分段函数的连续可导性_李天胜

解 因为
s inx x
=
1 x
x-
x3 3!
+
x5 5!
-
-
x51 51!
+
x53 53!
-
=
1-
x2 3!
+
x4 5!
-
-
x50 51!
+
x52 53!
-
所以 f (x ) 在 x =
0处连续且具有任意阶导数, 故有 f ( 50) ( 0)
=-
50! 51!
=-
511.
x0 x= 0
;x= 0
由归纳法即知 f (x ) 具有任意阶连续导数, 且 f ( n) ( 0) = n! an. 若令 x - x0 = t, 则可以得到如下的推论:
* 收稿日期: 2005 - 04 - 06
34
高等数学研究
2006年 9月
推论 如果在 x0 ( 0) 的某空心邻域内, (x ) 可以展开为泰勒级数 n= 0an ( x - x0 ) n, 则
D 连续且有任意阶导数
解 因为
1+ x x
1=
1 x
1+
12x +
1 2
(-
1 2
) x2
+
1 2
2!
(-
1 2
)
(-
3 2
)
x3
+
3!
-1
1 (- 1 ) 1 (- 1 )(- 3 )
=
1 2
+
2
2! 2 x + 2
2 3!
2 x2 +
且 f ( 0) = 12, 所以由定理知 f (x ) 在 x = 0处连续且具有任意阶导数, 故选 D.
x2
+
即 a0 =
2, a1 =
22 2!
,
a2
=
23 3!
,
, 所以 f (x ) 在 x = 0处连续且具有任意阶导数, 故有
f
( 0) = 2! a2 =
8 3
不难验证, 这与利用定义逐阶求导所得到的结果是完全相同的.
例 3 设 f ( x ) = sxinx, x
0 ,
则
f
50 (
0)
=
.
1, x = 0
+ an xn +
,x 0 x= 0
显然 f (x ) 在 x = 0处连续, 且 x 0时 , 有 f (x ) = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + + nan xn- 1 +
时, 有 f
( 0)
=
lim
x0
f
(x
) x
-
f( 0) 0
=
a1, 故
f (x ) = a1 + 2a2x + 3a3 x2 + a 1,
(x ), f(x) =
a 0,
x x0 x = x0
具有任意阶连续导数, 且 f ( n ) ( x0 ) = n! an.
下面就举两个运用这个定理解题的例子:
例 1 函数 f ( x ) =
1+ x x
-
1,
x0 在 x = 0处 (
).
12 ,
x= 0
A 连续但不可导
B 连续且仅有一阶导数
C 连续且仅有二阶导数
定理 如果在 x = 0的某空心邻域内, f(x) =
具有任意阶连续的导数, 且 f ( n) ( 0) = n! an.
( x ) 可以展开为 x 的幂级数 n = 0 an xn, 则 (x ), x 0 a0, x = 0
证明
因为 (x ) = n = 0 an xn, 所以
f (x ) = a0 + a1x + a2 x2 + a3 x3 + a0,
分段函数在其分段点 处 n 阶导数的公式
关键词 分段函数; 任意 阶导数; 幂级数展开式
中图分类号 O 172
关于分段函数可导性的讨论, 通常都是集中在分段点处是否可导、以及导函数是否连续等问题 上, 对于分段函数是否具有高阶导数讨论的却不是很多. 本文利用函数的幂级数展开式, 得到了一 个分段函数具有任意阶导数的充分条件, 并介绍了一个求分段函数在其分段点处 n 阶导数的公式.
V o .l 9, N o. 5
高等数学研究
Sep. , 2006
源自文库
STU D IES IN CO LLEGE MA TH EM AT ICS
33
分段函数的连续可导性*
李天胜 ( 安徽财经大学统计与应用数学学院 安徽蚌埠 233041)
摘 要 讨论了分段函数的连续可导性, 得到了一个分段函数具有任意阶导数的 充分条件, 并介 绍了一个求
+ nan xn- 1 +
,x 0 x= 0
显然, f ( x ) 也在 x = 0处连续.
类似地, 有 f ( x ) = 2a2 + 3
2a3x + 4
3a4 x2 + 2a2,
+ n ( n - 1) an xn- 2 + ,
x0 x= 0
f (x ) = 3 2a3 + 4 3 2a4x + + n ( n - 1) ( n - 2) an xn- 3 + , 3 2a3,
(注: 如果本题采用逐阶求导验证的方法求解将是十分繁琐的, 因而也是不可取的. )
例2
设 f(x) =
e2x x
1,
x
0 ,
则
f
( 0) =
.
2,
x= 0
解 因为
e2x - 1 = x
1 x
1 + ( 2x ) + ( 2x ) 2 + ( 2x ) 3 +
2!
3!
-
1
=
2+
22 2!
x
+
23 3!