【信息光学课件】第三章 光学成像系统的传递函数 PDF版

x +y exp( jk ) 2d 0
2 0 2 0
jk x + y ≈ exp( ) 2 2d 0 M
2 i 2 i
1 h( x0 , y0 ; xi , yi ) = 2 p ( x , y ) ∫ ∫ λ d 0 d i −∞ xi x0 yi y 0 exp− jk[( + ) x + ( + ) y ] dxdy di d0 di d0
+∞
~ ~ ~ ~ δ ( xi − x0 , yi − y0 ) dx0 dy0
~ x0 ∫ −∫∞U 0 ( M
2 i
~ y0 2 2ຫໍສະໝຸດ Baidu, )kλ d i M
kλ d = 2 M
2
2 +∞ i
~ y0 , δ ) ( xi M
~ ~ ~ − x0 , yi − y0 ) d~ x0 dy0
kλ d = 2 M
=
M
~ ~ δ ( xi − x0 , yi − y0 )
这是物点成像为一个像点，即理想成像
=
~ ~ h( xi − x0 , yi − y0 )
+∞
3.1.2衍射受限系统的点扩散函数
不考虑几何相差，只考虑衍射限制 入射光瞳：孔径光阑在物空间所成的像称为 入射光瞳，简称入瞳 出射光瞳：孔径光阑在像空间所成的像称为 出射光瞳，简称出瞳 关系：满足物像共轭关系 有像差的系统和衍射受限系统
+∞
= =
∫ ∫ U 0 (α , β ) {δ ( x0 − α 0 , y0 − β )} dαdβ
∫ ∫ U 0 (α , β )h( xi − Mα , yi − Mβ ) dαdβ
−∞
+∞
3.2.1
−∞ +∞
~ x0 1 U0 ( = 2∫ ∫ M −∞ M
+∞
~ y0 ~ , ) h( xi − ~ x0 , yi − ~ y0 ) d~ x d y 0 0 M
x ~ y ~ x= ,y = λd i λd i
~ ~ h( xi − x0 , yi − y0 ) =
~ ~ M ∫ ∫ p (λd i x , λd i y )
+∞ −∞
~ ~ ~ ~ exp{− j 2π [( xi − x0 ) x + ( yi − y0 ) y ]}
~ ~ dx dy
2
~ x0 U0 ( M
~ y0 , ) M
~ x0 ~ y0 理想像 U g ( xi , yi )与物 U 0 ( M , M ) 的分布形式 是一样的，只是在 xi , yi方向放大了M倍。
令
~ ~ ~ h ( xi − x0 , yi − y0 ) =
1 ~ ~ h ( x x , y y ) − − 0 0 i i 2 2 kλ d i
3.1相干照明衍射受限系统的点扩散函数 3.1.1透镜的点扩散函数
h( x0 , y0 ; xi , yi ) 表示物平面上 ( x0 , y0 ) 点的单位脉冲 通过成像系统后在像平面上 ( xi , yi )点产生的光场 分布。
( x0 , y0 )
( x, y )
( xi , yi )
d0
di
这就是透镜的点扩散函数表达式，式中 M = d i / d 0
标中，在无限大的区域内
~ ~ λ d 当孔径大小比 i 大的多时，在 x , y 坐
~ ~ p (λd i x , λd i y )
=1
M ∫∫ −∞ ~ ~ ~ ~ ~ exp{− j 2π [( xi − x0 ) x + ( yi − y0 ) y ]} d~ x dy
0
(α , β ) δ ( x0 − α 0 , y0 − β )
dαdβ
物函数通过系统以后所得的像的复振幅分 布 U i ( xi , yi ) ，即
U i ( xi , yi ) =
{U 0 ( x0 , y0 )}
= ∫ ∫ U 0 (α , β )δ ( x0 − α , y0 − β ) dαdβ −∞
2 2
为了书写方便，可略去常 数位相因子
此波通过孔径为 后，复振幅
p ( x, y )
，焦距为f的透镜
dU1′( x0 , y0 ; x, y ) = p ( x, y ) × 2 2 x +y exp(− jk ) dU1 ( x0 , y0 ; x, y ) 2f
