第4章-电路定理
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④功率不能叠加(功率为电压和电流的乘积，为电源 的二次函数)。 P = UI = (U1 + U2 + U3 + …)(I1 + I2 + I3 +…)=ΣUiIi
⑤含受控源(线性)电路亦可用叠加，但受控源应始 终保留。
例1 试用叠加定理计算图示电路中的U1和I2。
I2
I'2
20
20 20
20 20
i1 ＋6
10V
－
＋10i1－
＋10i'1－
4
＋
6V
－
＋4A i'1 ＋6
－u3
10V
－
4 ＋ 4A
u'3
－
＋10i''1－
6 4 ＋
i''1
＋ u''3
6V
－
－
解 画出分电路图。
u '3 19.6V
6V电压源作用：
i
''1
6
6
4
0.6A
u ''3 10i ''1 6i ''1 9.6V u3 u '3 u ''3 29.2V
一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此电压源的激励电
压等于外电路断开时端口处的开路电压uoc，而电阻等于一端口
内全部独立电源置零后的输入电阻（或等效电阻Req）。
i a
+
Au -b
ia
Req +
uoc
-
b
2. 诺顿定理
任何一个含源线性一端口电路，对外电路来说，可以用一
个电流源和电阻的并联组合来等效置换；电流源的激励电流等
+
0.5
8 – U'' +
0.5
I 1 0.5
– U' + 0.5 0.5
1 0.5
1I 8 – U'' +
0.5 0.5
U ' 1 I 1 1.5 I 0.5 0.1I
2.5
2.5
U '' 1.5 1 I 1 0.075I 2.5 8
U=U'+U"=(0.1-0.075)I=0.025I
+ 0.5A
+
+
U_1
U_'1
U'_'1
20
30 20
30 20
+ 20V _
+ 20V _
I''2 20
0.5A
30
解 20V电压源作用： I '2 0.5A U '1 0.5 20 0.4 30 2V
I''2 0.5A 20 20
+
0.5A电流源作用： I ''2 0.25A
U ''1 20// 20 20// 300.5 11V
原因替代前后KCL，KVL关系相同，其余支路的u、i关系不变。
用uk替代后，其余支路电压不变(KVL)，其余支路电流也不变， 故第k条支路ik也不变(KCL)。用ik替代后，其余支路电流不变
(KCL)，其余支路电压不变，故第k条支路uk也不变(KVL)。
注意
① 替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。
P 7015 1050W
例7 计算电压u。
3A ＋－
解 画出分电路图
6 3
u
－
＋
1
3A电流源作用：
6V
u(1) (6 // 3 1) 3 9V
＋
12V －
2A
其余电源作用： i(2) (6 12) /(6 3) 2A
u(2) 6i(2) 6 21 8V
u u(1) u(2) 9 8 17V
i 2 (1) 1A
§4-2 替代定理
1.替代定理
对于给定的任意一个电路，如已求得NA、NB两个 一端口网络连接端口的电压up、电流ip，那么就可以 用一个 uS = up 的电压源或一个 iS = ip 的电流源来替代 其中一个网络，而使另一个网络的内部电压、电流均
维持不变。
a ip
+
NA up
说明：叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用， 也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。
例4 封装好的电路如图，已知下列实验数据：
若uS 1V, iS 1A 则 i 2A
研究激
若 uS 1V, iS 2A 则 i 1A
求 uS 3V, iS 5A ， i ？
励和响 应关系 的实验
–
NB
d
+
NA up
–
ip
+
uS NA
–
is
对于给定的任意一个电路，若某一支路电压为uk、 电流为ik，那么这条支路就可以用一个电压等于uk的 独立电压源或用一个电流等于ik的独立电流源来替代， 替代后电路中全部电压和电流均保持原有值。
ik + 支 路 uk k –
+
ik +
uk –
ik
uk R=uk/ik –
