第三讲利率期限结构
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中权数等于单个债券市值与组合整体市值的比例. 久期度量利率风险的缺点：由于债券价格—收益率曲线不是直线，而
是一条凸曲线，与代表久期的切线之间除了切点之外都存在偏 差.(pp30)
6.债券的久期和凸度
凸度(convexity)是债券价格对利率变动敏感性的二阶估计：
d P 1 dd P 1 y 1 d 2 P ( d ) 2 y( d ) 3y D * d 1 y C ( d ) 2 y( d ) 3y
（2）当c<y时，新发行的债券价格P小于其面值V，并且随着到期 日临近逐渐趋向其面值.(pp.31)
缺点：假定一只债券的各期收益率相同，与实际不符. –收益率 随时间发生变化。
8.即期利率
即期利率（Spot Interest）：
T
P
ຫໍສະໝຸດ BaiduCt
t1 (1Rt )t
定义：从现在开始的各种期限的零息票债券的到期收益率. 性质：各期收益率随时间变化.
1. 利率概念
本金为a，年利率为r，则n年后总收益b为 1.复利情形：b=a(1+r)n，折现因子为(1+r)-n. 2.连续复利情形：b=aenr，折现因子为e-nr.
2.固定收益证券
1.定义：相对于股票等其他有价证券而言支付收益的时间、 方式特定.
2.要素：付息日和到期日、息票率、付息次数、面值.
更一般地： (1+RT)T=(1+R1)(1+F1,2)(1+F2,3)…(1+FT-1,T) 当即期收益曲线向上倾斜时，有R2>R1,又F1,2=R2+(R2-
R1)，所以F1,2>R2，远期利率曲线高于即期利率曲线.
5.远期利率
令两年期债券价格P等于其面值F，则有y2=c，不失一般 性设P=F=1,由即期利率定价公式有：
1 P cF (1 c )Fy 2 1 y 2 1 R 1 (1 R 2 )2 1 R 1 (1 R 2 )2
解得：( 1 R 2 )2 y 2( 1 1 R R 2 1 )2 ( 1 y 2 ) y 2 ( 1 F 1 ,2 ) ( 1 y 2 )
即：
y2
2R2 2F1,2
PP dy 2 P d 2y P
2
P
若债券年付息k次，则C(年)=C/k2. 当收益率变化较大时，可同时考虑久期和凸度的影响来估算债券
价格的变化。
有效凸度定义(Effective convexity)
Ceff
P 2P0 P 2(R R)2
6.债券的久期和凸度
应用：衡量商业银行的利率风险 (1)原理：商业银行的资产和负债都可以看成是某种债券，例如 存款可以看成是储户购买了银行发行的债券，而贷款又可以看 成是银行购买了借款人发行的债券.
R2
R2
远期利率曲线最高，即期利率曲线居中， YTM曲线最 低。
5.远期利率
应用：预测债券价格 例：某债券面值100，息票率c,还有n年到期，则从现在开始1年后该
债券价格为：
n 100c 100
Pi2(1F1,i)i1(1F1,n)n1
其中，F1,i表示1年后i年期的利率.
6.债券的久期和凸度
3.种类：固定息票、浮动息票（中长期债券 ）、零息债券、
反向浮动票据、年金、永续债券. 4.债券的分解思想：任何一支附息债券都可被分解为一系
列零息债券的组合. 5.基准:
LIBOR (London Inter bank Offered Rate) SHIBOR (Shanghai Inter bank Offered Rate)
利率的期限结构
三次多项式和Svensson模拟结果比较：
0.035 0.03
0.025 0.02
0.015
0.035 0.03
0.025 0.02
0.015
2
4
6
8
2
4
6
8
10
利率的期限结构
总结： 三次多项式优点：计算简单，中、短期的价格拟合精度较高，但
是即期收益率曲线的远端上翘非常严重. N-S及Svensson模型：拟合精度超过了三次样条函数，同时并没
2.3371 2010-02-19
2.66 102.288 3.425
2.4266 2010-08-20
4.71 111.039 4.438
2.6773 2011-08-25
2.48 4.86
2.7 2.7 2.89 2.91 2.93 2.8
99.782 110.704 100.807 101.008 101.264 100.359
6.到期收益率
到期收益率（Yield To Maturity, YTM）：
T
P
Ct
t1 (1 y)t
所谓到期收益，是指将债券持有到偿还期所获得的收益，包括到期的
全部利息。到期收益率又称最终收益率，是投资购买国债的内部收 益率，即可以使投资购买国债获得的未来现金流量的现值等于债券当
前市价的贴现率。
有出现收益率曲线远端上翘的现象，整体平滑性较好，但参数估 计非常复杂.
