x5为自由未知量) x = 0 4
xr +1 1 0 0 xr + 2 0 1 , , ,0 = 1 xn 0 0
共n r个
代入上述一般解公式,即求得AX = O 的基础解系.
3. 齐次线性方程组的结构式通解 定理 设 A 是一个 m × n 矩阵,若秩( A) = r < n ,
而有 b1 = b2 = = bm = 0 ,故有 AX 0 = O ,即 X 0 也是 方程组 AX = O 的解.因此,方程组 AT AX = O 的基 础解系可由方程组 AX = O 的基础解系线性表示, 从而有 n r ( AT A) ≤ n r ( A) ,所以 r ( AT A) ≥ r ( A) . 综上述可得 r ( AT A) = r ( A) .再用 AT代替 A 就可得
复习
3.4 齐次线性方程组有非零解的条件 及解的结构
齐次线性方程组的三种形式: 齐次线性方程组的三种形式: 一般形式 a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0
a x + a x + + a x = 0 21 1 22 2 2n n am1 x1 + am 2 x2 + + amn xn = 0
程组 AT AX = O的解都是齐次线性方程组AX = O的解. 事实上,设 X 0 ∈ n 是方程组 AT AX = O 的一个解, 令 AX 0 = [b1 , b2 , , bm ]T,则 AX 0 = [b1 , b2 , , bm ]T ∈ m.
第三章 线性方程组 第5节 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构
x1 2 x 2 x3 x4 0 原方程组与方程组 同解 7 x3 5 x 4 0 x2 1 对自由未知量分别取 , x = 4 0
因为 r ( A) 2 4 ，所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为
2 x x2 x3 x4 0 同解 x2 , x3 ，原方程组与方程组 1 x4 0
1 0 对自由未知量为 x2 , x3 分别取 和 ，代入上式得到方程组的一个基础解系 0 1
即 1 2 是其导出组 AX=0 的解。 定理 2：如果 0 是非齐次线性方程组的一个特解， 是其导出组的全部解， 则 0 是非齐次线性方程组的全部解。 由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解， 且非齐次线性方程组的全部解可表示为：
A(CX 0 ) C ( AX 0 ) C 0 0
即 C X 0 也是齐次线性方程组(1)的解。 由性质(1),(2)可得： (3) 如 果 X 1 , X 2 ,, X s 都 是 齐 次 线 性 方 程 组 (1) 的 解 ， 则 其 线 性 组 合
C1 X 1 C2 X 2 Cs X s 也是它的解。其中 C1 , C2 ,, C s 都是任意常数。
因为 r ( A) 3 4 ，所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为 x4 ，原
4
x1 x3 0 方程组与方程组 x 2 3 x3 x 4 0 同解 3 x3 x 4 0 4
取 自 由 未 知 量 x 4 =1 ， 代 入 上 式 得 齐 次 线 性 方 程 组 的 一 个 基 础 解 系 为 ：
线性代数基本定理
线性代数基本定理行列式1、对于线性方程组，若系数行列式的值D≠0，则方程组有唯一解。
2、若线性方程组的系数行列式D≠0，则方程组有唯一解。
3、若线性方程组无解或有无穷多个解，则它的系数行列式必为零。
4、若齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则齐次线性方程组只有0解，没有非零解。
5、若齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零，即D=0。
矩阵1、方阵为满秩矩阵的充分必要条件是|A|≠0；（方阵A可逆的充分必要条件是A为满秩矩阵）。
2、设A是m×n矩阵，则齐次线性方程组A x=0有非零解得充分必要条件为R（A）＜n。
向量组的线性相关性1、一个向量线性相关的充分必要条件是α=0；α是线性无关的充分必要条件是α≠0。
两个向量线性相关的充分必要条件是它们对应的分量成比例。
