电子科技大学级微积分(下)期末复习
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＊ 球面坐标的体积元素 dv 2 sinddd
x ρ sinφ cosθ ,
y
ρ
sinφ
sinθ
,
z ρ cosφ
0 θ 2 , (- θ ) 0φ
0 ρ <
平面上的第二类线积分的计算：L Pdx Qdy
方法一、积分与路径无关, 需计算 Q 及 P ， x y
(注意:积分无关的区域 D 必须是单连通区域!)
４、傅立叶级数的狄立克莱收敛定理；
５、一个给定级数的收敛情况． （是绝对收敛 或条件收敛 或发散 或不定）
务必掌握的计算：
1、二阶线性常系数非齐次微分方程 y’’+ay’+by=f(x) 的求解.
2、求多元函数的偏导数. 尤其是抽象函数的偏导数. 如: z=f(xy , x-y); 方程所确定的隐函数的偏导数.如: f ( x mz, y nz) 0
电子科技大学期末微积分（下）试题
一.填空题(15分, 每题3分)
1.设z (1 xy)y ,则 z y2 (1 xy) y1
x
若求：z ?
y
2.函数f (x, y) x2 y xe y在(1,0)处方向导数的最大值等于___.
fx
(1,0)
2 xy
ey
1,
(1,0)
gradf (1,0) i 2 j
方法二、格林公式: Pdx Qdy ( Q P )dxdy.
L
x y
D
(注意:(1)积分曲线 L 要封闭;
(2)P,Q函数要在区域D内有连续偏导.)
方法三、(直接法) 化为定积分。
第二类曲面积分的计算
方法一：高斯公式法;
Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
V
(P Q R )dV x y z
(注意:曲面S要封闭!)
方法二：总投影法（定义法）; 方法三：分别投影法.
注意：
1. 线、面积分的被积表达式中的(x,y,z) 满足积分曲线或曲面的方程。 故可由曲线(曲面)方程进行等值代换 来化简被积表达式化简!!
（但二重积分与三重积分没有此特性！）
2. 利用对称性可简化积分的运算.
(但第二类线、面积分的对称性不仅与被 积 函数及积分区域有关而且还与积分区域的方 向有关！)
( A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)即非充分又非必要条件；
二重积分的计算步骤
1、作积分区域图. 2、根据区域的形状及被积函数的结构选择坐标系； 3、化二重积分为二次积分； (1)直角坐标系中，需确定是先对y后对x积分还是先 对x后对y积分; (2)极坐标系中，一般是先对r后对积分.
f y (1,0)
x2 xe y (1,0)
2
Βιβλιοθήκη Baidu
f
gradf (1,0) 5
l max
3.设L为椭圆 x2 y2 1,其周长为a，则 43
（2xy 3x2 L
4 y2 )ds
12a
4.交换二次积分的次序
1
dy
y
f ( x, y)dx
0
1
y
0
x
dx f ( x, y)dy
1
微积分疑难分析系列讲座
无穷级数
5月25日（星期三）晚 7：20 地点：A203
微积分(下)期末考试要点
题型分析：
填空题 15%
选择题 15%
基本计算题
55-65%
证明题
5-15%
选择题常考内容：
1、多元函数连续、可微、可偏导之间的关系； 2、求多元数量值函数积分：二重积分、三重积分、
第一类线、面积分计算. (注意对称性) 3、幂级数的阿贝尔定理；
(B) f (x0 , y0 )必不存在； (C) f (x, y)在(x0, y0 )必不可微； (D) fx (x0 , y0 ), f y (x0 , y0 )必不存在；
2、 z f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 处可微是 f 在该点的两个偏
导数 fx , f y 都存的（ B ）
证明题常考内容：
主要是关于常数项级数的收敛性证明； （仅2003,2008年没有考）
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
函数可偏导
函数可微 偏导数连续
例 选择题
1、若 f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 处不连续，则（ Ｃ ）
(A) lim f (x, y)必不存在； xx0 y y0
注意: (1)坐标系选择不当,不仅会增加计算难度,而且还可 能导致积不出来； (2)直角坐标系中，积分次序选择不当,也可能会增加 计算难度,甚至积不出来；
三重积分的计算
一、三重积分在直角坐标系下的计算 二、三重积分在柱面坐标系下的计算 三、三重积分在球面坐标系下的计算
三重积分在直角坐标系下的计算：
3、求多元函数的(无条件、条件）极值．
4、求空间曲线的切线与法平面； 求空间曲面的切平面与法线；
5、计算二重积分、三重积分、第一类曲面积分、 第二类曲面积分．
６、用格林公式计算第二类曲线积分； 用高斯公式计算第二类曲面积分． 或二型线积分与路径无关.
