数学建模-双层玻璃窗、隔热效果、隔音效果

数学建模-双层玻璃窗、隔热效果、隔音效果
摘要：中国仍处于工业化初期，节能减排具有较大空间。

通过对问题一的数学模型进行分析后得到：一般情况下，建筑规范要求d l /≈4。

据此模型可得12/Q Q ≈3.03%，即双层玻璃窗比同样多的玻璃材料制成的单层玻璃窗节约热量约为96.97%； 双层玻璃的隔声优势为 ：错误!未找到引用源。

lge ，根据以上推导的结果，当空气的吸收系数与两片玻璃的距离越大时，双层玻璃窗的隔音效果就越好。

游客节能低碳的交通出行工具安排：（1）长途参观者建议直接或间接购买碳信用额度；（2）对中短途参观者，建议优先选择火车、轮船和长途客车等公共交通方式；（3）对于长三角等周边地区自驾车出行的参观者，建议采用停车换乘（P+R ）方式；（4）对上海城区内的参观者，建议优先选择轨交、公共汽车等公共交通，减少私人汽车的使用；（5）对距世博园区较近的参观者，建议步行或自行车出行。

最后，我们计算了各种出行方式的二氧化碳的排放量后，据此代表上海世博会组委会给游客写了一份倡议书。

关键字：双层玻璃窗 隔热效果 隔音效果 碳足迹
目录
1、问题重述与分析 (3)
1.1、问题重述 (4)
1.2、问题分析 (4)
2、条件假设 (4)
3、符号说明 (4)
4、模型的建立及求解 (5)
4.1双层玻璃隔热效果探究 (5)
4.1.1模型建立 (5)
4.1.2、模型的应用 (8)
4.2、双层玻璃隔音效果探究 (9)
4.2.1、模型建立 (9)
4.2.2结果讨论 (11)
4.3绿色出行建议 (11)
4.3.1碳排放与出行安排 (11)
4.3.2倡议书 (15)
参考文献 (16)
1、问题重述与分析
1.1问题重述
中国仍处于工业化初期，节能减排具有较大空间。

中国现在是工业排放量占大头，交通和建筑类排放较小。

随着生活水平的提高，建筑节能的比重将逐步上升，有很大发展潜力。

据研究报告称，相关交通工具所使用燃料释放的气体是目前造成全球变暖的主要原因之一。

为此请考虑以下几个问题：
1、请用数学模型说明双层（中间有密封空气层）玻璃窗户对单层玻璃窗户的优势以及双层玻璃窗户的隔音效果如何？
2、请你为参观上海世博会的各种游客分别设计节能低碳的交通出行工具安排，计算相应二氧化碳的排放量，并据此代表上海世博会组委会给游客一份倡议书。

