弹性力学 第八章平面问题的复变函数法

在一个区域D的每一个点处都可微的 函数，叫在这个区域内的解析函数。
性质1 如果函数在一区 域内是解析的，那么对于所 有的在这个区域内而且具有 两个公共端点的那些曲线C来 说，积分的值相同。
性质2 如果函数在一 个单连通区域内是解析的， 并且在一个区域D内是连续 的，那么沿区域D的边界C 所取的积分等于零。
1 f (z)dz lim (z a) f (z) lim (z b) f (z)
2i
za
zb
复变函数w = f(z) 为解析函数时，在它 所实现的条件下，若 在两曲线交点处的导 数不为零，则变换前 后曲线在该交点处的 夹角的大小和旋转方 向保持不变，这种变 换称为保角映射。
现在为了下面计算方便，我们来求复变函数对
n1
a1
lim ( z
za
a)
f
(z)
另由包含a在内的柯西积分
1
2i
f (z)dz 1
2i
a0
an (z a)n a1(z a)1dz
n1
1 2i
a1 z-a
dz
a1
可得残数定理 1 f (z)dz lim(z a) f (z)
2i
za
如果柯西积分包含a, b两个单极点在内，则有
c f (z)dz 0
对于多连通区域来说如果函数在一个区域 内是解析的，并且在一个区域D内是连续的， 那么沿区域D的边界C所取的积分等于零，但在 通过这个区域的边界时，其通过的方向要使区 域D始终保持在同一个侧。
D
c f (z)dz 0
C
性质3 如果函数f(z)在一区域内是解析的，
并且在一个区域D内是连续的，那么柯西公式
u v , u v x y y x 当这些偏导数连续时，也是充分条件。
根据柯西－黎曼条件，可知解析函数的实
部和虚部都是调和函数:
2u 2u
2v 2v
x2 y2 0, x2 y2 0
解析函数的实部和虚部是共轭的，其等值线相互
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垂直。
性质7 设f(z)在以z=a为圆心的圆内和圆周上是 解析的，那么对圆内所有的点有泰勒级数表示：
§8－1 复变函数的基本概念
复数的表示 z x iy
z ei (cos i sin)
共轭复数 z x iy
z e-i (cos i sin)
复变函数的表示
w f (z) u(x, y) iv(x,y)
u(x, y), v(x, y) 分别为f(z)的实部和虚部。
复变函数的共轭函数的表示
f (z) f (a)
f (n) (a)(z a)n
n!
n1
设f(z)在a点不是解析的，则称该点为一个奇
点，如除该点外解析，则称为孤立奇点。如果奇
点的形式如下，则成为极点（φ(z)解析 ）：
f (z) (z)
(z a)n
设f(z)在z=a处有一m阶极点，但在以z=a为
圆心的圆内和圆周上其他点上是解析的，那么
对圆内所有的点有罗朗级数表示：
m
f (z) a0 an (z a)n an (z a)n
n1
n1
设f(z)在z=a处有一阶极点，但在以z=a为圆
心的圆内和圆周上其他点上是解析的，那么对
圆内所有的点有罗朗级数表示：
f (z) a0 an (z a)n a1(z a)1
于是有
第八章 平面问题的复变函数解法
一些弹性力学问题采用复变函数求解 比较方便，例如对于由椭圆、双曲线以及 其它曲线构成物体边界的平面向题，对于 含有裂纹平面问题等，利用曲线坐标及复 变函数方法求解十分适宜。
应用复变函数的理论和方法，例如保 角变换等，可使弹性力学问题求解的范围 进一步扩大，本章只限于介绍复变函数方 法在弹性力学中的一些简单应用。
x、y和对z、z的导数，这部分内容是下面工作的基
础。
复变数z= x＋iy和z＝x－iy。
z 1, z i, z 1, z i x y x y
设U是任意一个复变函数
复变函数w = f(z)
是单值函数时，当z平
面上的一点绕行一周， 回到原来的位置时， 对应于w平面上的点也 绕行一周，回到原来 的位置。当z平面上一 点再绕行一周，回到 原来的位置时，对应 于w平面上的点也再绕 行一周，回到原来的 位置。
复变函数w = f(z) 是多
值函数时，当z平面上的一
点绕行一周，回到原来的 位置时，对应于w平面上的 点并不绕行一周，回到原 来的位置，而是到达新的 一点。当z平面上的一点再 绕行一周，回到原来的位 置时，对应于w平面上的点 从新的一点出发，画出新 的曲线，到达另一个新的 点的位置。
在 D 上解析，则
n
蜒 f (z)dz f (z)dz
C0
k 1 Ck
性质5 设f(z)在以简单正向闭曲线C所围成的有 界闭区域 D 上解析，则f(z)在D内有任意阶导数，并 且它的n阶导数满足
Ñ 1
2 i
L
(
z
f
(z) z0 )n1
dz
f (n) (z0 ) n!
性质6 函数为解析函数的必要条件是柯 西－黎曼条件
成立
f ( ) d f (z)
c z
另外有
c
(
1 z)n
d
0, n 1
2i, n 1
其中C是区域D的边界，其通过的方向是使区域
D始终保持在其左面的。并z点应包含在区域D 内,也就是说柯西积分被积函数,以z为奇点.
性质4 设C1，C2，…Cn是n条既不相交又不相
含的简单闭曲线，它们又都在简单闭曲线C0的内 部，曲线C0，C1，C2，…Cn共围成一个有界多联 通区域D, D及其边界构成一个闭区域 D ，设f(z)
w f (z) u(x, y) iv(x,y) 一般 w f ( z) f ( z ) ，而应将所有i,换为-i.
复变函数的概念和性质
复数对应平面上的点， 用复数和复变函数来描述和 解平面问题是十分自然的。
复变函数w = f(z) 将平 面z上的点变换为平面w上 的点，将平面z上的图形变 换为平面w上的图形，将 平面z上的一个区域变换为 平面w上的的一个区域。
我们通常用到的多
值函数是对数函数lnz.
ln z ln ei( 2k )
ln i( 2k ) k 1,2,3
当z为单位圆周上的点 时，绕行一周后，z的值重 复，而对数函数lnz值不重
复，也就是多值函数。
当应力和位移由复变函 数组成时,为了保证他们的 单值性,应考虑这一点。
解析函数的概念和性质