证券投资学教案

概论

一、期权定价公式

马科维茨研究的是这样的一个问题：投资者同时在许多种证券上投资，那

么应该如何选择各种证券的投资比例，使得投资收益最大，风险最小。

对此，马科维茨在观念上的最大贡献在于他把收益与风险这两个原本有点

含糊的概念明确为具体的数学概念。马科维茨首先把证券的收益率看作一个随

机变量，而收益定义为这个随机变量的均值 (数学期望)，风险则定义为这个随机变量的标准差。

如果把各证券的投资比例看作变量，问题就归结为怎样使证券组合的收益

最大、风险最小的数学规划。

证券有很多特性，但我们最为关心的是收益和风险，我们用r和δ表示。我们期望是收益最大风险最小的证券组合。(天下没有免费的午餐) 但现实我们无法得到收益最大风险最小的证券组合，我们只能在一定风险

条件下，使收益最大，或者说在收益一定时风险最小。通过解析一个最优问题

我们得到：

s.t.

min

最后得到最优的组合风险与收益的关系为：

根据平面几何知识，我们以均值为纵轴，以标准差为横轴，建立二维平面，上面的解析式的图形将会是双曲线。而双曲线底点下面的部分明显劣于上半部分。因此我们定义底点上半部分为均值方差效率边界（mean-variance

effcient frontier）。对于有效前沿上的证券组合来说，不存在收益和风险两方面都优于它的证券组合。

MVF是有众多点组成的曲线，每一点都反映在收益一定的条件下，风险最

小的投资组合选择点。

马科维茨理论的基本结论是：在证券允许卖空的条件下，组合前沿是一条

双曲线的一支；在证券不允许卖空的条件下，组合前沿是若干段双曲线段的拼接。

夏普和另一些经济学家，则进一步在一般经济均衡的框架下，假定所有投

资者都以马科维茨的准则来决策，而导出完全市场的证券组合的收益率是有效

的以及所谓资本资产定价模型 (Capital Asset Pricing Model, CAPM)。这一

模型认为，每种证券的收益率都只与市场收益率和它对市场风险的贡献度有关。

米勒与莫迪利阿尼一起在 1958 年以后发表了一系列论文，探讨“公司的

财务政策 (分红、债权/股权比等)是否会影响公司的价值”这一主题。他们的

结论是：在理想的市场条件下，公司的价值与财务政策无关。后来他们的这些

结论就被称为莫迪利阿尼－米勒定理 (Modigliani-Miller Theorem,MMT)。

米勒与莫迪利阿尼运用严格的数学分析来理解公司的资本结构和股利的支

付率是如何影响公司价值的。得出了两个无关性定理。

1、公司的价值与公司的财务杠杆比例无关。

2、股利水平的选择与公司价值无关。

这两个结论是金融学另一个领域公司金融的核心基础理论。

无关性定理与人们的一般直觉是相反的。

他们的研究不但为公司理财这门新学科奠定了基础，并且首次在文献中明

确提出无套利假设。所谓无套利假设是指在一个完善的金融市场中，不存在套

利机会 (即确定的低买高卖之类的机会)。因此，如果两个公司将来的 (不确定的) 价值是一样的，那么它们今天的价值也应该一样，而与它们财务政策无关；否则人们就可通过买卖两个公司的股票来获得套利。

套利的简单说明

假设有两家公司，A和B公司，现代金融学的意义是我们的分析中加入了时间轴，最简单的就是0、1时间轴。

0 1

0代表着现在，1代表未来的任意时间点

A公司的价值是V

A ，

B 公司的价值是V

B

0期我们有V

A 0、V

B

0，1期我们有V

A

1、V

B

1

根据无套利假设：如果V

A 1=V

B

1

那么V

A 0=V

B

如果V

A 0与V

B

0不相等，必然存在套利

如果V

A 1=V

B

1，而V

A

0>V

B

那么我们就可以套利套利策略：

0期：买入V

B 0，卖出V

A

0，我们有个正的现金流

1期：卖出V

B 1，买入V

A

1，我们有个零的现金流

结果：这两期的交易是投资者持有的头寸没有改变，但最终得到了（V

A 0—V

B

0）

（1+r）收入（考虑了货币的时间价值）

逐利的动机使人们愿意从事这样的交易，而这样交易将使得V

A 与V

B

处于均衡的

平价中。套利机会丧失。

达到一般经济均衡的金融市场一定满足无套利假设。因此二者是等价命题。这样，莫迪利阿尼－米勒定理与一般经济均衡框架是相容的。但是直接从无套利

假设出发来对金融产品定价，则使论证大大简化。

这就给人以启发，我们不必一定要背上沉重的一般经济均衡的十字架，从无套

利假设出发就已经可为金融产品的定价得到许多结果。

从此，金融学就开始以无套利假设作为出发点。

以无套利假设作为出发点的一大成就也就是布莱克－肖尔斯期权定价理论。

所谓 (股票买入) 期权是指以某固定的执行价格在一定的期限内买入某种

股票的权利。期权在它被执行时的价格很清楚，即：如果股票的市价高于期权

规定的执行价格，那么期权的价格就是市价与执行价格之差；如果股票的市价

低于期权规定的执行价格，那么期权是无用的，其价格为零。

现在要问期权在其被执行前应该怎样用股票价格来定价？

为解决这一问题，布莱克和肖尔斯先把模型连续动态化。他们假定模型中有两

种证券，一种是债券，它是无风险证券，其收益率是常数；另一种是股票，它

是风险证券，沿用马科维茨的传统，它也可用证券收益率的期望和方差来刻划，但是动态化以后，其价格的变化满足一个随机微分方程，其含义是随时间变化

的随机收益率，其期望值和方差都与时间间隔成正比。这种随机微分方程称为

几何布朗运动。

描述股价的运动，我们一般认为是这样的：

μ我们一般称为漂移，在金融学的意义是股票价格瞬间变化的期望收益率。