第二章 姿态运动学与动力学

A被称为方向余弦阵或姿态矩阵
方向余弦阵的性质及特点
方向余弦阵只有三个独立参数 xa⋅ xa=1, ya⋅ ya=1, za⋅ za=1 xa⋅ ya=0, xa⋅ za=0, ya⋅ za=0 方向余弦阵是正交矩阵 方向余弦阵的行列式为1 方向余弦阵可作为坐标变换矩阵
Fa=CabFb, Fb=CbcFc, Fa=CacFc Cac=CabCbc
yp o zp xp 太阳
2.1.7 太阳-黄道坐标系oxsyszs
太阳黄道平面为坐标平面 xs轴指向太阳圆盘中心 zs轴指向黄极 ys轴与xs、 zs右手正交 三轴稳定的科学卫星
ϒ
PN C
zs ys o xs 黄道 S 赤道
§2.2 姿态描述
2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 姿态描述初步 方向余弦式姿态描述 Euler轴/角式姿态描述 Euler角式姿态描述 Euler四元素式姿态描述 Rodrigues参数式姿态描述
yb
坐标轴的相对关系
ya
xa =Axxxb+Axyyb+Axzzb ya =Ayxxb+Ayyyb+Ayzzb za =Azxxb+Azyyb+Azzzb
方向余弦阵(姿态矩阵)的引入
将两个坐标系坐标轴之间的关系写成紧凑形式
Fa = AFb
⎡ Axx ⎢ A = ⎢ A yx ⎢ Azx ⎣ Axy A yy Azy Axz ⎤ ⎥ A yz ⎥ Azz ⎥ ⎦
2.2.4.1 Euler角基本理论依据
出发点
希望三个姿态参数具有简便、明显的几何意义，并能用姿态 敏感器直接测量，且可方便求解动力学方程
理论依据(Euler定理)
刚体绕固定点的位移，可是绕该点的若干次有限运动的合成
Euler转动
将参考坐标系转动三次得到本体系 每次的旋转轴是被旋转坐标系的某一坐标轴 每次的旋转角为Euler角 姿态矩阵为三次坐标转换矩阵的乘积
2.2.1 姿态描述初步
表征绕质心旋转运动的参量 用固连的体坐标系Fb相对某参考 系Fa的方位或指向描述 把Fb相对Fa的方位描述出来 姿态参数
方向余弦 Euler轴/角 Euler角 四元素 Rodrigues参数
xa
za Fa oa
zb Fb
ob xb
yb
ya
2.2.2 方向余弦式姿态描述
如何描述两个坐标系的相对方位？ 用方向余弦描述Fb 相对Fa的方位 方向余弦阵(姿态矩阵)的引入 方向余弦阵的性质及特点
Zs
太阳 Os
Ys
日心赤道惯性坐标系
Xs
春分点方向
赤道面为坐标平面，原点为日心； X轴在赤道面内指向春分点； Z轴垂直于天赤道平面，与地球自旋轴平行。
2.1.2 质心平动坐标系oXYZ
把惯性系平移到航天器的质心o上； 原点为o； 坐标轴与地心赤道惯性坐标系的坐标轴平行。
Z o X
Y
2.1.3 轨道坐标系oxoyozo
2 2 2 q12 + q2 + q3 + q4 = 1 约束：
v v v v q = q1 x + q2 y + q3 z + q4 = q + q4 表达：
四元素与其它姿态参数的转换
四元素→姿态矩阵
vT v vv T v× A( q ) = ( q + q q ) I + 2qq − 2q4 q
Euler定理
` 刚体绕固定点的任一位移，可由绕通过 此点的某一轴转过一个角度得到。
Hale Waihona Puke zbzaeφ
正交矩阵的性质
一个常实正交矩阵A，至少有一个特征 值为1的特征矢量e，使得Ae=e。 xa
o xb
yb ya
姿态描述
可用转轴e和绕此轴的转角φ来描述两个 坐标系间的相对姿态。
Euler轴/角的形式及特点
§2.1 常用坐标系
2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.1.6 2.1.7 惯性坐标系OXYZ 质心平动坐标系oXYZ 轨道坐标系oxoyozo 本体坐标系oxbybzb 航天器本体自旋坐标系oxryrzr 地心-太阳坐标系oxpypzp 太阳-黄道坐标系oxsyszs
⎛ Ayz − Azy ⎞ 1 ⎜ ⎟ e= ⎜ Azx − Axz ⎟ 2sin φ ⎜ Axy − Ayx ⎟ ⎝ ⎠
1 cos φ = ( trA − 1) 2