2、向量b能由向量组α1，α2，…，αn线性表示的充分必要条件是：线性方程组x1α1+ x2α2+…+ x nαn=b有解。
3、向量组α1，α2，…，αn线性相（无）关的充分必要条件是齐次线性方程组有（无）非零解。
阐述：根据向量线性相关的定义，若向量组α1，α2，…，αn线性相关，则存在一组不全为零的数λ1，λ2，…，λn，使λ1α1+λ2α2+…+λnαn=0,即齐次线性方程组x1α1+ x2α2+…+ x nαn=0有非零解。
反之，若齐次方程组有非零解，则向量组线性相关。
向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组仅有零解。
4、n个n维向量线性相关的充分必要条件是它们排成的n阶行列式的值等于零。
5、当m＞n时，m个n维向量一定线性相关。
6、向量组线性无关的充分必要条件是向量组的秩等于该向量组所含向量的个数；向量组线性相关的充分必要条件是向量组的秩小于该向量所含向量的个数。
7、向量组与它的任意一个极大无关组等价。
8、一个向量组的任意两个极大无关组等价。
9、若向量组A能由向量组B线性表示，则R(A)≤R(B)，即“秩小的可以表示秩大的”。
4_5齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构
x1 = b11 xr +1 b1 ,n r xn x = b x b r 1 r +1 r ,n r xn r
Page 13
组数: 现对 x r +1 , , x n 取下列 n r 组数:
x r +1 1 xr + 2 0 = , x 0 n
证
必要性. 设方程组 Ax = 0 有非零解, 有非零解, 必要性 设R( A) = n, 则在 A中应有一个 n阶非零子式 D ,从而 n D 所对应的 n 个方程只有零解 (根据克拉默定理 ), n
Page 2
这与原方程组有非零解相矛盾, 这与原方程组有非零解相矛盾,
∴
R ( A ) = n 不能成立. 即 R(A) < n. 不能成立.
x = ξ1 + ξ 2
证明 ∵ Aξ1 = 0 , Aξ 2 = 0
∴ A(ξ1 + ξ 2 ) = Aξ1 + Aξ 2 = 0
故 x = ξ1 + ξ 2 也是 Ax = 0的解 .
Page 8
的解, 为实数, (2)若 x = ξ1 为 Ax = 0的解, k 为实数,则 x = kξ1 也是 Ax = 0 的解. 的解. 证明 证毕. 证毕 由以上两个性质可知, 由以上两个性质可知,方程组的全体解向量 所组成的集合,对于加法和数乘运算是封闭的, 所组成的集合,对于加法和数乘运算是封闭的, 因此构成一个向量空间, 因此构成一个向量空间,称此向量空间为齐次线 解空间. 性方程组 Ax = 0 的解空间.
若记
(1) )
Page 5
a11 a12 a21 a22 A= a m 1 am 2
a1n a2 n , amn
线性方程组有解的判定定理
设 RA RB rr n,
则 B 的行阶梯形矩阵中含 r 个非零行，
把这 r 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量,
其余n - r个作为自由未知量,
并令 n - r个自由未知量全取0，
即可得方程组的一个解．
证毕
小结 RA RB n Ax b有唯一解
RA RB n Ax b有无穷多解.
-5 3 4
3
0 0 0 0
即得与原方程组同解的方程组
x1 x2
2 2
x3 x3
5
3 4
3
x4 x4
0, 0,
由此即得
x1 x2
2
x3
5 3
x4
,
-2
x3
-
4 3
x4
,
( x3 , x4 可任意取值).
令 x3 c1, x4 c2，把它写成通常的参数形式
x1
2c1
5 3
解 对增广矩阵B进行初等变换，
1 - 2 3 - 1 1 B 3 -1 5 - 3 2
2 1 2 - 2 3
1 - 2 3 - 1 1
0 5 - 4 0 -1
0 50 -04 0 12
显然，R( A) 2, R(B) 3, 故方程组无解．
例３ 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
c2 ,
x2
-2c1
-
4 3
c2 ,
x3 c1,
x4
c2
,
5
x1 x2 x3 x4
c1
2 -2 1 0
c2
3 -4
3 0
1
.