1.2问题分析
随着哥本哈根世界气候大会的召开，“气候变化”、“温室效应”、“温室气体”这些词汇再次成为公共舆论焦点。

学术界一直被公认的学说认为由于燃烧煤、石油、天然气等产生的二氧化碳是导致全球变暖的罪魁祸首。

人类社会的发展，正在加速消耗大量的资源和能源，同时严重污染和破坏环境。

我们的工农业生产和生活正不断地直接或间接地向大气中排放二氧化碳。

有关研究和报告称：如果二氧化碳含量比现在增加一倍，全球气温将升高3 ℃～5 ℃，两极地区可能升高10 ℃，气候将明显变暖。

气温升高，将导致某些地区雨量增加，某些地区出现干旱，飓风力量增强，出现频率也将提高，自然灾害加剧。

更令人担忧的是，由于气温升高，将使两极地区冰川融化，海平面升高，许多沿海城市、岛屿或低洼地区将面临海水上涨的威胁，甚至被海水吞没。

20世纪60年代末，非洲下撒哈拉牧区曾发生持续6年的干旱。

由于缺少粮食和牧草，牲畜被宰杀，饥饿致死者超过150万人。

因此，必须有效地控制二氧化碳含量增加，控制人口增长，科学使用燃料，推动节能减排，加强植树造林，绿化大地，防止温室效应给全球带来的巨大灾难。

2、条件假设
双层玻璃隔热、隔音效果的探究中的假设：
1.热量的传播过程只有传导，没有对流。

即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的。

2.玻璃材料均匀，导热系数是一个常数。

3.室内温度1T 和室外温度2T 保持不变，热传导过程已处于稳定状态。

即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。

3、符号说明
I
声强 d
玻璃厚度 l
双层玻璃中空气层厚度 T 温度
温度差
Q
传导热量 k 热传导系数
导热系数
t
传导时间 A
导热面积 B 加权声
玻璃窗户的整体隔声量,dB
单层玻璃窗户封闭部分的隔声量,dB
玻璃窗户上开口面积占整个玻璃面积的百分比
M 隔声材料单位面积的质量，Kg/错误!未找到引用源。

错误!未找
到引用源。

为介质的吸收系数
声能的衰减
4、模型的建立与求解
4.1双层玻璃隔热效果的探究
4.1.1模型建立
图1 单层玻璃窗与双层玻璃窗
在本文假设中，热传导过程应满足如下的物理定律：
厚度为d 的均匀介质，两侧温度差为T ∆，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q 与T ∆成正比，与d 成反比，即：
d T k Q ∆= （1） 其中k =λtA ，为热传导系数。

λ为导热系数，t 为传导时间，A 为导热面积。

如图1，对于厚度为2d 的单层玻璃窗，设其内外层的温度分别为1T 、2T ，玻璃的热传导系数为1k ，传递的热量为1Q ，由（1）式可得单层玻璃窗单位时间单位面积的热量
传导为：
d
T T k Q 22111-= （2） 如图1，对于双层玻璃窗，设其内层玻璃的外侧温度为3T ，外层玻璃的内侧温度为4T ，双层玻璃种空气层厚度为l ，空气的热传导系数为2k ，传递的热量为2Q ，则由（1）式可得双层玻璃窗单位时间单位面积的热量传导为：
d T T k Q 3112-==l T T k 432-=d T T k 241- （3） 由（3）式可得：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=--=-l T T k d T T k d T T k d T T k 4
32311241311 （4）
由（4）式可解得：d
k l k dT k T d k l k T 212212132)(+++= （5） 将（5）式代入（3）式可得：d k l k T T k k Q 21212122)(+-=
（6） 将（6）式比上（2）式可得：1121222121212<+=+=d
k l k d k l k d k Q Q （7） 即得12Q Q <。

为了得到更加详尽的比对结果，我们查阅了资料，得到常用玻璃的导热系数760.0~368.01=λ11--K wm ，不流通、干燥的空气的导热系023.02=λ11--K wm ，于是33~162
12121===λλλλtA tA k k 在对比双层玻璃窗与单层玻璃窗的隔热性能时，我们以最保守进行估计，取
21/k k =16，将之代入（7）式得：1/8112+=d l Q Q 1
/8112+=d l Q Q （8） 在l 错误!未找到引用源。

[0.0001,0.005],d 错误!未找到引用源。

[0.0001,0.01]的范围内用matlab7.6作图：
syms l d ；
f=1/(8*l/d+1);
ezmesh(f,[0.0001,0.005,0.0001,0.01],20);
图3
并做l错误!未找到引用源。

[0.0001,0.0005],d错误!未找到引用源。

[0.005,0.01]得局部放大和等高线图：
syms l d
f=1/(8*l/d+1);
ezmesh(f,[0.0001,0.0005,0.005,0.01],20);
hold on
ezcontour(f,[0.0001,0.0005,0.005,0.01]);
图4
将l/d看做整体，作图：
>> clear
>> x=0:0.1:10;
>> y=1./(8*x+1);
>> plot(x,y,'r:')
>> grid on
>> xlabel('l/d');
>> ylabel('Q2/Q1');
>> title('Q2/Q1与l/d 的关系图形');
图5
根据图5可以看出随着d l /的增加，12/Q Q 的值迅速下降，而当d l /超过了一定值后（例如d l />4）后，12/Q Q 的值下降速度趋于缓慢，可见只要选择一个适中的d l /值即可。