② 替代后电路必须有唯一解。
无电压源回路 无电流源结点
③ 替代后其余支路及 参数不能改变。
22..55AA ＋＋ 22 ＋ ＋
1100VV 55VV
？
1A + 5V5
－－
－ － 1？.5A －
例1 用多大电阻替代2V电压源而不影响电路的工作。
3A
4
I
0.5A
2 1 + 2V －
＋ 2 4V
－
+ 2V － 10 10 2
用结点法：
c
44
RR IRI++
aa
uC
1A
320＋V3V
22
－ 88
2200VV bb
－－ I1
1 1 1 20
a
( 2
4)ua
4
1
ua ub 8V
I1 1A
uR uC ub 20 8 12V
IR I1 1 2A
R 12 6Ω 2
例3 求电流I1
解 用替代：
3
6
5 1
6
I1 4 +
3A
＋－
6 i (2)
＋ u(1)
6 3
1
－
6V
＋
3＋u(2) － ＋
12V －
1 2A
例8 计算电压u、电流i。
i（＋1）
i 2 ＋ 10V －
1 ＋ 5A
10V
＋u
－
2i －
－
受控源 始终保留
2 1 ＋ ＋ u（1） 2i(1) － －
＋
解 画出分电路图
2 1 ＋ 5A
10V电源作用：
i (2)
+
2 ＋
6V 3V
7V
–
－
－
4A
4 I1
2
＋
7V
－
4A
7 2 4 15 I1 6 2 4 6 2.5A
例4 已知: uab=0, 求电阻R。
解 uab 0
iab icd 0
用开路替代
ubd 20 0.5 10V
用短路替代
uac 10V
uR 20 1 10 30V
iR
42 30 4
于一端口的短路电流iSc，电阻等于一端口中全部独立电源置零 后的输入电阻（或等效电阻Req） 。
a i+
Au -b
a
I1
＋ 5
3A 4
＋
25V
20
U
－
－
用结点电压法
o
1'
uao
1 5
1 20
1 4
25 5
3
U 4
uao
16
U 2
由 I uao U
4
U 32 8I
I 4U 8
＋ 8 I ＋1
4A
32V
U
－
－ 1'
I ＋1
8 U
－
1'
1. 戴维宁定理
任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可以用
i '4=1.1A
+
R6
22V 20
i '5=1A
+
20V
–
20 –
20 –
解 采用倒推法：设 i5=i'5=1A
K 120 / 33.02 3.63
则 i1=K i'1=12.38A i2=K i'2=4.76A
i3=K i'3=7.62A i4=K i'4=3.99A i5=K i'5=3.63A
解 根据叠加定理 i k1iS k2uS
代入实验数据：
uS ＋
方法
－
k1 k2 2
k1 1
2k1 k2 1
k2 1
i uS iS 3 5 2A
iS 无源 线性 i
网络
4.齐性原理 线性电路中，所有激励(独立源)都增大(或减小)
同样的倍数，则电路中响应(电压或电流)也增大(或减 小)同样的倍数。
I2 I '2 I ''2 0.75A U1 U '1U ''1 9V
_U''1
20 30
例2 试用叠加定理计算图示电路中的u3。
＋10i1－
＋10i'1－
＋10i''－1
i1 ＋6 i2 ＋ 4A i'1 ＋6 i'2
＋ 6 i''2 ＋ 4A
10V 4 u3
－
－
10V 4 u'3 4
－
＋ u(2)
i(1) (10 2i(1) ) /(2 1)
i(1) 2A
u(1) 1 i(1) 2i(1) 3i(1) 6V
2i (2) －
－
5A电源作用： 2i(2) 1 (5 i(2) ) 2i(2) 0
i(2) 1A
u(2) 2i(2) 2 (1) 2V
u 6 2 8V
R1
+ u1 – +
us –
i2 is R2
R1
+ u'1 – i'2
+ us
R2
–
R1 + u''1 – i''2 is
R2
R1
R1
R1
+ u1 – +
us
i2 is R2
=
+ u'1 –
+ us
R2
i'2 +
+ u''1 – i''2 is R2
–
–
uS R1(i2 iS ) R2i2
i2
第4章 电路定理
本章重点
4.1 叠加定理 4.2 替代定理 4.3 戴维宁定理和诺顿定理 4.4 最大功率传输定理
重点:
熟练掌握本章各定理的内容、适用范围及 如何应用。
§4-1 叠加定理
1.叠加定理