5.远期利率
远期利率（Forward rate) 定义：从未来某一时刻开始的一定期限的利率。 分析：设一年期和两年期的即期利率分别是R1和R2，一
年后的一年期远期利率是F1,2,则根据无套利原理有公式： (1+R2)2=(1+R1)(1+F1,2)
6.债券的久期和凸度
将
T t Ct 1
D t1 (1y)t P
称为Macaulay久期（ Macaulay Duration). 将
D* 1 DdP1 1y dyP
称为修正久期（Modified Duration). 显然D*表示收益率变动所引起的债券价格变动的百分比. 若债券年付息k次，则D*(年）=D*/k,
4. 零息债券构成的收益率曲线又被称为利率期 限结构。
5.基准利率
基准利率是在整个利率体系中起核心作用并能制约其他利率的基 本利率。
基准利率首先要是一个市场化的利率，有广泛的市场参与性，能 够充分地反映市场供求关系，其次他是一个传导性利率，在整个 利率体系中处于支配地位，关联度强，影响大，最后它要具备一 定的稳定性，便于控制。
应用：确定各期的即期利率，将各次所付利息分别折现求和， 为债券精确定价和估值.
9.利率的期限结构
（静态）利率期限结构定义：即期利率与到期时间的之间的关系 曲线，也称为（即期）收益率曲线.
形状：常见的上升、水平和下降. 移动：由上升到下降的特殊形态常发生于经济过热迫使央行采取
逆向政策操作时. 难点：市场上没有足够多的零息票债券.
计息、付息方式
附息固定、年付 附息固定、年付 附息固定、年付 附息固定、年付 附息固定、年付 附息固定、年付 附息固定、年付 附息固定、年付 附息固定、年付 附息固定、年付 附息固定、年付 附息固定、年付 附息固定、年付 附息固定、年付 附息固定、半年付
年利率
待偿期 到期收益率
(%)
全价（元） （年） (%)
99.92 97.534
4.605 4.69
5.003 5.34
6.458 6.699 6.893
9.03
2.76 2.7419 2.5261
2.86 2.9434 2.9977 2.9959 3.2908
2011-10-25 2011-11-25 2012-03-18 2012-07-19 2013-08-31 2013-11-27 2014-02-06 2016-03-27
3.零息债权
定义：零息债券是指以贴现方式发行，不附息 票，而于到期日时按面值一次性支付本利的债券。 零息债券的特点：
1） 该类债券以低于面值的贴现方式发行，由其发行贴现 率决定债券的利息率； 2） 该类债券的兑付期限固定，到期后将按债券面值还款， 形式上无利息支付问题； 3）该类债券的收益力具有先定性，对于投资者具有一定 的吸引力； 4）该类债券在税收上也具有一定优势，按照许多国家的 法律规定，此类债券可以避免利息所得税。
利率期限结构
理论与应用
1.对应任何一种货币，都会有几种不同的利率 （国债利率，银行同业间的拆借利率，房屋贷款
利率，储蓄利率，最佳客户利率）利率会同时 变动，但是变动的幅度不是正相关的。
2.不能仅仅用数值来描述利率，应该需要一个和 期限相关的函数来表示，比如利率期限结构或 者收益率曲线或者利率曲线
世界上最著名的基准利率有伦敦同业拆放利率（LIBOR）和美国 联邦基准利率。
利率是利息率的简称，是指一定时期内利息的金额与存入或贷出 金额的比率，由资金的供求关系决定。我国的利率分三种：第一， 中国人民银行对商业银行及其他金融机构的存、贷款利率，即基 准利率，又称法定利率；第二，商业银行对企业和个人的存、贷 款利率，称为商业银行利率；第三，金融市场的利率，称为市场 利率。其中，基准利率是核心，它在整个金融市场和利率体系中 处于关键地位，起决定作用，它的变化决定了其他各种利率的变 化。
