事件的关系及运算

（1） 交换律：
AB B A
AB BA
（2） 结合律：
(A B) C A (B C)
(AB)C A(BC )
§1.3 事件的关系及运算
（3） 分配律：
A( B C) AB AC A (BC) (A B)(AC)
（4） 德摩根(De morgan)定律：
A B AB , AB AB
n
AB 且 A B ,
则称事件 A与 B是对立的(或互逆的),称事件 是事A 件 的 对立B 事件(或逆事件);同样,事件 也是事件B 的对立事A 件(或逆事件).
记作：B A 或 A B.
§1.3 事件的关系及运算
❖完备事件组
如果n个事件 A1, A2, , An中至少有一个事件一定发
第一章 随机事件及其概率
§1.3 事件的关系及运算
§1.3 事件的关系及运算
1.事件的关系与运算
❖包含（关系） 如果事件 A的发生必然导致事件 B的发生,则称事
件B包含事件 A或称事件 A包含于事件B.
记作：B A 或 A B.
B A
§1.3 事件的关系及运算
❖相等（关系） 如果事件 A包含事件B且事件B包含事件 A,即
n
推广： Ai Ai ,
i1
i1
n
n
Ai Ai
i1
i1
§1.3 事件的关系及运算
小结
1. 事件的关系：包含,相等,互不相容,互逆. 2. 事件的运算: 并,交,差. 3. 事件的运算与集合运算的对应.
§1.3 事件的关系及运算
思考题
设 A、B、C 是任意三个随机事件,则下列命题中正 确的是（）.
A B 且 B A;
也就是说,二事件 A与B中任一事件的发生必然导致另 一事件的发生,则称事件 A与B相等.
记作：A B.
§1.3 事件的关系及运算
❖事件的并（和）（运算）
“事件 A与B中至少有一事件发生”这一事件叫做事
件 A与B的并. 记作：A B.
B AB A
“ n 个事件 A1, A2, , An中至少有一事件发生”这一 事件叫wenku.baidu.com事件 A1, A2, , An的并.
n
记作：A1 A2 An. (简记为： Ai ) i1
§1.3 事件的关系及运算
❖事件的交（积）（运算）
“二事件 A与B都发生”这一事件叫做事件 A与B的交.
记作：A B 或 AB. B
A
A B
“ n 个事件 A1, A2, , An中都发生”这一事件叫做事
件 A1, A2, , An的交.
AB C
③ A, B, C 都不发生；
ABC ABC 或 A B C
§1.3 事件的关系及运算
④ 仅 A发生；
A BC
⑤ A, B, C仅有一个发生；
ABC ABC ABC
⑥ A, B, C 至多有一个发生；
ABC A BC ABC ABC
§1.3 事件的关系及运算
2.事件的运算律
n
生,即 Ai ,则称这n个事件构成完备事件组. i1 设n个事件 A1, A2, , An满足下面的关系式：
Ai Aj (1 i j n), n Ai , i1
则称这n个事件构成互不相容完备事件组.
§1.3 事件的关系及运算
❖事件的差（运算）
“事件 A发生但事件B不发生”称为 A与B的差.
Ai Aj (1 i j n),
则称这 n个事件是互不相容的(或互斥的).
此时，A1, A2 , , A的n 并记作
n
A1 A2 An 或 Ai.
i1
§1.3 事件的关系及运算
❖互逆（关系）
如果事件 A与 B互不相容且它们中必有一事件发生， 即二事件 A与 B中有且仅有一事件发生,即
(A) ( A B) B A B (B) ( A B) B A (C) (A B) C A (B C) (D) A B AB AB
§1.3 事件的关系及运算
解： ( A B) B ( A B)B (AB) (BB) AB A B,
故选(A). 其余三个答案不对的原因是： ( A B) B ( AB) B ( A B)(B B) A B ； ( A B) C ( A B)C ( AC) (BC) AC (B C) ； A B AB AB AB ( AB、AB、AB两两互不相容) .
集合A是集合 B的子集 集合A与集合 B相等 集合A与集合 B的并集 集合 A与集合 B的交集 集合A 与 B不相交 集合A的余集
§1.3 事件的关系及运算
[例1] 设有A, B, C三个事件，用 A, B, C 的运算表
示以下事件：
① A, B, C 至少有一个发生；
ABC
② A, B, C 都发生；
记作：A B.
B
A
AB
[常用公式] A B A B A A B.
§1.3 事件的关系及运算
❖事件运算与集合运算的对应
A B 事件A包含于事件B A B 事件A等于事件 B A B 事件A与事件 B的并 A B 事件 A与事件 B的交 AB 事件 A与 B互不相容
A 事件A的对立事件
n
记作：A1 A2 An (简记为： Ai ) i1 或 A1A2 An.
§1.3 事件的关系及运算
❖互不相容（关系）
如果事件 A与B 不可能同时发生,即 AB ,则称二
事件 A与B是互不相容的(或互斥的).
两个互不相容事件A与 B的并，记作：A B.
如果 n个事件 A1, A2, , A中n 任意两个事件不可能同 时发生,即