高中数学人教B版选修2-1课件 3.1 第2课时 空间向量的数量积运算

⑦不为零的三个实数 a、b、c，有(ab)c＝a(bc)成立，但对
≠ 于三个向量 a、b、c，(a· b)c__________ a(b· c)，因为 a· b 是一个
实数，(a· b)c 是与 c 共线的向量，而 a(b· c)是与 a 共线的向量， a 与 c 却不一定共线．
1．下列式子中正确的是( A．|a|·a＝a2 C．(a·b)c＝a(b·c) [答案] D
成才之路 ·数学
人教A版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章
空间向量与立体几何
第三章
3.1
第2课时
空间向量及其运算
空间向量的数量积运算
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课 时 作 业
课前自主预习
没有规矩不成方圆，国家法律保障每个公民的权利不受侵 害，校规可为每个学生创造一个良好的学习生活环境……可 见，世间事物往往要遵循一定的规律和法则才能生存．初中我 们学过实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，那么向量的数 量积该如何规定，向量的数量积又满足哪些运算律呢？
→ → |AD|＝|BD|＝a， 1 2 → → → → ∴2AD· BD＝2|AD||BD|cos60° ＝2×a×a×2＝a .
4．已知e1、e2是夹角为60°的两个单位向量，a＝e1＋e2，
b＝e1－2e2，则a与b的夹角为__________________． [答案] 120°
[解析] 由已知得|a|＝|b|＝ 3， 3 a· b＝－2， 3 －2 1 a· b ∴cos<a，b>＝ ＝ 3 ＝－2， |a|· |b| ∴〈a，b〉＝120° .
) B．(a·b)2＝a2·b2 D．|a·b|≤|a||b|
[解析] |a|·a是与a共线的向量，a2是实数，故A不对；
(a·b)2＝|a|2·|b|2·cos2〈a，b〉≠a2·b2，故B错；
(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故C错． |a·b|＝||a|·|b|·cos〈a，b〉|≤|a|·|b|.
0 ④|a· b|≤|a|· |b|，特别地，当 θ＝__________ 时，a· b＝|a|· |b|， π 当 θ＝______ 时，a· b＝－|a|· |b|.
⑤对于实数 a、b、c，若 ab＝ac，a≠0，则 b＝c；对于向 量 a 、 b 、c ，若 a· b ＝ a· c ， a≠0 ，却推不出 b ＝ c ，只能得出 a⊥(b－c)． ⑥ a· b＝0⇒ / a ＝ 0 或 b ＝ 0 ， a ＝ 0 时 ， 一 定 有 a· b＝ __________. 0
2．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|等于( A．22 C. 46 B．48 D．32
)
[答案] A [解析] ∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a· b，
|a－b|2＝a2＋b2－2a· b， ∴|a－b|2＝2(a2＋b2)－|a＋b|2 ＝2×(132＋192)－242＝484， ∴|a－b|＝22.故选 A.
3．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影 垂直，那么它也和这条斜线垂直． ________________ 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个 这条斜线在平面内的射影 平面的一条斜线垂直，那么它也和 _______________________ 垂直． 即与斜线垂直⇔与射影垂直． 4．设 a，b 都是非零向量， 〈a，b〉＝θ， 0 时，a 与 b 同向； 0 ①a∥b 时，θ＝_______ 或 π，θ＝____
→ → → → → → 5．已知空间四边形 ABCD，则AB· CD＋BC· AD＋CA· BD＝ __________________.
[答案] 0
→ → → [解析] 设AB＝a，AC＝b，AD＝c， 则原式＝a· (c－b)＋(b－a)· c－b· (c－a)＝0.
π 6．已知向量 a、b、c 中每两个的夹角都是3，且|a|＝4，|b| ＝6，|c|＝2，计算|a＋b＋c|.
→ 1． 已知两个非零向量 a、 b， 在空间任取一点 O， 作OA＝a， → ∠AOB OB ＝ b ， 则 角 __________ 叫 做 向 量 a 与 b 的 夹 角 ， 记 作 〈a，b〉 ． 通常规定 0° ≤〈a，b〉≤180° ，且〈a，b〉＝〈b，a〉 ， 90° ，则称 a 与 b 互相垂直，记作 如果〈a，b〉＝__________ a⊥b.
|a||b|cos〈a，b〉 2．空间两个非零向量 a、b，a· b＝_______________
叫做向量 a、b 的数量积(或内积)． 同平面向量一样，空间两个向量的数量积是一个实数，空 间两个向量的数量积也具有如下性质： a· b (1)a⊥b⇔_________ ＝0； (2)|a|2＝__________ ； a· a 空间两个向量的数量积同样满足如下运算律： (1)(λa)· b＝λ(a· b)； (2)a· b＝b· a；(交换律) (3)(a＋b)· c＝a· c＋b· c.(分配律)
3． (2015· 山东烟台高二期末测试)已知空间四边形的每条边 和对角线长都是 a，点 E、F、G 分别为 AB、AD、DC 的中点， 则 a2 等于( ) → → B．2AD· BD → → A．2BA·Leabharlann BaiduAC
→ → → → C．2FG· CA D．2EF· BC [答案] B → → [解析] ∵AD与BD的夹角为 60° ，
π 时，a 与 b 反向． θ＝_____ π ②a⊥b⇔θ＝______ b＝0. 2 ⇔a·
> ③θ 为锐角时，a· b__________0 ，但 a· b>0 时，θ 可能为 < 0 __________ ；θ 为钝角时，a· b__________0 ，但 a· b<0 时，θ 可 π 能为_______.
[解析] ∵|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2， π 且〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝3， ∴|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)· (a＋b＋c) ＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a· b＋2a· c＋2b· c ＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2|a|· |b|· cos〈a，b〉＋2|a|· |c|cos〈a，c〉＋ 2|b|· |c|cos〈b，c〉 ＝42＋62＋22＋4×6＋4×2＋6×2＝100， ∴|a＋b＋c|＝10.