７、求幂级数的收敛域及其和函数; 将函数f(x)展开为幂级数、傅立叶级数．
Dz
三重积分在柱坐标下的计算：
若 (1)被积函数为f(x2+y2) ；
(2)区域V的边界面的方程含x2+y2 ；
（如边界面为球面、圆柱面、圆锥面、旋转抛物面等）
则可选用柱坐标系.
方法： (1) “先一后二法”(投影
rdrd 法z2(r), ) f (r cos , r sin , z)dz.
Dr
0
y x
1
x
5.设函数f ( x)以4为周期,在(-2,
2]上函数f
(
x)
0,-2
e
x
,
0
x x
法1: “先一后二法”(投影法)
dxdy z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz.
Dxy
z1 ( x , y )
法2: “先二后一法”(截面法)
c2 dz f ( x, y, z)dxdy
c1
Dz
注: 当 截面D z容易确定、容易表达；
而 f ( x, y, z)dxd容y 易积分时,才考虑“先二后一法”
z1 ( r , )
(2) “先二后一法”(截面
c2 dz f (法r c)os , r sin , z)rdrd
c1
Dz
实质： 将直角坐标系中的“先一后二”法或
“先二后一”法中的“二”在极坐标系中计算.
三重积分在球面坐标下的计算：
球坐标最佳适用情况： 被积函数为f(x2+y2 +z2 )； 区域V的边界面为球面、圆锥面等.
x ρ sinφ cosθ ,
y
ρ
sinφ
sinθ
,
z ρ cosφ
0 θ 2 , (- θ ) 0φ
0 ρ <
平面上的第二类线积分的计算：L Pdx Qdy
方法一、积分与路径无关, 需计算 Q 及 P ， x y
(注意:积分无关的区域 D 必须是单连通区域!)
４、傅立叶级数的狄立克莱收敛定理；
５、一个给定级数的收敛情况． （是绝对收敛 或条件收敛 或发散 或不定）
务必掌握的计算：
1、二阶线性常系数非齐次微分方程 y’’+ay’+by=f(x) 的求解.
2、求多元函数的偏导数. 尤其是抽象函数的偏导数. 如: z=f(xy , x-y); 方程所确定的隐函数的偏导数.如: f ( x mz, y nz) 0
电子科技大学期末微积分（下）试题
一.填空题(15分, 每题3分)
1.设z (1 xy)y ,则 z y2 (1 xy) y1
x
若求：z ?
y
2.函数f (x, y) x2 y xe y在(1,0)处方向导数的最大值等于___.
fx
(1,0)
2 xy
ey
1,
(1,0)
gradf (1,0) i 2 j
方法二、格林公式: Pdx Qdy ( Q P )dxdy.
L
x y
D
(注意:(1)积分曲线 L 要封闭;
(2)P,Q函数要在区域D内有连续偏导.)
方法三、(直接法) 化为定积分。
第二类曲面积分的计算
方法一：高斯公式法;
Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
V
(P Q R )dV x y z
(注意:曲面S要封闭!)
方法二：总投影法（定义法）; 方法三：分别投影法.
注意：
1. 线、面积分的被积表达式中的(x,y,z) 满足积分曲线或曲面的方程。 故可由曲线(曲面)方程进行等值代换 来化简被积表达式化简!!
（但二重积分与三重积分没有此特性！）
2. 利用对称性可简化积分的运算.