4.1.2模型的应用
一般情况下，建筑规范要求d l /≈4。

据此模型可得12/Q Q ≈3.03%，即双层玻璃窗比同样多的玻璃材料制成的单层玻璃窗节约热量约为96.97%。

虽然双层玻璃窗的工艺复杂会增加一些成本，但它减少的热量损失却是相当可观的。

不难发现，双层玻璃窗之所以有如此之高的功效主要是由于两层玻璃之间空气很低的导热系数2λ，而这个前提是，空气必须是干燥且不流通的。

作为该数学模型假设的这个条件，在实际环境下必然是不可能完全满足的。

所以实际上，双层玻璃窗的隔热功效会比模型所得的结果要差一些。

另外，应该要注意到，一个房间的热量散失，通过玻璃窗常常只占一小部分，热量还要通过天花板、墙壁、地面等流失。

4.2双层玻璃隔声效果探究
图6
4.2.1模型建立
噪声的危害是多方面的。

噪声不但可以引起人听力的衰退、多种疾病的发作；同时，还影响人们的日常工作与学习，降低劳动生产率。

引起噪声的原因有很多种，其中公路交通噪声是我们要面对的主要噪声污染源。

双层玻璃窗户可以显著的改善建筑的隔声性能。

其外层玻璃相当于一面玻璃声障，安装于建筑外层。

当声波遇到建筑物时，其绝大部分都被外层玻璃所反射，从而使进入到内层空间的噪声降低。

事实上，相当一部分双层玻璃窗户的最主要的功能就在于隔声。

面对城市环境中持续增高的交通噪音，双层是一种有效的对应方式，它能提供比单层更加优越的隔声效果。

在双层玻璃窗户中，考虑到内外玻璃间的空气间层对于其整体的隔声量的影响，因外层而增加的隔声量可按下述公式计算:
式中B——加权声
考虑到加权声B的计算比较复杂，我们采用了另一较为简明计算玻璃隔声量的数学模型。