从透镜后到像面，光场的传播满足菲 涅耳衍射，于是物平面上的单位脉冲 在观察面上引起的复振幅分布即点扩 散函数可写作
U i ( xi , yi ) =
~ x0 kλ d U0 ( 2 ∫ ∫ M M −∞
2 2 i
+∞
+∞
~ y0 ~ ~ ~ ~ , ) h (x − ~ d x d y x , y − y ) 0 0 i 0 i 0 M
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ = ∫ ∫ U g ( x0 , y0 ) h ( xi − x0 , yi − y0 ) dx0 dy0
~ ~ x0 = Mx0 , y0 = My0
~ x0 U0 ( M ~ y0 ~ ~ , ) 在( x0 , y0 )坐标中的意义。 M
把理想成像的脉冲响应带入上式，用 U g ( xi , yi ) 表示即得
~ x 1 U g ( xi , yi ) = 2 ∫ ∫ U 0 ( 0 M M −∞
将 M = −d i / d 0 带入，则
+∞
+∞ 1 h( x0 , y0 ; xi , yi ) = 2 ∫ −∫∞ p ( x, y ) × λ d0di
2π exp− j [( xi − Mx0 ) x + ( yi − My0 ) y ] dxdy λd i
=
2π ~ ~ exp− j [( xi − x0 ) x + ( yi − y0 ) y ] dxdy λd i
理想系统的脉冲几何响应
3.2相干照明下衍射受限系统的成像规律 相干光：像面上的响应是相干叠加。 非相干光：非相干叠加，是光强叠加 相干照明情况： 设物的复振幅分布为U 0 ( x0 , y0 )，物面上各 点是完全相干的。将物分布用 δ 函数表达 为
U 0 ( x0 , y0 ) =
∫∫U
−∞
+∞
xi x0 yi y 0 exp− jk[( + ) x + ( + ) y ] dxdy di d0 di d0 1 1 1 = 由于 + 于是点扩散函数简化为 di d0 f 2 2
当透镜的孔径比较大时，物面上每一物点 产生的脉冲响应是一个很小的像斑，那么 能够对于像面上 ( xi , yi ) 点产生有意义贡 献的，必定是物面上以几何成像所对应的 以物点为中心的微小区域。在这个区域内 可以近似的认为 ( x0 , y0 )不变，其值与 ( xi , yi ) 点的共轭物坐标 x0 = xi M ，y0 = yi M 相 同，即可做以下近似
−∞
+∞
×
( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 ] exp[ jk 2d 0
dx0 dy0
= =
′ ) + ( y − y0 ′) ( x − x0 exp(ikd 0 ) ] exp[ jk 2d 0 jλ d 0
2 2
′ ) + ( y − y0 ′) ( x − x0 1 ] exp[ jk 2d 0 jλ d 0
2π ~ ~ exp− j [( xi − x0 ) x + ( yi − y0 ) y ] λd i
dxdy
在近轴条件下，透镜成像系统是空不变的。 透镜的脉冲响应函数就等于透镜孔径的夫 ~ ~ x ( , 琅禾费衍射图样。中心位于理想像点 0 y0 ) 处。透镜的孔径的衍射作用明显与否，是 由透镜孔径线度相对于波长 λ 和像距 d i 的比例决定的，为此对孔径平面上的坐标 x,y做如下变换，令
( x0 , y0 )点发出的单位脉冲为 δ ( x0 − x0 ′ , y0 − y0 )
有三个平面， 透镜前dU1 ，透镜后dU1′ ，像面h 利用菲涅耳衍射公式：
′
′
′
dU1 ( x0 , y0 ; x, y )
exp(ikd 0 ) = jλ d 0
′ ′ ( , ) x x y − y δ − 0 0 0 0 ∫∫
1 2 λ d0di
∫ ∫ p ( x, y )
−∞
+∞
~ ~ 式中，x0 = Mx0 , y0 = My0
的形式，即
于是