假定sinφ ≠0
主旋转矩阵
0 ⎛1 ⎜ Ax = ⎜ 0 cos φ ⎜ 0 − sin φ ⎝ 0 ⎞ ⎟ sin φ ⎟ cos φ ⎟ ⎠
常用Euler角
3-1-3 3-1-2
ψ, θ, ϕ 自旋卫星 ψ, ϕ, θ 三轴稳定卫星
2.2.4.3 3-1-3 Euler角
绕oZ轴旋转(3), Rz(ψ) 绕oX'轴旋转(1), Rx(θ) 绕oZ"轴旋转(3), Rz(ϕ)
z Z
ϕ
θ
ψ
ϕ θ ψ
y Y″ Y′ Y
A313 (ψ ,θ , ϕ ) = Rz (ϕ ) Rx (θ ) Rz (ϕ ) ⎛ cos ϕ cosψ − sin ϕ cos θ sinψ ⎜ = ⎜ − sin ϕ cosψ − cos ϕ cos θ sinψ ⎜ sin θ sinψ ⎝
ψ为偏航角 ϕ为滚动角 θ为俯仰角
A312 (ψ ,θ , ϕ ) = Ry (θ ) Rx (ϕ ) Rz (ψ ) ⎛ cos θ cosψ − sin ϕ sin θ sinψ ⎜ =⎜ − cos ϕ sinψ ⎜ sin θ cosψ + sin ϕ cos θ sinψ ⎝
Z″ Z′″ z
绕x轴旋转角度φ
绕y轴旋转角度φ
⎛ cos φ ⎜ Ay = ⎜ 0 ⎜ sin φ ⎝
⎛ cos φ ⎜ Az = ⎜ − sin φ ⎜ 0 ⎝
0 − sin φ ⎞ ⎟ 1 0 ⎟ 0 cos φ ⎟ ⎠
sin φ cos φ 0 0⎞ ⎟ 0⎟ 1⎟ ⎠
绕z轴旋转角度φ
2.2.4 Euler角式姿态描述 2.2.4.1 2.2.4.2 2.2.4.3 2.2.4.4 2.2.4.5 2.2.4.6 Euler角基本理论依据 Euler角的种类 3-1-3 Euler角 3-1-2 Euler角 Euler角的特点 Euler角与其它姿态参 数的转换
几何意义直观、明显 小角度线性化方便 在某些情况下，可直接测量
缺点
包含三角函数，计算效率低 运动学方程有奇点
2.2.4.6 Euler角与其它姿态参数的转换
3-1-2 Euler角→姿态矩阵
A312 (ψ ,θ , ϕ ) = Ry (θ ) Rx (ϕ ) Rz (ψ ) ⎛ cos θ cosψ − sin ϕ sin θ sinψ ⎜ =⎜ − cos ϕ sinψ ⎜ sin θ cosψ + sin ϕ cos θ sinψ ⎝ cos θ sinψ + sin ϕ sin θ cosψ cos ϕ cosψ sin θ sinψ − sin ϕ cos θ cosψ − cos ϕ sin θ ⎞ ⎟ sin ϕ ⎟ cos ϕ cos θ ⎟ ⎠
坐标原点为质心o； ozr轴指向自旋轴方向； oyr轴指向航天器内某特征点； oxr轴与oyr、 ozr构成右手正交坐标系。 应用于自旋卫星
2.1.6 地心-太阳坐标系oxpypzp
航天器-地球-太阳平面为坐标平面 zp轴指向地心 xp轴在坐标平面内与zp轴垂直并指向太阳方向 yp轴与xp、 zp构成右手正交坐标系 地球导航卫星的姿态参考系
2.1.1 惯性坐标系OXYZ
相对于恒星固定的坐标系 满足精度要求的基准坐标系 地心赤道惯性坐标系 O为原点(地心) OZ轴指向北极 OX轴指向春分点 X OY与OX、OZ组成右手正交系 春分点 日心惯性坐标系(黄道或赤道面)
Z 北极
O
Y
日心惯性坐标系
日心黄道惯性坐标系
黄道面为坐标平面； 原点为日心； Xs轴指向 Ys 轴 Zs轴
X
θ
ψ ϕ
cos ϕ sinψ + sin ϕ cos θ cosψ − sin ϕ cosψ + cos ϕ cos θ cosψ − sin θ cosψ
X′ X″ x
sin ϕ sin θ ⎞ ⎟ cos ϕ sin θ ⎟ cos θ ⎟ ⎠
2.2.4.4 3-1-2 Euler角
绕oZ轴旋转(3), Rz(ψ) 绕oX'轴旋转(1), Rx(ϕ) 绕oY"轴旋转(2), Ry(θ) 在轨道坐标系内
形式
转轴e在参考坐标系中的三个方向余弦(ex, ey, ez) 转角φ
优点
具有明确的几何意义，直观，易于理解； 是四元素、Rodrigues参数等其它姿态描述方法的基础。