根据物理学知识可知，沿x轴正方向的平面波通过均匀介质，则波的强度应当是波面位置x的函数，即I=I(x)。

设I(0)= 错误!未找到引用源。

,波经过x与x+dx两平面所夹的一层薄介质后，波的强度减少了dI，即有错误!未找到引用源。

,其中错误!未找到引用源。

为介质的吸收系数。

对上式两边同时进行积分可得：错误!未找到引用源。

即得到：错误!未找到引用源。

波的强度按指数规律衰减，此即为朗伯（Lambert）吸收定律[6]
由物理公式知：波能的变化为错误!未找到引用源。

(单位B)
设错误!未找到引用源。

为玻璃的吸收系数, 错误!未找到引用源。

为空气的吸收系数
对于双层玻璃窗：错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

=lg错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

=lg错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

=lg错误!未找到引用源。

波经过双层玻璃窗后能量的变化：
= lg错误!未找到引用源。

+ lg错误!未找到引用源。

+ lg 错误!未找到引用源。

=-(错误!未找到引用源。

)lge
波经过双层玻璃窗后能量减少了：错误!未找到引用源。

=(错误!未找到引用源。

)lge 对于单层玻璃窗：错误!未找到引用源。

波经过单层玻璃窗后能量的变化：错误!未找到引用源。

=lg错误!未找到引用源。

=lg错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

波经过单层玻璃窗后能量减少了：错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

lge
根据以上推导的结果，当空气的吸收系数与两片玻璃的距离越大时，双层玻璃窗的隔音效果就越好。

4.2.2结果讨论
从计算可以明显体现双层玻璃窗户在隔音方面较单层玻璃窗户的优越性。

双层玻璃窗户可以给噪音环境中的建筑提供额外的噪音屏蔽，而这对于处于高分贝噪音环境中的单层玻璃窗户建筑是难以实现的。

4.2.2进一步分析空气间层对其隔声量的影响
实际上，双层玻璃的空气间层在隔绝噪声方面也发挥很大的作用。

空气间层可以看作是与内外两层玻璃相连的缓冲层，声波入射到外层时，一部分声波通过外层的开口部分直接入射到内层;另一部分声波射到外层封闭玻璃部分，使其发生振动，此振动通过空气间层传至内层，再由内层向室内传播，由于空气间层的弹性变形具有减震作用，专递给内层的振动大为减弱，从而提高了窗户整体的隔声量。

4.3绿色出行建议
4.3.1碳排放与出行安排
当前，交通行业的迅猛发展为人类的生活带来了快捷和便利，但同时，交通出行所引发的能源消耗、空气污染和温室气体效应也越来越引人关注。

交通行业的温室气体排放占全球总排放的25%。

同时，机动车数量的迅速增加使道路堵塞，导致交通出行效率降低，使汽车原本应带来的快捷、舒适、高效成为你我生活的负担。

关心和维护我们赖以生存的地球环境，是代人良好素质和责任感的重要体现。

日益紧迫的能源危机和初见端倪的温室效应迫使我们选择“绿色出行”，践行“低碳生活”，积极减少个人“碳足迹”。

“碳足迹”来源于一个英语单词“Carbon Footprint”。

每个人都有自己的碳足迹，它指每个人的温室气体排放量，以二氧化碳为标准计算。

这个概念以形象的“足迹”为比喻，说明了我们每个人都在天空不断增多的温室气体中留下了自己的痕迹。

一个人的碳足迹可以分为第一碳足迹和第二碳足迹。

第一碳足迹是因使用化石能源而直接排放的二氧化碳，比如一个经常坐飞机出行的人会有较多的第一碳足迹，因为飞机飞行会消耗大量燃油，排出大量二氧化碳。

第二碳足迹是因使用各种产品而间接排放的二氧化碳，比如消费一瓶普通的瓶装水，会因它的生产和运输过程中产生的排放而带来第二碳足迹。

由此可见，碳足迹涉及许多因素。

具体到关注我们乘坐不同的交通工具，其能源消耗和温室气体排放、污染排放是不同的, 与交通工具的车型、车速、燃料、路况、驾驶熟练程度等诸多因素有关。

相关资料提供了碳足迹的粗略计算方法，其基本公式是：
家居用电的二氧化碳排放量（Kg）＝耗电度数×0.785；
开车的二氧化碳排放量（Kg）＝油耗公升数×0.785；
乘坐飞机的二氧化碳排放量（Kg）：
短途旅行：200公里以内＝公里数×0.275；
中途旅行：200－1000公里＝55+0.105×（公里数－200）；
长途旅行：1000公里以上＝公里数×0.139。

但是，这种方法并不便于个人计算。

具体实施中影响因素很多，难以确定各种交通工具的油耗。

我们的目的是通过比较各种交通工具碳排放，给人们的绿色出行提供建议，并不需要很精确，甚至只需要使公众获得比较感性的认识，从而为影响人们出行时交通工具的选择。

因此，我们选用另一种计算方法——利用二氧化碳排放指数M.
M的定义是在给定的交通方式的情况下每人每千米的二氧化碳排放量。

每种交通方式都有其各自的指数M。

指数M仅限于二氧化碳，并不包括其它温室气体，而且仅限于
交通过程中直接产生的二氧化碳，其它间接过程（例如汽车制造过程）中产生的二氧化碳并不计算在内。

下面是在本题的计算中使用的指数M值（单位kg/km/人）：
➢轮船： 0.102
➢小汽车：0.11
➢火车：0.06
➢公交车：0.069
➢地铁：0.042
➢骑自行车或步行：0
而飞机则继续采用上面的计算公式：
短途旅行：200公里以内＝公里数×0.275；
中途旅行：200－1000公里＝55+0.105×（公里数－200）；
长途旅行：1000公里以上＝公里数×0.139。