7.到期收益率
结论： （1）假设债券面值V，息票率c，支付次数T，C1=C2=…=
CT-1=Vc，CT=Vc+V，则当息票率c等于到期收益率y时:
T VyV T -1 VyV
P t 1(1 y )t (1 y )T t 1(1 y )t (1 y )T -1 ... Vy V V 1y 1y
1. 上世纪80年代国外出现了一种新的债券。
2. 它是“零息”的，即没有息票，也不支付利 息。实际上，投资者在购买这种债券时就已 经得到了利息。零息债券的期限普遍较长， 最多可到20年。它以低于面值的贴水方式发 行，投资者在债券到期日可按债券的面值得 到偿付。
3. 例如：一种20年期限的债券，其面值为 20000美元，而它发行时的价格很可能只有 6000美元。
9.利率的期限结构
拟合方法： (1)利息剥离法（Bootstrapping) 原理：从期限最短的零息票债券开始逐步向期限长的债券延伸
(pp.23). 优点：直观、容易理解. 缺点：形成锯齿状曲线，有尖头(Spike)，不能求得任意期限的收
益率.
利率的期限结构
(2)曲线拟合方法 包括：三次多项式 、Nelson & Siegel（1982）、Svensson
它相当于投资者按照当前市场价格购买并且一直持有到满期时可以获 得的年平均收益率。
性质：一支债券在某点时刻YTM值唯一.
YTM 曲线：选择新发行的（On-the-run）的 具有不同到期期限的国债计算其YTM值 ，以 时间为横轴，以YTM为纵轴作曲线.
应用：在YTM曲线上找到某一期限债券的 YTM值，为将要发行的期限特征相似的债券定 价.
到期日
1.75 100.241 0.742
2.028 2007-12-15
2.53 101.942 1.353
2.2975 2008-07-25
4.42 109.082
2.09
1.9271 2009-04-20
2.93 102.324 2.721
2.3523 2009-12-06
2.66 101.104 2.926
久期：衡量债券价格对到期收益率y的敏感程度.
由 对y求导得
P
T t1
Ct (1 y)t
dP T tCt 1 T tCt
dy t1(1 yt )1 1yt1(1y)t
两边除以价格P，得
d dP 1 P y tT 1( t1 C y t 1 ) t 1 1 y [tT 1( 1 t C y )t]P 1 t 1 1 y D
6.债券的久期和凸度
久期的应用：衡量利率风险 例如：某债券初始价格为100元，修正久期为5，现收益率下降1个基
点（即下降0.01%），债券价格的变动值：
d P d D * y 1 ( 0 0 . 0 % 0 1 5 0 . 0 ) 5
有效久期定义(Effective Duration)：
Deff
P P P0(y y)
6.债券的久期和凸度
相关结论： (1)采用连续复利计算时，则D=D*. (2)零息票债券的D等于其期限本身，但是D>D*. (3)息票率越低，则D和D*越小. (4)债券期限越长，则D和D*越大. (5)到期收益率越高，则D和D*越小. (6)债券组合的久期等于该组合中每只债券的久期的加权平均数，其
（1994）. 依据：Weierstrass逼近定理 ，即任意连续函数均可用足够高次的
多项式函数均匀逼近.
