孙会元教授主编的固体物理基础第五章固体的输运现象51 玻尔兹曼方程PPT课件

温度梯度 r 变化 化学势变化 f 变化
电子分布函数f 与波矢 k 有关系，也就是与
能量有关系，从费米分布函数的表达式就可以 理解。
电子分布函数f 与时间t有关系，是因为外力的 作用使得波矢依赖于时间，即：
在外电场E 和磁场 B 中,电子的运动规律是：
F dke(EvB) dt
F dke(EvB) dt
ft 漂 fxv x fyv y fzv z k fxk x k fyk y k fzk z
推导： ft 漂 f xv x f yv y fzv z k fxk x k fyk y k fzk z 利用多元函数的泰勒展开,且只取到dt的线性项
f ( t ) d f ( r , k , t ) d f ( x , y , z ; k x , k y , k z ; t ) d
d d r d k d x d y d z d k x d k y d k z
在扩散的影响和外力的作用下，坐标空间和 动量空间中的占据几率发生变化。
f(r ,k ,t) f( r r d t,k k d t,t d t)
实际上,由于存在碰撞,dt 时间内,从 rrdt,kkdt
出发的电子未必都能到达 r 、k 处,自然，r 、k 处
的电子由于存在碰撞也并不全部来自 rrdt,kkdt 处。所以占据几率随时间的变化包括两部分： 一部分是迁移过程(粒子的漂移和扩散);另一部 分是与相互作用的对方相碰撞而出现的.所以：
f(x ,y , z;k x,k y,k z;t) { v x d t x v y d t y v zd t z
kxd t kx kyd t ky kzd t kz}f(x,y,z;kx,ky,kz;t)
左右相等，即可得到上式。
ft 漂 fxv x fyv y fzv z k fxk x k fyk y k fzk z
ff0f1 , f1为 小 量 。
电子分布函数 f 是波矢 k 、空间坐标 r 和时
间t的函数。亦即，在t时刻，在单位体积晶体
内位置 r 附近找到一个波矢为 k 的电子的几率
是：
f f(r,k,t)
电子分布函数 f 与位置 r 有关系，通常是由
于化学不均匀性引起的。其原因一方面是由于化 学成分不均匀(成分不同化学势不同)引起的化学势 (费米能)依赖于位置；另一方面是由于有温度梯度 引起的化学势(费米能)依赖于位置。我们这里仅考 虑后者,即：
玻尔兹曼方程是用来研究非平衡状态下电子 的分布函数的方程。
由于玻尔兹曼方程比较复杂，我们只限于讨 论电子的等能面是球面，且电子所经历的碰撞为 弹性散射(散射前后能量相等，仅波矢的方向有 所改变)以及弱场的情况(亦即可将外场的作用当 成微扰，从而非平衡的稳态分布相对于平衡分布 偏离甚少)。
1.分布函数的变化 在上述假定下,非平衡的稳态分布可以表示为：
E，B
k 变化 能量变化 f 变化
如果不存在碰撞，t时刻，在相空间(以波矢k
坐标 r 为变量组成的空间) r 、k Baidu Nhomakorabea的电子必来自 t
- dt 时刻 rrdt,kkdt 处，即不存在碰撞时来
自于电子的漂移过程。所以：
f( r ,k ,t) f( r r d t,k k d t,t d t)
如果不存在碰撞
5.1 玻尔兹曼方程
本节主要内容： 玻尔兹曼方程和弛豫时间近似
5.1 玻尔兹曼方程
玻尔兹曼方程
在第一章我们讨论金属自由电子气体的热性 质时，已经知道在热平衡状态下，即温度均匀且 无外场作用时，电子系统的分布函数为费米分布 函数，为了和非平衡分布函数区分，把费米分布 函数表示为：
f0(k)e(k)1kBT 1
f 0 ( k ) 表示N—电子体系在热平衡态(温度为T)
时，能量为k的单电子本征态被一个电子占据的
概率，亦即该电子态的平均电子数。
f0(k)e(k)1kBT 1
显然，对于均匀体系， f 0 ( k )与电子所在晶体 内位置 r 无关。
要想讨论输运问题，必须知道微扰状态下 的分布函数，如何确定非平衡状态下电子的分 布函数呢？
f(r,k,t)f(rrd t,kkd t,td t) ft 碰 d t
所以，电子分布函数的变化可表示为：
f t
ft
碰＋ft
漂
漂移作用引起的分布函数的变化
碰撞引起的分布函数的变化
通常我们研究输运行为时，讨论的都是定态
过程，即假定： f 0
t
注意，这里提到的稳态情形
f t
0
和费
米—狄拉克函数 f 0 ( k ) 所定义的平衡态之间是有
f(x x ,y y ， ) f(x ,y ， ) ( x y } f(x ,y ) x y
左 边 f(tdt)f(t)fdt t
右 f( x v x d t ,y v y d t ,z v z d t ; k x k x d t ,k y k y d t ,k z k z d t ; t )
在 t+dt 时刻,空间体积元 d 含有这样一些
电子,这些电子在t 时刻的坐标是 xvxdt,yvydt,zvzdt, 其波矢分量为 kxkxdt,kykydt,kzkzdt,亦即在
t+dt 时刻有： f(tdt)d
f( x v x d t ,y v y d t ,z v z d t ;k x k x d t ,k y k y d t ,k z k z d t ;t ) d 也就是这部分电子是漂移过来的，所以：
或：
f t
漂r
rf k
f k
rrf kkf
漂移项=外场作用力引起的电子波矢的漂移
+速度引起的电子位置的漂移
漂移描述了在两次碰撞之间的纯动力学行为， 并不导致不可逆因素，为此必须考虑碰撞项。
区别的。
f t
ft
碰＋ft
漂
从上面的讨论可以看出，要研究输运行为，
必须对漂移项(drift term)和碰撞项(collision
term)(或散射项(scattering term)也叫相互作用项)
有所了解。
1).漂移项(先不考虑碰撞时)
按照分布函数的定义，在t时刻，总电子数中
存在于相空间体积元d 内的电子数为：