以上显示了世博出行的主流交通方式，大部分的指数M值来自英国环境部（Defra：2008 Guidelines to Defra's GHG Conversion Factors: Methodology Paper for Transport Emission Factors."）。

剩余部分来自于一些其它文献。

指数M假定在每种不同的交通方式下，有特定数目的乘客分担二氧化碳的排放量，我们称之为平均乘客分担量。

假定情况可能和实际情况有些出入。

比如，某人上学时乘坐的公交车可能非常空或者非常挤，这时假定情况和实际情况就有些差别。

另外指数M在不同国家之间也有不同。

其原因之一是发电方式的不同，水力发电，煤力发电，核电或其它方式的发电过程中二氧化碳的排放量有明显区别。

而这种区别也将反应在由电力驱动的交通方式上。

另外，旅行距离依据测量方法和有效数位的不同，测量结果或多或少都会存在一些误差。

为便于计算，路程全部用直线距离代替。

但是，基于我们的目的，我们相信此计算方法合理有效。

可以看出，长途出行、乘火车或轮船的碳排放明显低于飞机；短途旅行，乘公共汽车和轨道交通的碳排放也明显低于自驾车和出租车的碳排放；较近距离出行，骑自行车或步行可实现零碳排放。

但是，现代快节奏的生活中，长途旅行人们不会选择在火车或轮船上呆几天，飞机仍然是首选。

基于此，我们为各种出行者制定了出行建议：
长途参观者
◆对必须乘坐飞机来上海的国外或国内的世博会参观者，建议直接或间接购买碳信用额度，抵消因交通出行导致的大量碳排放，实现绿色出行。

以一位英国参观者为例：住处距伦敦机场40公里，乘坐公交车；然后坐飞机，飞行9208.6公里到达上海浦东机场；机场至世博浦东临时场馆场馆30公里，乘地铁。

排放二氧化碳40×0.069+9208.6×0.139+30×0.042=1284kg
中短途参观者
◆对中短途参观者，建议优先选择火车、轮船和长途客车等公共交通方式。

以南京—上海为例，乘坐火车每人每趟排放的二氧化碳量可比乘坐飞机、单人自驾汽车分别减少30千克、130千克左右。

以某成都市民为例：10公里公交车至火车站；1700公里铁路至上海南站；6.2公里公交车至卢浦大桥世博场馆区
碳排放量：10×0.069+1700×0.06+6.2×0.069=103kg
◆对于长三角等周边地区自驾车出行的参观者，建议采用停车换乘（P+R）方式，在活动举办地外围乘坐公共交通到达会场，缓解中心城区交通压力。

目前试点的两个P+R 试点分别位于轨交2号线淞虹路站和轨交1号线锦江乐园站的虹梅路停车楼。

世博期间还将新增中环共和新路、中环沪太路、中环五角场、松江大学城和轨交8号线终点站航天公园五个P+R停车场。

以一位杭州市民（市区）为例：6公里公交至城站；156公里火车至上海南站；6.2公里公交至场馆区。

碳排放量：6×0.069+156×0.06+6.2×0.069=10kg
上海市内参观者
◆对上海城区内的参观者，建议优先选择轨交、公共汽车等公共交通，减少私人汽车的使用。