在线性电路中，某处电压(或电流) 是 电路中各个独立电源单独作用时，在 该处产生的电压(或电流)的叠加。
1
2A
R uR 30 15Ω
iR 2
4 ＋
42V －
ab 60 25
30 20 R 10 1A 40
cd
0.5A
例5
若使
Ix
1 8
I,
试求Rx
解 用替代：
3I ＋ 10V
1
1
1
I
Ix0.5R0x .5
8
0.5
– U+
－0.5I
0.50.5
I 1 0.5
1 1 I
0.5
=
– U' + 0.5 0.5
＋
I1
10V 5 2
－
解 应求电流I，先化简电路。 应用结点法得：
1 1 1 10 2
( 2 2 5)un1
2
6 2
I1 (5 2) / 2 1.5A
R 2 /1 2Ω
un1 6 /1.2 5V I 1.5 0.5 1A
例2 已知:uab=0, 求电阻R
解 用替代：
uab 3I 3 0 I 1A
u1
uS 0
2.一般情况
当电路中有 g 个电压源和 h 个电流源时，任意一 处电压 uf 或电流 if 都可写成以下形式：
u f k f 1us1 k f 2us2 k fgusg K f 1is1 K f 2is2
g
h
k u fm sm K ifm sm
m1
m1
K ifh sh
显然，当激励只有一个时，则响应与激励成正比。
例5 求图示梯形电路中各支路的电流。
+ us
120V
–
i '1=3.41A
i '3=2.1A
i1 R1 2 i3 R3 2
R5 2 i5
+6.82V – i2
+
33.02V
–
R2
+ 4.2V – i '2=1.31A i4 +
26.2V R4
+ 2V –
if k ' f 1 us1 k ' f 2 us2 k ' fg usg K ' f 1 is1 K ' f 2 is2
g
h
k ' fm usm K ' fm ism
m1
m1
K ' fh ish
3. 使用叠加定理时应注意以下几点 ①叠加定理只适用于线性电路。 ②一个电源作用，其余电源为零 电压源为零 — 短路。 电流源为零 — 开路。 ③ u, i叠加时要注意各分量的参考方向。
2. 定理的证明
a ip
+
NA
up –
NB
d
+
+
NA
up –
us –
a
+ upS –
upS
b– +
c
+
NA up
–
NB 证毕!
d
例
i1
i3
可求得
6 i2
＋
4
＋
8 u3 ＋
u3=8V i3=1A
20V
－
－
4V
－
i2=1A
i1=2A
i1
i3
i1
6 i2
＋
6 i2
＋
8
8V
＋
8
20V
－
20V
1A
－
－
Leabharlann Baidu
替代后各支路电压和电流完全不变。
Rx=U/0.125I=0.025I/0.125I=0.2
§4-3 戴维宁定理和诺顿定理
工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的电 压、电流或功率的问题。对所研究的支路来说，电 路的其余部分就成为一个有源二端网络，可等效变 换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联或电流 源与电阻并联支路), 使分析和计算简化。戴维宁定 理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方 法。
例6 求电压源的电流及功率。
2A 4 I (1) 10
2A
4
70V 10 +－
2
5
2
I
5
＋
解 画出分电路图 2A电流源作用，电桥平衡 I (1) 0 70V电压源作用：
4
70V +
－
10
2 I (2） 5
I (2) 70 /14 70 / 7 15A
I I (1) I (2) 15A
uS R1 R2
R1iS R1 R2
u1
R1uS R1 R2
R1R2iS R1 R2
i2 i '2 i ''2 u1 u '1 u ''1
i '2
uS R1 R2
i2 iS 0
i ''2
R1iS R1 R2
i2
uS 0
u '1
R1uS R1 R2
u1 iS 0
u
''1
R1R2iS R1 R2
－ i''1
u''3
－
解 画出分电路图。
10V电压源作用： i '1 i '2 1A
受控源始终保留
u '3 10i '1 4i '2 6V
控制量作了相应变化
4A电流源作用：i
''1
6
4
4
4
1.6A
i ''2
6 6
