范德蒙德行列式的应用

前言

在线性代数中，行列式是一个重要的分支，同时在数学的各个领域和其他学科中行列式都有着广泛普遍的应用。

行列式本身有着悠久的历史。行列式理论产生于十七世纪末，到十九世纪末，它的理论体系已基本形成了。

早在1545年卡当就给出了两个一元方程组的算法，但是未明确提出行列式这个概念。1683年，日本数学家关孝和首次引进了行列式的概念。同年，德国数学家莱布尼茨首先开始使用指标数的系统集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数[]1。莱布尼茨这种解决方程组的方法为行列式理论的进一步发展奠定了坚实的基础。

1771年，范德蒙德不仅把行列式应用于解线性方程组，而且对行列式理论本身进行了开创性研究，他是行列式的奠基者。范德蒙德以拉格朗日著作中的预解式、置换理论等为理论基础，为群的概念研究奠定了基础。范德蒙德行列式就是由他研究并总结得出的。范德蒙德开创了将方程组与行列式分离开来的先河，他是第一个对行列式进行单独阐述的数学家。他给出了二阶子式及其余子式的概念，并且给出了用二阶子式和它的余子式对行列式进行展开，从而得出其结果的法则，同时他也给出了专门记录行列式的符号。1772年，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯在他的论文中给出了子式的概念，他的思想就是基于范德蒙德著作中将行列式展开为若干个较小的行列式之和的方法。自此时起，便是人们对行列式单独研究的开端。

19世纪才是人们对行列式理论深入研究的新的开始。第一个给出行列式系统理论的是伟大数学家柯西。他给出了行列式的乘法定理，双重组标记法等。1832至1833年间卡尔·雅可得出了关于行列式计算的特殊结果，在此基础之上，1839年，卡塔兰发现了雅可比行列式。1841年，雅可比发表了一篇关于函数的线性相关性与雅可比行列式的关系的论文。

而范德蒙德行列式是一类特殊的行列式，它有着独特的形式及其简明的计算结果，所以范德蒙德行列式不仅在数学领域中占据着重要地位，而且在各个领域中也有着广泛的应用，比如在进行行列式计算或变换时，如果我们能适当的变形化成范德蒙德行列式的形式，就能起到简化解题过程或者是减少计算量的效果。在我们运用范德蒙德行列式进行计算或者变换时，有些行列式经过简单变形后便可应用范德蒙德行列式，但是有些行列式则需要经过增加一行一列才可以应用范德蒙德行列式的相关性质进行计算；有些行列式则需经过加边、拆行方可利用范德蒙德行列式；当我们遇到含有齐式元素的行列式时，我们则可以考虑利用行列式的乘法转化成两个行列式的积，进而在应用范德蒙德行列式进行简化计算；当我们遇到含有二项式元素的行列式时，我们可以利用行列式的乘法后，再应用范德蒙德行列式进行计算；当我们遇到以多项式系数和常数项为元素的的行列式的时候，我们可以借助单位原根以及范德蒙德行列式进行运算，从而也就出现了范德蒙德行列式的推广形式。由此可见，范德蒙德行列式是行列式中及其重要的一种形式。

1范德蒙德行列式的定义及性质

1.1基本定义

形如1

2

3

2

2221231

11112

31111n

n n n n n n

x x x x x x x x x x x x ----

的行列式，称为1x ，2x ，…，n x 的n 阶范德蒙德（V andermonde ）行列式[]2

。记作()12,,,n n V x x x 。

范德蒙德行列式结构特点：

（1）第一行或者第一列所有元素均为1；

（2）后一行或者是一列与前一行或者一列的比为i x ； （3）i x 的指标数从0逐行或者列递增至1n -。

1.2计算公式

n 阶范德蒙德行列式的求值公式为

()1

2

3

2

2221212

3

11

1

1112

31111,,,()n

n n n i j j i n

n n n n n

x x x x V x x x x x x x x x x x x x ≤<≤----==

-∏

, （1-1）

推导出这个计算公式的方法通常分为数学归纳法和递推法。在这里，我们将对这两种方法进行介绍。

1.2.1方法一：数学归纳法[]3

在高中数学中，我们就已经学习了用数学归纳法来证明与自然数N 有关的命题，这种方法在高等数学中同样应用广泛。运用数学归纳法来推导n 阶范德蒙德行列式的步骤如下：

（1）当2n =时,验证221V x x =-成立。

（2）假设这个公式对于1n -阶的范德蒙德行列式成立，那么对于n 阶范德蒙德行列式则有：首先要把n V 降阶，从第n 行起后一行减去前一行的1x -倍，然后按照第一行进行展开，就能得到213111()()()n n n V x x x x x x V -=--- ，重复上述步骤不断推导下去，于是就有

n V =()i j x x ∏-，其中∏表示连乘，,i j 的取值为2j i n ≤<≤，原命题得证。 1.2.2 方法二：递推法

递推法同样是初等数学中常用的归纳总结的方法，他的特点是化难为易、化简为繁。运用递推法来推导n 阶范德蒙德行列式的过程如下：

已知有n 阶范德蒙德行列式

()12,,,n n V x x x = 21

31

1

2

22

221

331112

12122213311

11110

---0---0---n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------

=

21

31122133112222213311---(-)(-)

(-)

(-)(-)(-)

n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---

= 2131112()()()(,,)n n n x x x x x x V x x ---- , 仿照上述做法则有

123242223(,,)()()()(,,)n n n n n V x x x x x x x x V x x --=--- , 再递推下去，直到11V =，则有

()12,,,n n V x x x

=21311324221()()()()()()()1n n n n x x x x x x x x x x x x x x -------- =

1()i j j i n

x x ≤<≤-∏

.

事实上，除这两种方法外，还有一种方法——消元法，但是由于消元法与数学归纳法本质上同一种算法，因此本文中不对消元法的推导过程进行赘述。

1.3性质

根据上述两节对范德蒙德行列式的定义和计算推导，再结合我们曾经学过的高等代数中的行列式相关知识，可以总结出范德蒙德行列式的以下五个性质：

性质1：将范德蒙德行列式逆时针旋转90 ，得到