(但第二类线、面积分的对称性不仅与被 积 函数及积分区域有关而且还与积分区域的方 向有关！)
( A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)即非充分又非必要条件；
二重积分的计算步骤
1、作积分区域图. 2、根据区域的形状及被积函数的结构选择坐标系； 3、化二重积分为二次积分； (1)直角坐标系中，需确定是先对y后对x积分还是先 对x后对y积分; (2)极坐标系中，一般是先对r后对积分.
f y (1,0)
x2 xe y (1,0)
2
Βιβλιοθήκη Baidu
f
gradf (1,0) 5
l max
3.设L为椭圆 x2 y2 1,其周长为a，则 43
（2xy 3x2 L
4 y2 )ds
12a
4.交换二次积分的次序
1
dy
y
f ( x, y)dx
0
1
y
0
x
dx f ( x, y)dy
1
微积分疑难分析系列讲座
无穷级数
5月25日（星期三）晚 7：20 地点：A203
微积分(下)期末考试要点
题型分析：
填空题 15%
选择题 15%
基本计算题
55-65%
证明题
5-15%
选择题常考内容：
1、多元函数连续、可微、可偏导之间的关系； 2、求多元数量值函数积分：二重积分、三重积分、
第一类线、面积分计算. (注意对称性) 3、幂级数的阿贝尔定理；
(B) f (x0 , y0 )必不存在； (C) f (x, y)在(x0, y0 )必不可微； (D) fx (x0 , y0 ), f y (x0 , y0 )必不存在；
2、 z f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 处可微是 f 在该点的两个偏
导数 fx , f y 都存的（ B ）
证明题常考内容：
主要是关于常数项级数的收敛性证明； （仅2003,2008年没有考）
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
函数可偏导
函数可微 偏导数连续
例 选择题
1、若 f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 处不连续，则（ Ｃ ）
(A) lim f (x, y)必不存在； xx0 y y0
注意: (1)坐标系选择不当,不仅会增加计算难度,而且还可 能导致积不出来； (2)直角坐标系中，积分次序选择不当,也可能会增加 计算难度,甚至积不出来；
三重积分的计算
一、三重积分在直角坐标系下的计算 二、三重积分在柱面坐标系下的计算 三、三重积分在球面坐标系下的计算
三重积分在直角坐标系下的计算：
3、求多元函数的(无条件、条件）极值．
4、求空间曲线的切线与法平面； 求空间曲面的切平面与法线；
5、计算二重积分、三重积分、第一类曲面积分、 第二类曲面积分．
６、用格林公式计算第二类曲线积分； 用高斯公式计算第二类曲面积分． 或二型线积分与路径无关.
７、求幂级数的收敛域及其和函数; 将函数f(x)展开为幂级数、傅立叶级数．
Dz
三重积分在柱坐标下的计算：
若 (1)被积函数为f(x2+y2) ；
(2)区域V的边界面的方程含x2+y2 ；
（如边界面为球面、圆柱面、圆锥面、旋转抛物面等）
则可选用柱坐标系.
方法： (1) “先一后二法”(投影
rdrd 法z2(r), ) f (r cos , r sin , z)dz.
Dr
0
y x
1
x
5.设函数f ( x)以4为周期,在(-2,
2]上函数f
(
x)
0,-2
e
x
,
0
x x
法1: “先一后二法”(投影法)
dxdy z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz.
Dxy
z1 ( x , y )
法2: “先二后一法”(截面法)
c2 dz f ( x, y, z)dxdy
c1
Dz
注: 当 截面D z容易确定、容易表达；
而 f ( x, y, z)dxd容y 易积分时,才考虑“先二后一法”
z1 ( r , )
(2) “先二后一法”(截面
c2 dz f (法r c)os , r sin , z)rdrd
c1
Dz
实质： 将直角坐标系中的“先一后二”法或
“先二后一”法中的“二”在极坐标系中计算.
三重积分在球面坐标下的计算：
球坐标最佳适用情况： 被积函数为f(x2+y2 +z2 )； 区域V的边界面为球面、圆锥面等.