统计学第五章 概率与概率分布

全概公式
（实例）
【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的 次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量 的 25% 、 35% 、 40% ，将它们的产品组合在一起，求任取一 个是次品的概率。 解：设 A1表示“产品来自甲台机床”， A2表示“产品来自 乙台机床”， A3表示“产品来自丙台机床”， B表示“取到 次品”。根据全概公式有
全概公式

设事件A1，A2，…，An 两两互斥， A1+A2+…+ An=（满足这两个条件的事件组称为一个完备事 件组），且P(Ai)>0(i=1,2, …,n)，则对任意事件B， 有 n
P( B) p( Ai ) P( B | Ai )
i 1
我们把事件A1，A2，…，An 看作是引起事件B发 生的所有可能原因，事件B 能且只能在原有A1， A2，…，An 之一发生的条件下发生，求事件B 的 概率就是上面的全概公式
概率的古典定义
（实例）

【例】某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。

从 该公司中随机抽取1人，问： （1）该职工为男性的概率 （2）该职工为炼钢厂职工的概率 某钢铁公司所属企业职工人数
工厂 炼钢厂 炼铁厂 轧钢厂 合计 男职工 4000 3200 900 8500 女职工 1800 1600 600 4000 合计 6200 4800 1500 12500
概率的性质与运算法则
随机事件的几个基本概念
试
1. 2. 3.
验
在相同条件下，对事物或现象所进行的观察
例如：掷一枚骰子，观察其出现的点数 试验具有以下特点
可以在相同的条件下重复进行 每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所 有可能结果在试验之前是确切知道的 在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果
概率的乘法公式
（实例）
【例】设有1000中产品，其中850件是正品，150 件是次品，从中依次抽取 2 件，两件都是次品的 概率是多少？ 解：设 Ai 表示“第 i 次抽到的是次品”(i=1,2) ，所求概率为P(A1A2)
P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) 150 149 0.0224 1000 999
2.
规范性

3.
可加性

概率的加法法则

1.
2.
法则一 两个互斥事件之和的概率，等于两个事件 概率之和。设A和B为两个互斥事件，则 P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) 事件A1，A2，…，An两两互斥，则有 P ( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An )
0.75 0.50 0.25 0.00 0 25 50 75 试验的次数 100
125
概率的古典定义

如果某一随机试验的结果有限，而且
各个结果在每次试验中出现的可能性相 同，则事件A发生的概率为该事件所包含 的基本事件个数 m 与样本空间中所包含 的基本事件个数 n 的比值，记为
事件A所包含的基本事件个数 m P( A) ＝ 样本空间所包含的基本事件个数 n
第五章
概率与概率分布
第五章 概率与概率分布


第一节 概率基础
第二节 随机变量及其分布
学习目标


1.了解随机事件的概念、事件的关系和运算
2.理解概率的定义，掌握概率的性质和运算 法则 理解随机变量及其分布，计算各种分布的概 率
3.
4.
用Excel计算分布的概率
第一节
一.
二.
概率基础
随机事件及其概率
条件概率的图示

事件A 事件B 一旦事件B发生
事件 AB及其 概率P (AB)
事件B及其 概率P (B)
概率的乘法公式
1.
2. 3.
用来计算两事件交的概率 以条件概率的定义为基础 设 A 、 B 为 两 个 事 件 ， 若 P(B)>0 ， 则 P(AB)=P(B)P(A|B) ， 或 P(AB)=P(A)P(B|A)
事件的概率
事件的概率
1.
2. 3. 4.
事件A的概率是对事件A在试验中出现的 可能性大小的一种度量 表示事件A出现可能性大小的数值 事件A的概率表示为P(A) 概率的定义有：古典定义、统计定义和 主观概率定义
事件的概率

例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频 率， 随着投掷次数 n 的增大，出现正面和反面的频 率 正面 /试验次数 稳定在 1.00 1/2左右
P( B) p( Ai ) P( B | Ai )
i 1
3
0.25 0.05 0.35 0.04 0.40 0.02 0.0345
贝叶斯公式
（逆概公式）
1.
2.
与全概公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立 在条件概率的基础上寻找事件发生的原因 设 n 个 事 件 A1 ， A2 ， … ， An 两 两 互 斥 ， A1+A2+…+ An= (满足这两个条件的事件组称为 一个完备事件组)，且P(Ai)>0(i=1,2, …,n)，则
（事件的包含）
若事件A发生必然导致事件B发生， 则 称事件B包含事件A，或事件A包含于事件 B，记作或 A B或 B A

B A
BA
事件的关系和运算
（事件的并或和）
事件A和事件B中至少有一个发生的事件称为 事件A与事件B 的并。它是由属于事件A或事件B 的所有的样本点组成的集合，记为A∪B或A+B

A
B
A∪B
事件的关系和运算
（事件的交或积）
事件A与事件B同时发生的事件称为事件A与事 件B的交，它是由属于事件A也属于事件B的所有 公共样本点所组成的集合，记为B∩A 或AB

A B
A∩B
事件的关系和运算
（互斥事件）
事件A与事件B中，若有一个发生，另一个必定不 发生， 则称事件A与事件B是互斥的，否则称两个事 件是相容的。显然，事件A与事件B互斥的充分必要 条件是事件A与事件B没有公共的样本点
不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用表示