4
4
2.4A
u ''3 10i ''1 6i ''1 25.6V
u3 u '3 u ''3 19.6V
⑤含受控源(线性)电路亦可用叠加，但受控源应始 终保留。
例1 试用叠加定理计算图示电路中的U1和I2。
I2
I'2
20
20 20
20 20
i1 ＋6
10V
－
＋10i1－
＋10i'1－
4
＋
6V
－
＋4A i'1 ＋6
－u3
10V
－
4 ＋ 4A
u'3
－
＋10i''1－
6 4 ＋
i''1
＋ u''3
6V
－
－
解 画出分电路图。
u '3 19.6V
6V电压源作用：
i
''1
6
6
4
0.6A
u ''3 10i ''1 6i ''1 9.6V u3 u '3 u ''3 29.2V
一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此电压源的激励电
压等于外电路断开时端口处的开路电压uoc，而电阻等于一端口
内全部独立电源置零后的输入电阻（或等效电阻Req）。
i a
+
Au -b
ia
Req +
uoc
-
b
2. 诺顿定理
任何一个含源线性一端口电路，对外电路来说，可以用一
个电流源和电阻的并联组合来等效置换；电流源的激励电流等
+
0.5
8 – U'' +
0.5
I 1 0.5
– U' + 0.5 0.5
1 0.5
1I 8 – U'' +
0.5 0.5
U ' 1 I 1 1.5 I 0.5 0.1I
2.5
2.5
U '' 1.5 1 I 1 0.075I 2.5 8
U=U'+U"=(0.1-0.075)I=0.025I
+ 0.5A
+
+
U_1
U_'1
U'_'1
20
30 20
30 20
+ 20V _
+ 20V _
I''2 20
0.5A
30
解 20V电压源作用： I '2 0.5A U '1 0.5 20 0.4 30 2V
I''2 0.5A 20 20
+
0.5A电流源作用： I ''2 0.25A
U ''1 20// 20 20// 300.5 11V
原因替代前后KCL，KVL关系相同，其余支路的u、i关系不变。
用uk替代后，其余支路电压不变(KVL)，其余支路电流也不变， 故第k条支路ik也不变(KCL)。用ik替代后，其余支路电流不变
(KCL)，其余支路电压不变，故第k条支路uk也不变(KVL)。
注意
① 替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。
P 7015 1050W
例7 计算电压u。
3A ＋－
解 画出分电路图
6 3
u
－
＋
1
3A电流源作用：
6V
u(1) (6 // 3 1) 3 9V
＋
12V －
2A
其余电源作用： i(2) (6 12) /(6 3) 2A
u(2) 6i(2) 6 21 8V
u u(1) u(2) 9 8 17V
i 2 (1) 1A
§4-2 替代定理
1.替代定理
对于给定的任意一个电路，如已求得NA、NB两个 一端口网络连接端口的电压up、电流ip，那么就可以 用一个 uS = up 的电压源或一个 iS = ip 的电流源来替代 其中一个网络，而使另一个网络的内部电压、电流均
维持不变。
a ip
+
NA up
说明：叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用， 也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。
例4 封装好的电路如图，已知下列实验数据：
若uS 1V, iS 1A 则 i 2A
研究激
若 uS 1V, iS 2A 则 i 1A
求 uS 3V, iS 5A ， i ？
励和响 应关系 的实验
–
NB
d
+
NA up
–
ip
+
uS NA
–
is
对于给定的任意一个电路，若某一支路电压为uk、 电流为ik，那么这条支路就可以用一个电压等于uk的 独立电压源或用一个电流等于ik的独立电流源来替代， 替代后电路中全部电压和电流均保持原有值。
ik + 支 路 uk k –
+
ik +
uk –
ik
uk R=uk/ik –
② 替代后电路必须有唯一解。
无电压源回路 无电流源结点
③ 替代后其余支路及 参数不能改变。
22..55AA ＋＋ 22 ＋ ＋
1100VV 55VV
？
1A + 5V5
－－