~ h( x0 , y0 ; xi , yi ) 可以写成h( xi − ~ x0 , yi − y0 )
~ ~ h( xi − x0 , yi − y0 )
+∞ 1 = 2 p ( x, y ) ∫ ∫ λ d 0 d i −∞
第三章 光学成像系统的传递 函数
光学传递系统是信息传递系统。从 物面到像面，输出图像的质量完全 取决于光学系统的传递特性。 几何光学是在空域研究光学系统的 成像规律。
成像质量的评价：星点法，分辨率法 星点法：指检验点光源经过光学系统所产 生的像斑。 由于相差，玻璃材料不均匀 以及加工和装配缺陷等使像斑不规则。很难对 它做出定量的计算和测量。检验着的主管判断 会带入检验结果中。 分辨率法：虽然能定量评价系统分辨景物细 节的能力，但并不能对可分辨范围内的像质好 坏给于全面评价 。
略去包括-1在内的常数位相因子
×
∫ ∫ p ( x, y )
−∞
+∞
k 1 1 1 2 2 exp[ j ( + − )( x + y )] 2 di d0 f
1 xi + yi ) h( x0 , y0 ; xi , yi ) = λ2 d d exp( jk 2d i 0 i 2 2 x0 + y0 +∞ ) ∫ ∫ p ( x, y ) × exp( jk 2d 0 −∞ xi x0 yi y 0 exp− jk[( + ) x + ( + ) y ] dxdy di d0 di d0
=
~ U g ( xi , yi ) ∗ h ( xi , yi )
−∞
3.2.1物理意义：物 U 0 ( x0 , y0 ) 通过衍射受 限系统后的像分布 U i ( xi , yi ) 是 U 0 ( x0 , y0 ) ~ 的理想像点 U g ( xi , yi ) 和点扩散函数h ( xi , yi ) 的卷积。 衍射受限成像系统可看成线性空不变系统。
我们还可以在频域中分析光学系统的成 像质量。 光学系统是线性系统，有时还是线性空 不变系统。用线性系统研究它的性能。 把输入信息分解成各种空间频率分量， 然后考虑这些空间频率分量在通过系统 的传递过程中，丢失、衰减、相位移动 等变化。 也就是研究系统的空间频率传递特性即 传递函数。 这是一种全面评价光学系统成像质量的方法。
y0 x0
光组
yi xi
黑箱
d0
di
衍射受限系统： 当相差很小或者系统的孔径和视场都不大， 边端性质就比较简单，物面上任一点源发出 的发散球面波投射到入瞳上，被光组变换为 出瞳上的会聚球面波 有像差的边端条件，点源发出的发散球面波 投射到入瞳上，被光组变换为出瞳上的透射 波场明显偏离理想球面波 阿贝认为衍射是有限大小的入瞳大小引起的。 瑞利认为衍射效应是有限大小的出瞳引起的。
h( x0 , y0 ; xi , yi ) = k ∫ ∫ p ( x, y )
−∞
+∞
2π exp− j [( xi − Mx0 ) x + ( yi − My0 ) y ] λd i
dxdy
略去积分号前的系数，脉冲响应就是光瞳函数的傅 立叶变换。做坐标变换：
~ ~ 2 2 ~ ~ h( xi − x0 , yi − y0 ) = kλ d i ∫ ∫ p(λd i x , λd i y )
+∞ −∞
~ ~ ~ ~ ~ exp{− j 2π [( xi − x0 ) x + ( yi − y0 ) y ]} d~ x dy
~ 如果光瞳大小比 λd i大的多时，在 ~ x, y 坐标中，在无限大的区域内 p (λd i ~ x , λd i ~ y)
等于1
2 2 ~ ~ ~ ~ = h( xi − x0 , yi − y0 ) kλ d i δ ( xi − x0 , yi − y0 )
exp(ikd i ) +∞ h( x0 , y0 ; xi , yi ) = ∫ ∫ jλ d i −∞
( xi − x) + ( yi − y ) dU1′( x0 , y0 ; x, y ) exp[ jk ] dxdy 2d i
2 2
=
2 2 2 2 1 xi + yi x0 + y0 exp( jk )exp( jk ) 2 λ d0di 2d i 2d 0