例２ 求解非齐次线性方程组
x1 3 x1
1.3克莱姆法则
定理中包含三个结论 定理中包含三个结论: 三个结论 (1)方程组有解 方程组有解 (2)解是唯一的 解是唯一的 Dj (3)解由公式 x j = ( j=1,2,...,n)给出 解由公式 给出 D 注: 用克莱姆法则解线性方程组必须有两 个前提条件: 个前提条件 (1)未知数个数等于方程个数 未知数个数等于方程个数 (2)系数行列式 ≠0 系数行列式D≠ 系数行列式
由克莱姆法则知,方程组有唯一解 由克莱姆法则知 方程组有唯一解 8 1 −5 1 9 −3 0 −6 D1 81 D1 = = =81 ⇒ x1 = D 27 − 5 2 −1 2 =3 0 4 −7 6
−5 1 1 9 0 −6 D2 D2 = = −108 ⇒ x 2 = D 0 − 5 −1 2 − 108 = −4 = 1 0 −7 6 27 2 8
2 x1 + x 2 − 5 x 3 + x4 = 8 x1 − 3 x 2 − 6 x4 = 9 例1 解线性方程组 2 x 2 − x 3 + 2 x 4 = −5 x1 + 4 x 2 − 7 x 3 + 6 x4 = 0
解: 方程组的系数行列式 2 1 −5 1 1 −3 0 −6 D= =27 ≠0 0 2 −1 2 1 4 −7 6
如果齐次线性方程组有非零解,则 定理三 如果齐次线性方程组有非零解 则 齐次线性方程组的系数行列式D=0. 齐次线性方程组的系数行列式 [证] 若D≠0 ≠ 证 由克莱姆法则知齐次线性方程组只有 唯一的零解. 唯一的零解 与已知矛盾 ∴D=0
由定理三可知,齐次线性方程组的系 由定理三可知 齐次线性方程组的系 数行列式D=0是齐次线性方程组有非零解 数行列式 是齐次线性方程组有非零解 的必要条件. 的必要条件 在第四章将会看到,D=0也是齐次线性 在第四章将会看到 也是齐次线性 方程组有非零解的充要条件. 方程组有非零解的充要条件 综合上述,得到 得到: 综合上述 得到 齐次线性方程组有非 零解的充要条件是系数行列式D=0. 零解的充要条件是系数行列式
§45齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构(精)
此外，与AX=0一个基础解系等价的任意线 性无关向量组也是AX=0的基础解系.
例2 设A为s n型矩阵，B为n m型，
AB 0,则 rB rA n. 分析: n-rA是齐次线性方程组AX=0的基础 解系所含向量个数，故可考虑利用齐次线
性方程组的解的问题来证明.
kr,r2 0
,
...,
X nr
krn 0
0 1
0
0
0
1
为AX 0的一组线性无关的解，要证明它正 好为AX 0的一个基础解系，只需证明AX=0 的任意解即BX=0的任意解可用X1 , X2 , , Xnr 线性表示.
设X=(c1, , cr , cr+1, , cnr )为AX=0(BX=0)的 任意解，则
x2 x3 x4 3x5 0
2x2 x3 2x4 8x5 0
解 对系数矩阵进行初等行变换化为Jordan
阶梯形矩阵
1 3 2 2 1
1 0 5 110
A
0
1
1
1
3
初等行变换
0
1
1
1
3
0 2 12 8
0 0 1 0 2
1 0 0 1 20
初等行变换
0
1
0
1
Jordan阶梯形 0 0 1 0
设X= c1 c2 c3 k1 k2 T 为BX=0的任意
解，则X-k1 X1 k2 X2 d1 d2 d3 0 0T
也是BX 0的解，
这就推出d1 d2 d3 0,于是
X k1 X1 k2 X 2 .
证毕.
定理2 设A是s n型矩阵，rA r n,则齐次