－ － 1？.5A －
例1 用多大电阻替代2V电压源而不影响电路的工作。
3A
4
I
0.5A
2 1 + 2V －
＋ 2 4V
－
+ 2V － 10 10 2
用结点法：
c
44
RR IRI++
aa
uC
1A
320＋V3V
22
－ 88
2200VV bb
－－ I1
1 1 1 20
a
( 2
4)ua
4
1
ua ub 8V
I1 1A
uR uC ub 20 8 12V
IR I1 1 2A
R 12 6Ω 2
例3 求电流I1
解 用替代：
3
6
5 1
6
I1 4 +
3A
＋－
6 i (2)
＋ u(1)
6 3
1
－
6V
＋
3＋u(2) － ＋
12V －
1 2A
例8 计算电压u、电流i。
i（＋1）
i 2 ＋ 10V －
1 ＋ 5A
10V
＋u
－
2i －
－
受控源 始终保留
2 1 ＋ ＋ u（1） 2i(1) － －
＋
解 画出分电路图
2 1 ＋ 5A
10V电源作用：
i (2)
+
2 ＋
6V 3V
7V
–
－
－
4A
4 I1
2
＋
7V
－
4A
7 2 4 15 I1 6 2 4 6 2.5A
例4 已知: uab=0, 求电阻R。
解 uab 0
iab icd 0
用开路替代
ubd 20 0.5 10V
用短路替代
uac 10V
uR 20 1 10 30V
iR
42 30 4
于一端口的短路电流iSc，电阻等于一端口中全部独立电源置零 后的输入电阻（或等效电阻Req） 。
a i+
Au -b
a
I1
＋ 5
3A 4
＋
25V
20
U
－
－
用结点电压法
o
1'
uao
1 5
1 20
1 4
25 5
3
U 4
uao
16
U 2
由 I uao U
4
U 32 8I
I 4U 8
＋ 8 I ＋1
4A
32V
U
－
－ 1'
I ＋1
8 U
－
1'
1. 戴维宁定理
任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可以用
i '4=1.1A
+
R6
22V 20
i '5=1A
+
20V
–
20 –
20 –
解 采用倒推法：设 i5=i'5=1A
K 120 / 33.02 3.63
则 i1=K i'1=12.38A i2=K i'2=4.76A
i3=K i'3=7.62A i4=K i'4=3.99A i5=K i'5=3.63A
解 根据叠加定理 i k1iS k2uS
代入实验数据：
uS ＋
方法
－
k1 k2 2
k1 1
2k1 k2 1
k2 1
i uS iS 3 5 2A
iS 无源 线性 i
网络
4.齐性原理 线性电路中，所有激励(独立源)都增大(或减小)
同样的倍数，则电路中响应(电压或电流)也增大(或减 小)同样的倍数。
I2 I '2 I ''2 0.75A U1 U '1U ''1 9V
_U''1
20 30
例2 试用叠加定理计算图示电路中的u3。
＋10i1－
＋10i'1－
＋10i''－1
i1 ＋6 i2 ＋ 4A i'1 ＋6 i'2
＋ 6 i''2 ＋ 4A
10V 4 u3
－
－
10V 4 u'3 4
－
＋ u(2)
i(1) (10 2i(1) ) /(2 1)
i(1) 2A
u(1) 1 i(1) 2i(1) 3i(1) 6V
2i (2) －
－
5A电源作用： 2i(2) 1 (5 i(2) ) 2i(2) 0
i(2) 1A
u(2) 2i(2) 2 (1) 2V
u 6 2 8V
R1
+ u1 – +
us –
i2 is R2
R1
+ u'1 – i'2
+ us
R2
–
R1 + u''1 – i''2 is
R2
R1
R1
R1
+ u1 – +
us
i2 is R2
=
+ u'1 –
+ us
R2
i'2 +
+ u''1 – i''2 is R2
–
–
uS R1(i2 iS ) R2i2
i2
第4章 电路定理
本章重点
4.1 叠加定理 4.2 替代定理 4.3 戴维宁定理和诺顿定理 4.4 最大功率传输定理
重点:
熟练掌握本章各定理的内容、适用范围及 如何应用。
§4-1 叠加定理
1.叠加定理
在线性电路中，某处电压(或电流) 是 电路中各个独立电源单独作用时，在 该处产生的电压(或电流)的叠加。
1
2A
R uR 30 15Ω
iR 2
4 ＋
42V －
ab 60 25
