第一章——变量可分离方程

即
y
=
±e c1 e ∫
p( x)dx
=
ce∫
p( x)dx
.
此外也y 是0= 方程的解若在,上式中充许 c 0, 即知也y =包0括在上式中 ,
故方程的通解为 y = ce∫ p(x)dx , c为任常数.
例7
dy = y2 cos x 求解初值问题 dx
y(0) = 1
Leabharlann Baidu
解: 先求方程的dy通=解y2 cos x dx
为所求的通解，其中为C 属= s于in中C1的 [-1,1]
任意常数。
y = ±1
例2 求解微分方程 dy= 1 + y ? dx
解：当1即+时y ，≠ 0将变y 量≠ −分1离，得到
dy = dx, 1+ y
两边积分，得到 ln 1 + y =x + C1,
即
=y Cex −1
为方程的通解，其中为C 非= ±的eC任1 意常0数。
1.2 变量可分离方程
先看一些简单的例子：
dy = F (x, y) dx
1. dy = ye x+ y , dx
( ) 2.= dy x2 y2 + 1 , dx
3. dy= e x ⋅ ye y , dx
1.2.1 变量可分离方程
dy = F (x, y) dx
定义1 形如
dy = f (x)φ( y)
(1)若可 y =由y中0 取适H当(y)的=常G(数x)+C
C
得到，则这样的解已包含在通解中；
(2)若不 y =可y由 0 中取适H当(y)的=常G(数x)+C C得到，则这样的解不包含在通解中。对这样
的解要特别注意，在求的dy所=有g(解x)时 h(y，) dx
这样的解必须予以补上。
dy
1− y2
定常解y = −1
注:求微分方程的通解与求微分方程的解或求解微分方 程是有区别的.
课堂阅读： P12： 例3.
习题2： P14 1(2,3); 2(1,3); 4; 7;
( N, a > 0, 0 < y < N )
解:
dy = y(N − y)
adx ⇒
∫
(
1 y
+
N
1 −
y
)dy
= ∫ aNdx
ln y= aNx + C ⇒ y = ±eCeaNx
N−y
N−y
⇒
N
y −
y
= C1e= aNx ⇒ y
NC1eaNx 1+ C1eaNx
, C1
∈
R
由y= (0)
1 N,⇒ 4
C1
=
1 3
特解为y
=
NeaNx 3 + eaNx
例5
求微分方程
x
dy
=
3
y2
dx
的通解.
解: 分离变量后得
−3
y 2 dy
=
1
dx
x
−1
两边积分得: − 2 y 2 = ln x + c1
得通解为:
y
=
(ln
x
4 +
c1 ) 2
=
(ln
4 cx
)2
,
其中由c 于e= c原1 , 方程在无意义x 0
例1 求微分方程 的通=解
?
dx
1− x2
解：将变量分离，得到 dy = dx ,
1- y2
1- x2
两边积分，即得 ∫= 1d-yy2
∫
dx + C1, 1- x2
即 a= rcsin y arcsin x + C1
或=y sin[arcsin x + C=1] x 1- C2 + C 1- x2
另外，也 y = 是−的1 解，d且y 此= 1解+可y 在通 dx
解取 y =得C到ex，−1即如C果=在0 通解中允许
任意常数取 C ，0则已含y =在−通1 解中。
因此原方程的解为=，y 其C中ex为−任1 意常数C。
( ) 例3 dy = x2 y 2 +1 dx
解: 分离变量:
dy y2 +1
,
故通解只在或x >之0一x中<有0 意义
.
此外还有解这y =个0解, 未包含在通解中应补上,
.
例6 求微分方程 dy = p(x) y 的通解其, 中是p(的x)连续x 函数
.
dx
解: 将变量分离后得 dy = p(x)dx y
∫ 两边积分得: ln y = p(x)dx + c1
由对数的定义有 y = e∫ p( x)dx+c1
dy = f (x)dx
φ ( y)
这样变量就 “分离”开了.
两边积分得 = ∫ φd(yy) ∫ f (x)dx + c (1.26)
1
f (x)的某一原函数 的某一原函数
ϕ ( y)
由(所1.2确6)定的函数就为的y 通 = φ解(x, c) (1.18)
.
当时φ( y) = 0
若存在使y0 ,则也φ= (是y0的) 解0= ,若 y y0 (1.18) ,
解：原方程即
d=y （） y2 − 1 tan x , dx
当即y2 时−1，≠将0 变y量2 ≠分±离1 ，得到
y
dy 2−
1
=
tan
xdx
,
两边积分，即得 ln y − 1 = − ln cos2 x + C1 y +1
化简得方程的通解：
y=
−
C C
+ −
cos2 cos2
x x
其中为C 非= ±的eC任1 意常0数。
它不包含在方程的通解中(1.则26须) 予, 以补上
.
此时称y=y0 是方程（1.18)的常数解
附注：2
上面我们在求的dy通=解g(时x)， h(y是) 假设 dx
了。 h(y但) ≠有0时往往会碰到在某些点使得 y0
h(y0 ) = 0。对于这种情形，显然也y =是y解0 ， 且称这种常函数的解为定解。下面分两种情形：
所以所求的特解为:
y=− 1 = 1 . sin x −1 1− sin x
1.2.2 微分形式变量可分离方程的解法
M1(x)N1( y)dx = M 2 (x)N2 ( y)dy (1.19)
例：求解方程 x( y2 −1)dx + y( x2 −1)dy = 0
例2 求微分方程 的(1解− y.2 ) tan xdx + dy = 0
x + c1
10
从上式中解出再y, 将常数记为得c,
y
=
10 1+ ce−x
,
c ≠ 0.
由求y(1得− 方y 程) = 有0,特解和 10
y = 0 y = 10,
故方程的解为:
y
=
10 1+ ce−x
, c为任意常数
和y
=
0.
例4 求逻辑斯谛方程= 的dy通解ay(N − y) dx
及满足的y(0特) 解1常N数 4
dx
(1.18)
或
M1(x)N1( y)dx = M 2 (x)N2 ( y)dy (1.19)
方程,称为变量可分离方程.
注 → 这里分f (x别),是φ(的y)连续函x数, y
.
方程的右端是这两个独立的一元函数之积.
1.2.1 显式变量可分离方程的解法
变量分离方程的解法:
当时φ( y) ≠ 0
分离变量,将写(1.成18)
另外，也 y = 是±方 1 程的解，且可在通y解= 1中
取得 C =到0，即如果在通解中
y=
−
C C
+ −
cos 2 cos 2
x x
允许， C =则0已含在 y =通1解中。但不可 y = −1
在通解中取适当的得 C 到，因此原方程的解为：
通解， y =其−中C 为 + c任os意2 x常数，及C一个 C − cos2 x
当时y ≠将0变,量分离得 ,
dy y2
=
cos xdx
两边积分得: − 1 = sin x + c,
y
因而通解为:
y = − 1 , 其中为c 任意常数 . sin x + c
此外也y =是0方程的解且不,能在通解中取适当的得到 c .
再求初值问题的通解,以代y(0入) =通1解得 , c = −1
=
x 2 dx
两边积分:
∫
dy y2 +1
=
∫
x 2 dx
+C
通解为: arctan y = 1 x3 + C 3
例4*
dy 求微分方程 dx
=
y(1− y ) 10
的所有解.
解:方程两边同除以再y(1积−分y ), 10
∫
dy y (1 −
= y )
∫ dx + c1
积分得: ln y = 10 − y