表1 2007年3月19日银行间国债市场交易数据
债券简称
05国债14 03国债06 04国债03 02国债15 03国债01 03国债07 04国债07 06国债18 04国债10 02国债01 02国债09 06国债13 06国债20 07国债01 06国债03
是一条凸曲线，与代表久期的切线之间除了切点之外都存在偏 差.(pp30)
6.债券的久期和凸度
凸度(convexity)是债券价格对利率变动敏感性的二阶估计：
d P 1 dd P 1 y 1 d 2 P ( d ) 2 y( d ) 3y D * d 1 y C ( d ) 2 y( d ) 3y
（2）当c<y时，新发行的债券价格P小于其面值V，并且随着到期 日临近逐渐趋向其面值.(pp.31)
缺点：假定一只债券的各期收益率相同，与实际不符. –收益率 随时间发生变化。
8.即期利率
即期利率（Spot Interest）：
T
P
ຫໍສະໝຸດ BaiduCt
t1 (1Rt )t
定义：从现在开始的各种期限的零息票债券的到期收益率. 性质：各期收益率随时间变化.
1. 利率概念
本金为a，年利率为r，则n年后总收益b为 1.复利情形：b=a(1+r)n，折现因子为(1+r)-n. 2.连续复利情形：b=aenr，折现因子为e-nr.
2.固定收益证券
1.定义：相对于股票等其他有价证券而言支付收益的时间、 方式特定.
2.要素：付息日和到期日、息票率、付息次数、面值.
更一般地： (1+RT)T=(1+R1)(1+F1,2)(1+F2,3)…(1+FT-1,T) 当即期收益曲线向上倾斜时，有R2>R1,又F1,2=R2+(R2-
R1)，所以F1,2>R2，远期利率曲线高于即期利率曲线.
5.远期利率
令两年期债券价格P等于其面值F，则有y2=c，不失一般 性设P=F=1,由即期利率定价公式有：
1 P cF (1 c )Fy 2 1 y 2 1 R 1 (1 R 2 )2 1 R 1 (1 R 2 )2
解得：( 1 R 2 )2 y 2( 1 1 R R 2 1 )2 ( 1 y 2 ) y 2 ( 1 F 1 ,2 ) ( 1 y 2 )
即：
y2
2R2 2F1,2
PP dy 2 P d 2y P
2
P
若债券年付息k次，则C(年)=C/k2. 当收益率变化较大时，可同时考虑久期和凸度的影响来估算债券
价格的变化。
有效凸度定义(Effective convexity)
Ceff
P 2P0 P 2(R R)2
6.债券的久期和凸度
应用：衡量商业银行的利率风险 (1)原理：商业银行的资产和负债都可以看成是某种债券，例如 存款可以看成是储户购买了银行发行的债券，而贷款又可以看 成是银行购买了借款人发行的债券.
R2
R2
远期利率曲线最高，即期利率曲线居中， YTM曲线最 低。
5.远期利率
应用：预测债券价格 例：某债券面值100，息票率c,还有n年到期，则从现在开始1年后该
债券价格为：
n 100c 100
Pi2(1F1,i)i1(1F1,n)n1
其中，F1,i表示1年后i年期的利率.
6.债券的久期和凸度
3.种类：固定息票、浮动息票（中长期债券 ）、零息债券、
反向浮动票据、年金、永续债券. 4.债券的分解思想：任何一支附息债券都可被分解为一系
列零息债券的组合. 5.基准:
LIBOR (London Inter bank Offered Rate) SHIBOR (Shanghai Inter bank Offered Rate)
利率的期限结构
三次多项式和Svensson模拟结果比较：
0.035 0.03
0.025 0.02
0.015
0.035 0.03
0.025 0.02
0.015
2
4
6
8
2
4
6
8
10
利率的期限结构
总结： 三次多项式优点：计算简单，中、短期的价格拟合精度较高，但
是即期收益率曲线的远端上翘非常严重. N-S及Svensson模型：拟合精度超过了三次样条函数，同时并没
2.3371 2010-02-19
2.66 102.288 3.425
2.4266 2010-08-20
4.71 111.039 4.438
2.6773 2011-08-25
2.48 4.86
2.7 2.7 2.89 2.91 2.93 2.8
99.782 110.704 100.807 101.008 101.264 100.359
6.到期收益率
到期收益率（Yield To Maturity, YTM）：
T
P
Ct
t1 (1 y)t
所谓到期收益，是指将债券持有到偿还期所获得的收益，包括到期的
全部利息。到期收益率又称最终收益率，是投资购买国债的内部收 益率，即可以使投资购买国债获得的未来现金流量的现值等于债券当
前市价的贴现率。
有出现收益率曲线远端上翘的现象，整体平滑性较好，但参数估 计非常复杂.
