量纲分析与相似原理流体力学

FD ( , V , d , )
阻力 密度 速度 直径 粘度系数 第2步、选择包含不同基本量纲的物理量为基本量（或称为
重复量，取3个）。
选ρ 、V 、d 第3步、将其余的物理量作为导出量，分别与基本量的幂次式
组成П表达式。
导出量即 FD 、μ
B5.2.2 量纲分析法(4-2)
1
V a1
d b1
Π1
FD
V 2d 2
CD
（CD 称为阻力系数）
M0L0T0 = (ML-3 )a2 (LT-1)b2 Lc 2 (ML -1T-1)
B5.2.2 量纲分析法(4-3)
M：a2 1 0 L： 3a2 b2 c2 1 0 T： b2 1 0
解得: a 2 = -1, b 2 = -1, c 2 = -1
B5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性(5-2)
常用量 速度，加速度 体积流量，质量流量 密度，重度 力，力矩 压强，压力，弹性模量
粘度，运动粘度
dimV LT1
dim g LT2
dimQ L3T1
dim m MT1
dim ML3 dim F MLT2
dim ML2T2 dim L ML2T2
B5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性(5-4)
2. 量纲齐次性原理 同一方程中各项的量纲必须相同。用基本量纲的幂次式表示时， 每个基本量纲的幂次应相等，称为量纲齐次性。 单位体积流体伯努利方程
1 v2 gz p 常数 （沿流线）
2
dim
1 2
v
2
ML3
LT1 2 ML－1T－2
dim ( gz) (ML－3)(LT－2 )L ML－1T－2
Π定理
充要条件 方法
n个物理量
r个独立 基本量
选r个独立 基本量
n-r个导出量
组成n-r个 独立Π数
量纲分析方法等
x1 =φ(x 2，x 3, ……, x n ) П1 = f (П2, П3, ……, Пn-r )
B5.2.2 量纲分析法(4-1)
B5.2.2 量纲分析法 1. 一般步骤：以圆柱绕流为例 第1步、列举所有相关的物理量。
量纲分析概念 一个方程中各项的量纲必须齐次； 一个流动过程中各物理量在量纲上存在相互制约关系，可以
按量纲齐次性原理作分析。
类比：角色分析
B5.2.1 П定理
B5.2.1 П定理
提议用量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理论基 础的是布金汉（E.Buckingham,1914):
强降低与相关物理量的关系。 解：
1．列举物理量。Δp，V，d，ε，ρ，μ，l，共7个
p (,V , d, ,, l)
2．选择基本量：ρ、V、d
3．列П表达式求解П数
① П1=ρa V bd cΔp
M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T – 1 )b L c (M L –1 T – 2 )
dim p ML－1T－2
dim(常数) ML－1T－2
B5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性(5-5)
3. 物理方程的无量纲化
忽略重力的伯努利方程
1 2
v2
p
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1 2
v02
p0
（沿流线）
无量纲化伯努利方程
Cp
p p0
1 2
ρv02
1( v v0
)2
（沿流线）
• 在无粘性圆柱绕流中
柱面上： 前后驻点 上下侧点
v 0 , Cp 1 v 2v0 , Cp 3
p0,v0 A
C
·
a
B
其他点 vθ 2v0 sin , Cp 1 4sin2θ
·
D
柱面外：流场中Cp 还与无量纲半径 r/a 有关
• 以上结果对任何大小的来流速度，任何大小的圆柱都适用。
B5.2 量纲分析与П定理
B5.2 量纲分析与П定理
量纲分析法主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对 有关的物理量作量纲幂次分析，将它们组合成无量纲形式的 组合量，用无量纲参数之间的关系代替有量纲的物理量之间 的关系，揭示物理量之间在量纲上的内在联系，降低变量数 目，用于指导理论分析和实验研究。
[例B5.2.1]粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤 (4-3)
2
Vd
1 Re
（Re为雷诺数）
第5步、用П数组成新的方程。
П1 = f (П2 )
CD
FD
V 2d2
f
(Re)
FD V 2d 2 f (Re)
B5.2.2 量纲分析法(4-4)
2. 量纲分析优点
FD ( ,V , d, )
FD
FD
FD
FD
V
d
CD f Re
CD
Re
[例B5.2.1] 粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤(4-1) 不可压缩牛顿粘性流体在内壁粗糙的直圆管中作定常流动，分析压
dim Ix dim Ixy L4 dim I MLT1
dim L ML2T1
dim E dimW dimQ ML2T2
dimW ML2T3
dim MT2
dim cp dim cv L2T21 dim k MLT31
dim s L2T21 dim h dim e L2T2
[例B5.2.1]粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤(4-2)
M: a 1 0
L
:
3a b c 1 0
T : b 2 0
解得： a = -1 , b = -2 , c = 0
Π1
p 1 ρV 2
Eu
2
② П2 =ρa b b c cμ
（欧拉数，1/2是人为加上去的）
M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T –1 ) b L c (M L – 1 T – 1 )
dim p dim dim K ML1T2
dim ML1T1
dim v L2T1
其他量 角速度，角加速度 应变率
dim T1 dim xx dim T1
dim T2
B5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性(5-3)
惯性矩，惯性积 动量，动量矩 能量，功，热 功率 表面张力 比定压（容）热容 导热系数 比熵 比焓，比内能 注： 为温度量纲
F c1 D
2 V d a2 b2 c2
第4步、用量纲幂次式求解每个П表达式中的指数，组成П数。
M0L0T0 = ML-3 a1 LT-1 L b1 c1 MLT-2
M : a1 1 0
L
:
3a1 b1 c1 1 0
T : b1 2 0
解得 a1 = -1 , b1 = -2 , c1= -2