◆对自驾车参观者，建议使用污染小、低排量的汽车；建议家人、同社区邻里、亲朋好友采用结伴搭乘的出行方式。

◆对距世博园区较近的参观者，建议步行或自行车出行。

在世博会召开前，张江园区约25平方公里范围内，将有150个“便民自行车”网点，约有5000辆自行车，市民可在园区内任意网点刷卡借车出行。

如果以投入3000辆自行车计算，至少相当于25辆公共汽车的运输量，即每天可节约25辆公交车的耗油量和尾气排放量。

世博会参展人员、演出团队及志愿者
◆对这部分人群，建议在工作期间尽量居住在离工作地点较近的地方，减少出行频率和出行距离。

建议采用团队巴士、公交专线等较为环保的方式出行。

上海市市民
◆建议优先乘坐轨交、公交和公司班车等交通工具上下班，尽量减少私家车的使用；短距离交通优先考虑自行车或步行等更加绿色的交通方式。

◆建议在世博会期间，通过政府引导和协商等方式实行错时上下班，减少交通高峰时段的压力，减少因交通拥堵造成的怠速、低速而增加的废气排放。

◆建议淘汰老龄、高排放、高油耗的机动车，尽量选用低排量、低污染、清洁环保型的机动车。

◆建议考虑结伴同行等出行方式，力求提高机动车的承载率，节约能源，降低排放。

最后两钟人员都在上海市内。

上海市面积6340.5平方公里, 占我国总面积的0.06%,南北长约120公里,东西宽约100公里。

最后取一上海市内参观者的旅行距离为20公里，分三种交通方式：
公交车：20×0.069=1.38kg
地铁：20×0.042=0.84kg
出租车：20×0.11=2.2kg
4.3.2倡议书
根据上述分析，我们代表上海世博会组委会写了如下倡议书：
上海世博绿色出行倡议书
尊敬的游客：
2010上海世博会将是一次展现人类文明、共议城市发展的盛事，这一点无须赘言。

至今，已经有241个国家和国际组织确认参加2010上海世博会，招展成果大大好于预期，预计参观人次将突破7,000万这个预计数字。

但是另一方面，如此庞大的参展规模，如此众多的参观人数，除了意味着“精彩世博”牵系众望之外，还意味着大量的交通出行碳排放，意味着上海市乃至周边地区的环境和交通基础设施将面临极大的压力。

根据上海世博局预计，2010年5月1日至10月31日会展期间，如参观人数以7,000万人次计，将产生900万吨的碳排放。

世博会本身将通过节能减排技术承担150万吨的碳排放，其余的750万吨碳排放上海世博局希望公众能自行减排或通过购买碳指标来予以抵消。

日益加剧的温室效应，正严重威胁着我们这个世界的可持续发展。

据统计，交通行业的温室气体排放占全球总排放的25%。

对于一个有现代公民意识的个人来说，我们有责任积极行动，调整自己的工作和生活方式，削减自己的碳足迹。

为此，我们倡导“低碳生活”，建议“绿色出行”：
长途参观者：对必须乘坐飞机前往上海的或国内的世博会参观者，建议直接或间接购买碳信用额度，抵消因交通出行导致的大量碳排放，实行绿色出行。

（为此，上海环境能源交易所正式启动了“绿色世博”自愿减排交易平台的构建，届时各国参观者都可以在自愿的前提下，通过该平台来购买碳指标，抵消自己参观世博行程中产生的碳排放。

“绿色世博”自愿减排交易平台获得的资金将用于在上海及其周边地区种植碳汇林，以达到碳中和的目的）
中短途参观者：建议选择火车、轮船和长途客车等公共交通。

对长三角等周边地区自驾者，建议采用停车换乘（P&R）方式。

上海市内参观者：建议优先选择轨道交通、公共汽车等公共交通，减少私人汽车的使用。

对自驾者建议家人、邻里、亲朋好友结伴搭乘的出行方式。

较近者建议步行或自行车出行。

对参展、演出团体及志愿者：建议尽量居住在工作附近，或采用团体巴士、公交专线等环保方式出行。

让我们行动起来，世界的未来就靠你、我、他！
参考文献
[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型.北京：高等教育出版社，2003.
[2]吴礼斌，李柏年.数学实验与建模.北京：国防工业出版社，2007.9
[3]王祖纬.装配式隔声套房的建筑声学设计.甘肃省建筑设计研究院.2009
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[6]陈治，刘志刚，陈祖刚.大学物理(下).北京：清华大学出版社，2006.10。