5.远期利率
远期利率（Forward rate) 定义：从未来某一时刻开始的一定期限的利率。 分析：设一年期和两年期的即期利率分别是R1和R2，一
年后的一年期远期利率是F1,2,则根据无套利原理有公式： (1+R2)2=(1+R1)(1+F1,2)
6.债券的久期和凸度
将
T t Ct 1
D t1 (1y)t P
称为Macaulay久期（ Macaulay Duration). 将
D* 1 DdP1 1y dyP
称为修正久期（Modified Duration). 显然D*表示收益率变动所引起的债券价格变动的百分比. 若债券年付息k次，则D*(年）=D*/k,
4. 零息债券构成的收益率曲线又被称为利率期 限结构。
5.基准利率
基准利率是在整个利率体系中起核心作用并能制约其他利率的基 本利率。
基准利率首先要是一个市场化的利率，有广泛的市场参与性，能 够充分地反映市场供求关系，其次他是一个传导性利率，在整个 利率体系中处于支配地位，关联度强，影响大，最后它要具备一 定的稳定性，便于控制。
应用：确定各期的即期利率，将各次所付利息分别折现求和， 为债券精确定价和估值.
9.利率的期限结构
（静态）利率期限结构定义：即期利率与到期时间的之间的关系 曲线，也称为（即期）收益率曲线.
形状：常见的上升、水平和下降. 移动：由上升到下降的特殊形态常发生于经济过热迫使央行采取
逆向政策操作时. 难点：市场上没有足够多的零息票债券.
计息、付息方式
附息固定、年付 附息固定、年付 附息固定、年付 附息固定、年付 附息固定、年付 附息固定、年付 附息固定、年付 附息固定、年付 附息固定、年付 附息固定、年付 附息固定、年付 附息固定、年付 附息固定、年付 附息固定、年付 附息固定、半年付
年利率
待偿期 到期收益率
(%)
全价（元） （年） (%)
99.92 97.534
4.605 4.69
5.003 5.34
6.458 6.699 6.893
9.03
2.76 2.7419 2.5261
2.86 2.9434 2.9977 2.9959 3.2908
2011-10-25 2011-11-25 2012-03-18 2012-07-19 2013-08-31 2013-11-27 2014-02-06 2016-03-27
3.零息债权
定义：零息债券是指以贴现方式发行，不附息 票，而于到期日时按面值一次性支付本利的债券。 零息债券的特点：
1） 该类债券以低于面值的贴现方式发行，由其发行贴现 率决定债券的利息率； 2） 该类债券的兑付期限固定，到期后将按债券面值还款， 形式上无利息支付问题； 3）该类债券的收益力具有先定性，对于投资者具有一定 的吸引力； 4）该类债券在税收上也具有一定优势，按照许多国家的 法律规定，此类债券可以避免利息所得税。
利率期限结构
理论与应用
1.对应任何一种货币，都会有几种不同的利率 （国债利率，银行同业间的拆借利率，房屋贷款
利率，储蓄利率，最佳客户利率）利率会同时 变动，但是变动的幅度不是正相关的。
2.不能仅仅用数值来描述利率，应该需要一个和 期限相关的函数来表示，比如利率期限结构或 者收益率曲线或者利率曲线
世界上最著名的基准利率有伦敦同业拆放利率（LIBOR）和美国 联邦基准利率。
利率是利息率的简称，是指一定时期内利息的金额与存入或贷出 金额的比率，由资金的供求关系决定。我国的利率分三种：第一， 中国人民银行对商业银行及其他金融机构的存、贷款利率，即基 准利率，又称法定利率；第二，商业银行对企业和个人的存、贷 款利率，称为商业银行利率；第三，金融市场的利率，称为市场 利率。其中，基准利率是核心，它在整个金融市场和利率体系中 处于关键地位，起决定作用，它的变化决定了其他各种利率的变 化。