事件与样本空间
1.
基本事件
一个不可能再分的随机事件 例如：掷一枚骰子出现的点数 一个试验中所有基本事件的集合，用表示
2.
样本空间



பைடு நூலகம்
例如：在掷枚骰子的试验中，{1,2,3,4,5,6}
在投掷硬币的试验中，{正面，反面}
事件的关系和运算
事件的概念
1.
事件：随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合)
例如：掷一枚骰子出现的点数为3 例如：掷一枚骰子可能出现的点数 例如：掷一枚骰子出现的点数小于7 例如：掷一枚骰子出现的点数大于6
2.
随机事件：每次试验可能出现也可能不出现的事件

3.
必然事件：每次试验一定出现的事件，用表示

4.
概率的加法法则


法则二 对任意两个随机事件A和B，它们和的 概率为两个事件分别概率的和减去两个 事件交的概率，即
P ( A∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A∩B )
概率的加法法则
（实例）
【例】设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中 有20%读甲报纸，16%读乙报纸，8%两种报纸都 读。问成年人中有百分之几至少读一种报纸。 解：设A＝{读甲报纸}，B＝{读乙报纸}，C＝ {至少读一种报纸}。则
事件的独立性
1.
2. 3. 4.
4.
5.
一个事件的发生与否并不影响另一个事 件发生的概率，则称两个事件独立 若 事 件 A 与 B 独 立 ， 则 P(B|A)=P(B) ， P(A|B)=P(A) 此时概率的乘法公式可简化为 P(AB)=P(B)· P(B) 推广到n个独立事件，有 P(A1 A2 …An)=P(A1)P(A2) … P(An)

A B
A- B
事件的关系和运算
（事件的性质）
1.
2.
2. 3.
设A、B、C为三个事件，则有 交换律：A∪B=B∪A A∩B=B∩A 结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C A(BC) =(AB) C 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
主观概率定义
1.
2.
3.
对一些无法重复的试验，确定其结果的 概率只能根据以往的经验人为确定 概率是一个决策者对某事件是否发生， 根据个人掌握的信息对该事件发生可能 性的判断 例如，我认为 2001 年的中国股市是一个 盘整年
概率的性质与运算法则
概率的性质
1.
非负性
对任意事件A，有 0 P 1 必然事件的概率为 1；不可能事件的概率为 0。 即 P ( ) = 1； P ( ) = 0 若A与B互斥，则P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) 推广到多个两两互斥事件 A1， A2， …， An，有 P ( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An )
事件的独立性
（实例）
【例】某工人同时看管三台机床，每单位时间( 如30分钟) 内 机床不需要看管的概率：甲机床为 0.9 ，乙机床为 0.8 ，丙机 床为0.85。若机床是自动且独立地工作，求
（1）在30分钟内三台机床都不需要看管的概率
（2）在30分钟内甲、乙机床不需要看管，且丙机床需要看 管的概率
概率的加法法则
（实例）
【例】根据钢铁公司职工的例子，随机抽取一 名职工，计算该职工为炼钢厂或轧钢厂职工的 概率 解：用 A 表示“抽中的为炼钢厂职工”这一 事件； B 表示“抽中的为轧钢厂职工”这一事 件。随机抽取一人为炼钢厂或轧钢厂职工的事 件为互斥事件A与B 的和，其发生的概率为 4800 1500 P( A B) P( A) P( B) 0.504 12500 12500

【例】：某工厂为节约用电，规定每天的用电量指 标 为1000度。按照上个月的用电记录，30天中有12天 的 用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节 电 措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率。 解：上个月30天的记录可以看作是重复进行了30 次 P( A) 超过用电指标天数 12 0.4 试验的天数 30 12次。根据 试验，试验 A表示用电超过指标出现了 概
解：设 A1，A2，A3为甲、乙、丙三台机床不需要看管的事 件， A3 为丙机床需要看管的事件，依题意有 (1) P(A1A2A3)= P(A1) P(A2) P(A3)=0.90.80.85=0.612 (2) P(A1A2A3)= P(A1) P(A2) P(A3)
= 0.90.8(1-0.85)=0.108
P ( C ) =P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A∩B ) =0.2 + 0.16 - 0.08 = 0.28
条件概率与独立事件
条件概率

在事件 B已经发生的条件下，求事 件A发生的概率，称这种概率为事件B 发生条件下事件 A 发生的条件概率， 记为 P(AB) P(A|B) = P(B)

A
B
A 与 B互不相容
事件的关系和运算
（事件的逆）
一个事件B与事件A互斥，且它与事件 A的并是 整个样本空间 ，则称事件 B 是事件 A 的逆事件。 它是由样本空间中所有不属于事件A的样本点所组 成的集合，记为A

A
A
事件的关系和运算
（事件的差）
事件A发生但事件B不发生的事件称为事件A 与事件B的差，它是由属于事件A而不属于事件 B的那些样本点构成的集合，记为A-B
概率的古典定义
（计算结果）

解：(1)用A 表示“抽中的职工为男性”这一事件；A 为全公司男职工的集合；基本空间为全公司职工的 集合。则 全公司男性职工人数 8500 P( A) 0.68 全公司职工总人数 12500 (2) 用B 表示“抽中的职工为炼钢厂职工”；B为炼钢 厂 全体职工的集合；基本空间为全体职工的集合。则 炼钢厂职工人数 4800 P( B) 0.384 全公司职工总人数 12500
概率的统计定义

在相同条件下进行n次随机试验，事件
A出现 m 次，则比值 m/n 称为事件A发生 的频率。随着n的增大，该频率围绕某一 常数P上下摆动，且波动的幅度逐渐减小， 取向于稳定，这个频率的稳定值即为事 件A的概率，记为
m P( A) p n
概率的统计定义
（实例）