高中数学:第2章 2.2.1 学业分层测评11
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学业分层测评(十一) 一次函数的性质与图象
(建议用时:45分钟)
学业达标]
一、选择题
1.若函数y =ax 2+x b -1+2表示一次函数,则a ,b 的值分别为( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧ a =1,b =1
B.⎩⎪⎨⎪⎧ a =0,b =1
C.⎩
⎪⎨⎪⎧
a =0,
b =2 D.⎩
⎪⎨⎪⎧
a =1,
b =2 【解析】 若函数为一次函数,则有⎩⎪⎨⎪⎧ a =0,b -1=1,即⎩⎪⎨⎪⎧
a =0.
b =2.
【答案】 C
2.一个水池有水60 m 3,现将水池中的水排出,如果排水管每小时排水量为3 m 3,则水池中剩余水量Q 与排水时间t 之间的函数关系是( )
A .Q =60-3t
B .Q =60-3t (0≤t ≤20)
C .Q =60-3t (0≤t <20)
D .Q =60-3t (0<t ≤20)
【解析】 ∵每小时的排水量为3 m 3,t 小时后的排水量为3t m 3,故水池中剩余水量Q =60-3t ,且0≤3t ≤60,即0≤t ≤20.
【答案】 B
3.两条直线y 1=ax +b 与y 2=bx +a 在同一坐标系中的图象可能是下图中的( )
【解析】对于A,y1中a>0,b<0,y2中b<0,a>0,y1和y2中的a、b符号分别相同,故正确;
对于B,y1中a>0,b>0,y2中b<0,a>0,故不正确;
对于C,y1中a>0,b<0,y2中b<0,a<0,故不正确;
对于D,y1中a>0,b>0,y2中b<0,a<0,故不正确.
【答案】 A
4.过点A(-1,2)作直线l,使它在x轴,y轴上的截距相等,则这样的直线有()
A.1条B.2条
C.3条D.4条
【解析】当直线在两个坐标轴上的截距都为0时,点A与坐标原点的连线符合题意,当直线在两坐标轴上的截距相等且都不为0时,只有当直线斜率为-1时符合,这样的直线只有一条,因此共2条.
【答案】 B
5.已知一次函数y=(a-2)x+1的图象不经过第三象限,化简a2-4a+4+a2-6a+9的结果是()
A.2a-5 B.5-2a
C.1 D.5
【解析】∵一次函数y=(a-2)x+1的图象不过第三象限,∴a
-2<0,∴a <2.
∴a 2-4a +4+a 2-6a +9=|a -2|+|a -3| =(2-a )+(3-a ) =5-2a . 故选B. 【答案】 B 二、填空题
6.一次函数f (x )=(1-m )x +2m +3在-2,2]上总取正值,则m 的取值范围是________.
【导学号:97512020】
【解析】 对于一次函数不论是增函数还是减函数,要使函数值
在-2,2]上总取正值,只需⎩
⎪⎨⎪⎧
f (-2)>0,
f (2)>0.
即⎩
⎪⎨⎪⎧
2m -2+2m +3>0,
2-2m +2m +3>0. 解之,得m >-14.
【答案】 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
-14,+∞
7.已知函数y =x +m 的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为25,则m =________.
【解析】 函数与两坐标轴的交点为(0,m ),(-m,0), 则S △=1
2m 2=25, ∴m =±5 2. 【答案】 ±5 2
8.已知关于x 的一次函数y =(m -1)x -2m +3,则当m ∈________
时,函数的图象不经过第二象限.
【解析】 函数的图象不过第二象限,如图.
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
m -1>0,
-2m +3≤0,得⎩
⎨⎧
m >1,
m ≥3
2
,
故m ≥32.
【答案】 ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
32,+∞
三、解答题
9.某航空公司规定乘客所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)由如图2-2-2所示的一次函数确定,求乘客可免费携带行李的最大质量.
图2-2-2 【解】 设题图中的函数解析式为y =kx +b (k ≠0),其中y ≥0. 由题图,知点(40,630)和(50,930)在函数图象上,
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 630=40k +b ,930=50k +b ,得⎩⎪⎨⎪⎧
k =30,
b =-570.