7.到期收益率
结论： （1）假设债券面值V，息票率c，支付次数T，C1=C2=…=
CT-1=Vc，CT=Vc+V，则当息票率c等于到期收益率y时:
T VyV T -1 VyV
P t 1(1 y )t (1 y )T t 1(1 y )t (1 y )T -1 ... Vy V V 1y 1y
1. 上世纪80年代国外出现了一种新的债券。
2. 它是“零息”的，即没有息票，也不支付利 息。实际上，投资者在购买这种债券时就已 经得到了利息。零息债券的期限普遍较长， 最多可到20年。它以低于面值的贴水方式发 行，投资者在债券到期日可按债券的面值得 到偿付。
3. 例如：一种20年期限的债券，其面值为 20000美元，而它发行时的价格很可能只有 6000美元。
9.利率的期限结构
拟合方法： (1)利息剥离法（Bootstrapping) 原理：从期限最短的零息票债券开始逐步向期限长的债券延伸
(pp.23). 优点：直观、容易理解. 缺点：形成锯齿状曲线，有尖头(Spike)，不能求得任意期限的收
益率.
利率的期限结构
(2)曲线拟合方法 包括：三次多项式 、Nelson & Siegel（1982）、Svensson
它相当于投资者按照当前市场价格购买并且一直持有到满期时可以获 得的年平均收益率。
性质：一支债券在某点时刻YTM值唯一.
YTM 曲线：选择新发行的（On-the-run）的 具有不同到期期限的国债计算其YTM值 ，以 时间为横轴，以YTM为纵轴作曲线.
应用：在YTM曲线上找到某一期限债券的 YTM值，为将要发行的期限特征相似的债券定 价.
到期日
1.75 100.241 0.742
2.028 2007-12-15
2.53 101.942 1.353
2.2975 2008-07-25
4.42 109.082
2.09
1.9271 2009-04-20
2.93 102.324 2.721
2.3523 2009-12-06
2.66 101.104 2.926
久期：衡量债券价格对到期收益率y的敏感程度.
由 对y求导得
P
T t1
Ct (1 y)t
dP T tCt 1 T tCt
dy t1(1 yt )1 1yt1(1y)t
两边除以价格P，得
d dP 1 P y tT 1( t1 C y t 1 ) t 1 1 y [tT 1( 1 t C y )t]P 1 t 1 1 y D
6.债券的久期和凸度
久期的应用：衡量利率风险 例如：某债券初始价格为100元，修正久期为5，现收益率下降1个基
点（即下降0.01%），债券价格的变动值：
d P d D * y 1 ( 0 0 . 0 % 0 1 5 0 . 0 ) 5
有效久期定义(Effective Duration)：
Deff
P P P0(y y)
6.债券的久期和凸度
相关结论： (1)采用连续复利计算时，则D=D*. (2)零息票债券的D等于其期限本身，但是D>D*. (3)息票率越低，则D和D*越小. (4)债券期限越长，则D和D*越大. (5)到期收益率越高，则D和D*越小. (6)债券组合的久期等于该组合中每只债券的久期的加权平均数，其
（1994）. 依据：Weierstrass逼近定理 ，即任意连续函数均可用足够高次的
多项式函数均匀逼近.
表1 2007年3月19日银行间国债市场交易数据
债券简称
05国债14 03国债06 04国债03 02国债15 03国债01 03国债07 04国债07 06国债18 04国债10 02国债01 02国债09 06国债13 06国债20 07国债01 06国债03