30 20 R 10 1A 40
cd
0.5A
例5
若使
Ix
1 8
I,
试求Rx
解 用替代：
3I ＋ 10V
1
1
1
I
Ix0.5R0x .5
8
0.5
– U+
－0.5I
0.50.5
I 1 0.5
1 1 I
0.5
=
– U' + 0.5 0.5
＋
I1
10V 5 2
－
解 应求电流I，先化简电路。 应用结点法得：
1 1 1 10 2
( 2 2 5)un1
2
6 2
I1 (5 2) / 2 1.5A
R 2 /1 2Ω
un1 6 /1.2 5V I 1.5 0.5 1A
例2 已知:uab=0, 求电阻R
解 用替代：
uab 3I 3 0 I 1A
u1
uS 0
2.一般情况
当电路中有 g 个电压源和 h 个电流源时，任意一 处电压 uf 或电流 if 都可写成以下形式：
u f k f 1us1 k f 2us2 k fgusg K f 1is1 K f 2is2
g
h
k u fm sm K ifm sm
m1
m1
K ifh sh
显然，当激励只有一个时，则响应与激励成正比。
例5 求图示梯形电路中各支路的电流。
+ us
120V
–
i '1=3.41A
i '3=2.1A
i1 R1 2 i3 R3 2
R5 2 i5
+6.82V – i2
+
33.02V
–
R2
+ 4.2V – i '2=1.31A i4 +
26.2V R4
+ 2V –
if k ' f 1 us1 k ' f 2 us2 k ' fg usg K ' f 1 is1 K ' f 2 is2
g
h
k ' fm usm K ' fm ism
m1
m1
K ' fh ish
3. 使用叠加定理时应注意以下几点 ①叠加定理只适用于线性电路。 ②一个电源作用，其余电源为零 电压源为零 — 短路。 电流源为零 — 开路。 ③ u, i叠加时要注意各分量的参考方向。
2. 定理的证明
a ip
+
NA
up –
NB
d
+
+
NA
up –
us –
a
+ upS –
upS
b– +
c
+
NA up
–
NB 证毕!
d
例
i1
i3
可求得
6 i2
＋
4
＋
8 u3 ＋
u3=8V i3=1A
20V
－
－
4V
－
i2=1A
i1=2A
i1
i3
i1
6 i2
＋
6 i2
＋
8
8V
＋
8
20V
－
20V
1A
－
－
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替代后各支路电压和电流完全不变。
Rx=U/0.125I=0.025I/0.125I=0.2
§4-3 戴维宁定理和诺顿定理
工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的电 压、电流或功率的问题。对所研究的支路来说，电 路的其余部分就成为一个有源二端网络，可等效变 换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联或电流 源与电阻并联支路), 使分析和计算简化。戴维宁定 理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方 法。
例6 求电压源的电流及功率。
2A 4 I (1) 10
2A
4
70V 10 +－
2
5
2
I
5
＋
解 画出分电路图 2A电流源作用，电桥平衡 I (1) 0 70V电压源作用：
4
70V +
－
10
2 I (2） 5
I (2) 70 /14 70 / 7 15A
I I (1) I (2) 15A
uS R1 R2
R1iS R1 R2
u1
R1uS R1 R2
R1R2iS R1 R2
i2 i '2 i ''2 u1 u '1 u ''1
i '2
uS R1 R2
i2 iS 0
i ''2
R1iS R1 R2
i2
uS 0
u '1
R1uS R1 R2
u1 iS 0
u
''1
R1R2iS R1 R2
－ i''1
u''3
－
解 画出分电路图。
10V电压源作用： i '1 i '2 1A
受控源始终保留
u '3 10i '1 4i '2 6V
控制量作了相应变化
4A电流源作用：i
''1
6
4
4
4
1.6A
i ''2
6 6
4
4
2.4A
u ''3 10i ''1 6i ''1 25.6V
u3 u '3 u ''3 19.6V