缺点
仍具有一个约束条件，不是姿态描述的最小实现； 与姿态之间不是一一对应的。
Euler轴/角与方向余弦阵的转换
Euler轴/角→姿态矩阵 A=cosφ ·E3×3+(1-cosφ ) eeT - sinφ ·e× 姿态矩阵→Euler轴/角
避免Euler角奇异 用Euler轴/角组成四个参数
四元素的形式
⎛ q1 ⎞ ⎛ ex sin (φ / 2 ) ⎞ v ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎛ q ⎞ ⎜ q2 ⎟ ⎜ ey sin(φ / 2) ⎟ q=⎜ ⎟= = ⎝ q4 ⎠ ⎜ q3 ⎟ ⎜ ez sin(φ / 2) ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ q4 ⎠ ⎝ cos(φ / 2) ⎠
2.2.4.2 Euler角的种类
姿态矩阵还与三次转动的顺序有关 第一类
第一次和第三次转动是绕同类坐标轴进行的，第二次转动是绕 另两类坐标轴中的一轴进行的； 3-1-3, 2-1-2, 1-2-1, 3-2-3, 2-3-2, 1-3-1
第二类
每次转动是绕不同类别的坐标轴进行的； 1-2-3, 1-3-2, 2-3-1, 2-1-3, 3-1-2, 3-2-1
第二章 姿态运动学与动力学
干扰力矩 期望 姿态 e 姿态动力学 +
姿 态 u 控制器 姿态 确定 算法
执行机构
+
τ
转 动 ω 动力学
姿 态 θ 运动学
姿态 估计
速率陀螺 姿态敏感器
第二章 姿态运动学与动力学
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 常用坐标系 姿态描述 姿态运动学 姿态动力学 环境干扰力矩
xo 滚动 o zo 偏航 yo 俯仰
对地定向的三轴稳定卫星
2.1.4 本体坐标系oxbybzb
坐标原点为质心o，oxb、oyb、 ozb轴固连在航天器本 体上； 若三轴为航天器惯量主轴，则称为主轴坐标系； 对于对地定向的三轴稳定卫星， oxb、oyb、 ozb也称 为滚动、俯仰、偏航轴。
2.1.5 航天器本体自旋坐标系oxryrzr
用方向余弦描述Fb 相对Fa的方位
坐标轴单位矢量
Fa={xa, ya, za} Fb={xb, yb, zb}
za Fa oa
zb Fb
ob xb
方向余弦
xa⋅ xb=Axx ya⋅ xb=Ayx za⋅ xb=Azx xa⋅ yb=Axy xa⋅ zb=Axz ya⋅ yb=Ayy ya⋅ zb=Ayz za⋅ yb=Azy za⋅ zb=Azz xa
Z Z′
ψ
θ
ϕ ϕ ψ
Y′″
θ Y″
y
Y′
Y
X
X′
ψ θ ϕ
cos θ sinψ + sin ϕ sin θ cosψ cos ϕ cosψ sin θ sinψ − sin ϕ cos θ cosψ
X″ X′″ x
− cos ϕ sin θ ⎞ ⎟ sin ϕ ⎟ cos ϕ cos θ ⎟ ⎠
2.2.4.5 Euler角的特点 优点
姿态矩阵→3-1-2 Euler角
ψ = arctg(-A22/A21) ϕ = arcsin (A23) θ = arctg(-A13/A33)
2.2.5 Euler四元素式姿态描述
四元素的形式 四元素与其它姿态参数的转换 四元素的特点 四元素的运算规则
四元素的形式
为什么要引入四元素描述姿态?
卫星轨道平面为坐标平面； 坐标原点为卫星质心o； ozo轴指向地心(当地垂线)； oxo轴在轨道平面内与ozo轴垂直， 并指向卫星速度方向(oxo轴沿当 地水平面与轨道平面的交线，并 指向卫星前进方向)； oyo轴垂直于轨道平面，并与oxo、 ozo构成右手正交坐标系。 特点： oyo轴在空间指向不变，而 其它轴以轨道速度旋转。
AAT=E |A|=1 Va=AVb
相继姿态运动的方向余弦阵具有中间脚标的吸收性质
缺点：不直观，缺乏明显的几何图象概念，使用不方便
2.2.3 Euler轴/角式姿态描述
用Euler轴/角描述姿态的理论依据 Euler轴/角的形式及性质 Euler轴/角与方向余弦阵的转换 主旋转矩阵
用Euler轴/角描述姿态的理论依据