∴函数解析式为y =30x -570. 令y =0,得30x -570=0,解得x =19. ∴乘客可免费携带行李的最大质量为19 kg.
10.已知函数y =(2m -1)x +2-3m ,m 为何值时: (1)这个函数为正比例函数; (2)这个函数为一次函数; (3)函数值y 随x 的增大而减小;
(4)这个函数图象与直线y =x +1的交点在x 轴上.
【导学号:97512021】
【解】 (1)由⎩
⎪⎨⎪⎧
2m -1≠0,
2-3m =0;
得⎩⎪⎨⎪⎧
m ≠12,
m =23.
即m =2
3;
(2)当2m -1≠0时,函数为一次函数,所以m ≠1
2; (3)由题意知函数为减函数, 即2m -1<0,所以m <1
2;
(4)直线y =x +1与x 轴的交点为(-1,0),将点的坐标(-1,0)代入函数表达式,得-2m +1+2-3m =0,所以m =3
5.
能力提升]
1.已知kb <0,且不等式kx +b >0的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪
x >-b k ,则函数y =kx +b 的图象大致是( )
A B C D
【解析】 由kb <0,得k 与b 异号,由不等式kx +b >0的解集为
⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪
⎪⎪
x >-b k ,知k >0,所以b <0,因此选B.
【答案】 B
2.如图2-2-3所示,在平面直角坐标系xOy 中,▱OABC 的顶点A 在x 轴上,顶点B 的坐标为(6,4).若直线l 经过点(1,0),且将▱OABC 分割成面积相等的两部分,则直线l 的函数解析式是( )
【导学号:60210048】
图2-2-3 A .y =x +1 B .y =1
3x +1 C .y =3x -3
D .y =x -1
【解析】 设D (1,0),∵直线l 经过点D (1,0),
且将▱OABC 分割成面积相等的两部分, ∴OD =BE =1, ∵顶点B 的坐标为(6,4), ∴E (5,4),
设直线l 的函数解析式是y =kx +b , ∵直线过D (1,0),E (5,4),
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
k +b =0,5k +b =4,
解得⎩⎪⎨⎪⎧
k =1,b =-1.
∴直线l 的解析式为y =x -1.故选D. 【答案】 D
3.若一次函数y =f (x )在区间-1,2]上的最小值为1,最大值为3,则y =f (x )的解析式为________.
【解析】 设f (x )=kx +b (k ≠0)
当k >0时,⎩
⎪⎨⎪⎧
-k +b =1,2k +b =3,
即⎩⎪⎨⎪⎧
k =23,
b =53.
∴f (x )=23x +53.
当k <0时,⎩⎪⎨⎪⎧
-k +b =3,
2k +b =1,
即⎩⎪⎨⎪⎧
k =-23,
b =73,
∴f (x )=-23x +73.
∴f (x )的解析式为f (x )=23x +5
3或 f (x )=-23x +7
3.
【答案】 f (x )=23x +53或f (x )=-23x +7
3
4.对于每个实数x ,设f (x )取y =x -3,y =-x -4,y =-2三个函数中的最大者,用分段函数的形式写出f (x )的解析式,并求f (x )的最小值.
【解】 在同一坐标系中作出函数y =x -3,y =-x -4,y =-2的图象,如图所示.
由⎩⎪⎨⎪⎧ y =-x -4,y =-2,得⎩⎪⎨⎪⎧
x =-2,y =-2,
即A (-2,-2).
由⎩⎪⎨⎪⎧ y =x -3,y =-2,得⎩
⎪⎨⎪⎧
x =1,y =-2, 即B (1,-2).
根据图象,可得函数f (x )的解析式为 f (x )=⎩⎪⎨⎪
⎧
-x -4,x <-2,-2,-2≤x ≤1,
x -3,x >1.
由上述过程及图象可知,当-2≤x ≤1时,f (x )均取到最小值-2.。