多维随机向量及其分布

表 3.1.2
Y X
1
2
3
4
1
1/ 4 0
0
0
2
1/8 1/8 0
0
3
1/12 1/12 1/12 0
4
1/16 1/16 1/16 1/16
例3.1.3 二维随机变量(X,Y)的联合概率 0.1
0
0.1 0.2 0.1
1
a 0.2 0.05
解:(1)由∑pij=1得: a=0.1;
结
求:(1)常数a的取值; 合
下
(2)P(X≥0,Y≤1); 页
概
(3) P(X≤1,Y≤1) 率
分
布
图
(2)由P{(X,Y)∈D } = pij ,得 P(X≥0,Y≤1)= P(X=0,Y=0)+
( xi , y j )D
P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.2+0.1+0.2 =0.6
第3章 多维随机向量及其分布
n 维随机向量：
称同一个样本空间 上的 n 个随机变量 X1 , X 2 , , X n 构成 的 n 维向量 ( X 1 , X 2 , , X n ) 为 上的 n 维随机变量或 n 维随
机向量。
以下主要研究二维离散型及连续型随机向量的情形。
§3.1 二维随机变量
称pij=P(X=xi,Y=yj),(i,j=1,2,...,)为(X,Y)的概率分布, 其中 E={(xi,yj),i,j=1,2,...}为(X,Y)的取值集合, 表格形式如下:
Y X x1 x2 …
xi …
y1 y2 … y j … 联合概率分布性质:
p11 p21
p12 … p1j … p22 … p2j …
1、联合分布函数：
定义： 设 ( X,Y ) 是二维随机变量，二元实函数 F ( x , y) P{( X x) (Y y)} P{ X x , Y y} 称为二维随机变量 ( X , Y ) 的分布函数，或称为随机变量 X 与 Y 的联合分布函数。
二维联合分布函数区域演示图: Y
y
P(X≤1,Y≤1}
-1
0
P{X≥0,Y≤1}
1
X
4、二维连续型随机变量
（1）定义： 若存在非负可积函数 f ( x, y) ，使对任意的 x, y ， 二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数都可表示为：
yx
F ( x, y) =
f (u, v)dudv ，
则称 ( X ,Y ) 是连续型的，而 f ( x, y) 称为( X ,Y ) 的概率密度，
① pij≥0 ;i,j=1,2,…
… … … … … ②∑∑pij = 1;
pi1 …
pi2 … p i j …
… … … … ③P{(X,Y)∈D } =
pij
( xi , y j )D
例3.1.1.将一枚均匀的硬币抛掷4次,X表示正面向上的 次数,Y表示反面朝上次数,求(X,Y)的联合概率分布.
P(X=3,Y=1)=C
3 4
0.5
3
0.5
1
=1/4
P(X=4,Y=0)= 0.54=1/16
联合概率分布表为:
Y0 1 2 3 4 X 0 0 0 0 0 1/16 1 0 0 0 1/4 0 2 0 0 6/16 0 0 3 0 1/4 0 0 0 4 1/16 0 0 0 0
二维离散型随机变量联合概率分布确定方法:
(x , y)
{ X≤x , Y≤y } x
X
2、分布函数 F( x, y) 的基本性质：
（1） F( x, y) 分别是 x 与 y 的单调不减函数，即 当 x1 x2 时, F ( x1, y) F ( x2 , y) ；
当 y1 y2 时, F ( x , y1 ) F ( x, y2 ) 。
解:X的所有可能取值为0,1,2,3,4, Y的所有可能取值为0,1,2,3,4, 因为X+Y=4, 所以, (X,Y) 概率非零的数值对为:
P(X=0,Y=4)= 0.54=1/16
P(X=1,Y=3)=
C
1 4
0.5
0.5
3
=1/4
P(X=2,Y=2)= C42 0.52 0.52 =6/16
(3)P(X≤1,Y≤1) =P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0)
+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =0.75
二维联合概率分布区域图:
Y 2
XY 0 1
2
-1 0.05 0.1 0.1
0
0.1 0.2 0.1
1
a 0.2 0.05
1
（2）0 F(x, y) 1 ，而且 F(, y) F(x,) F(,) 0, F(,) 1 。
（3） F(x, y) 分别关于 x 和 y 右连续，即 F(x, y) F(x 0, y) F(x, y 0) 。
（4）当 x1 x2 , y1 y2 时，有
0 P{x1 X x2; y1 Y y2 } F( x2 , y2 ) F( x2 , y1 ) F( x1, y2 ) F( x1, y1 )
或称为 X 与Y 的联合概率密度。
（2）性质:
(1) f(x,y)≥0 ，(x,y)∈R2
或
f ( x, y)dxdy 1
1.找出随机变量X和Y的所有取值结果,得到(X,Y)的所 有取值数对; 2.利用古典概型或概率的性质计算每个数值对的概率; 3.列出联合概率分布表.
例 3.1.2 设随机变量 X 在1,2,3,4 这四个整数中等可能地取值， 另一个随机变量Y 在1 ~ X 中等可能地取一整数值。试求 ( X ,Y ) 的分布律。
解 易知 ( X ,Y ) 的全部可能值为：(i, j), 1 i 4,1 j i 。由 乘法公式，得 ( X ,Y ) 的分布律为
pij = P { X= i,Y= j } = P{Y= j | X= i }P{ X= i }
= 1 1 1 (1 j i 4) i 4 4i
其表格形式为
Y
y2
(x2,y2)
（x1,y1）
y1
X
x1
x2
3、二维离散型随机向量
（1）定义：如果二维随机向量（X,Y）的全部取值(数对）为有限 个或至多可列个，则称随机向量（X,Y）为离散型的。
易见，二维随机向量(X,Y)为离散型的等价于它的每个分量 X与 Y 分别都是一维离散型的。
（2）联合概率分布及其性质