偏微分方程
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系 数 A12 a11 a12 ( ) a22 之 （3） x x x y x y y y 间 的 2 2 A22 a11 ( ) 2a12 a22 ( ) 关 x x y y 系 27 浙江大学数学系
浙江大学数学系
17
弦振动方程与定解问题
一长为L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它 受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微 小横振动。 假设这运动发生在同一平面内且 与方向垂直于平衡位置，求弦上各点位移随时 间变化规律。
弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力作用， 弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力都在不 断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此可以建 立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。
偏微分方程
PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION (P.D.E)
参考书目
《数学物理方程》， 王明新，清华大学出版社。 《工程技术中的偏微分方程》，
潘祖梁，浙江大学出版社。
浙江大学数学系 2
一. 偏微分方程的基本概念
x ( x1 , x2 ,, xn )
u ( x) u ( x1 , x2 ,, xn )
(*1)
T ( x x) T ( x)
这表明张力的大小与 x 也无关，即
T T0
(*2) ，微分中值定理
常数
2 u ( x, t ) 2u ( x , t ) x T0 x f 0 ( x, t )x, 2 2 t x x ( x, x x)
浙江大学数学系
浙江大学数学系 26
2u 2u 2u u u a11 2 2a12 a22 2 a b cu 0 x xy y x y （1） 2u 2u 2u u u A11 2 2 A12 A22 2 A B Cu 0 （2）
u u u x x x u u u y y y
2u 2u 2 2u 2u 2 u 2 u 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 x x x x x x x 2 2u 2u 2u 2u u 2 u 2 2 ( ) 2 xy x y x y x y x y xy xy 2u 2u 2 2u 2u 2 u 2 u 2 ( ) 2 ( ) y 2 2 y y y 2 y y 2 y 2
不易找出其通解，但还 是可以找出一些特解
任意解析函数 f (z ) 的实部和虚部均满足方程。
1 ln r
也是解
r x2 y2
KDV方程 特解都不易找到
浙江大学数学系 8
u u 3u 6u 3 0 6. t x x
7.
ut uux eu
2 2
拟线性PDE
8. vx vxx v y v yy v
热传导方程的初值问题（一维）
u 2 u f ( x, t ), t 0, x R a 2 t x u ( x, t ) t 0 ( x )
2
浙江大学数学系 13
经典的定解问题举例
二维调和方程的边值问题
2u 2u 2 0, ( x, y ) R 2 2 x y ( ( x )u ( x ) u ) g ( x ) n
22
令 x 0 ，可得微分方程方程
2u 2u 2 T0 2 f 0 t x
弦是均匀的，故
a
2
为常数，记
,
T0
f0
f ( x, t )
方程改写为
2 2u 2 u a f ( x, t ) 2 2 t x
(0 x L, t 0)
2 2 2
拉普拉斯(Laplace)方程
热传导方程
u u u u 2 2 2 2 x y z t
2 2 2 2
浙江大学数学系
波动方程
10
二. 定解问题的适定性
定解 问题 PDE 初值条件
定解条件
边值条件
初、边值条件
初值问题、边值问题、混合问题
浙江大学数学系
11
经典的定解问题举例
u (0, t ) g (t ), u ( L, t ) h(t )
g (t ),
x 0
已知在端点受到垂直 T u x 于弦的外力的作用
已知端点的位移与所受外 力作用的一个线性组合
T
u x
h(t )
xL
浙江大学数学系
Baidu Nhomakorabea24
四. 二阶线性方程的分类
两个自变量情形
2u 2u 2u u u a11 2 2a12 a22 2 a b cu 0 x xy y x y
浙江大学数学系
15
何为适定性？
存在性 唯一性 连续依赖性（稳定性） 若PDE在附加条件及求解域的一定要求下，它的解在 已知度量的某函数类中存在、唯一而且关于附加条件 为稳定的，就称定解问题在相应的函数类中为适定的。 适定性
浙江大学数学系
16
三. 物理模型与定解问题的导出 • 波动方程的导出 • 热传导方程的导出
自变量
未知函数
u u 2u F ( x, u , , , , ,) 0 2 x1 xn x1
偏微分方程的一般形式
浙江大学数学系 3
一些概念
PDE的阶 古典解 PDE 的解 广义解 线性PDE 非线性PDE 是指这样一个函数，它本身以及 它的偏导数在所考虑的区域上连 续，同时用满足方程。
引理2. 假设 ( x, y) C 是常微分方程（5）的一般
积分，则函数 z ( x, y) 是（4）的特解。
浙江大学数学系 29
由此可知，要求方程（4）的解，只须求出常微 分方程（5）的一般积分。
定义：常微分方程（5）为PDE（1）的特征方程
浙江大学数学系 5
举例（未知函数为二元函数）
1.
u 0 x
解为：
u f ( y)
x x at
u u a 0 2. t x
变换
u a 0
解为： u f ( x at)
浙江大学数学系
6
举例（未知函数为二元函数）
3.
2u 0 xt
即表明弧段PQ在振动过程中长度近似不变。因此根据 Hooke定律，弦上各点的张力 T 的大小与时间 t 无关。
再由于弦是柔软的，弦上各点的张力 T 的方向正是弦 的切线方向。
浙江大学数学系
20
Q
U P
1
T (x) x
2
T ( x x)
O 根据牛顿第二运动定律，
x x
X
T ( x x) cos 2 T ( x) cos1 0 2u x 2 T ( x x) sin 2 T ( x) sin 1 f 0 x t
半线性PDE
拟线性PDE 完全非线性PDE
浙江大学数学系 4
线性PDE：PDE中对所含未知函数及其各阶导数的 全体都是线性的。
线性PDE中所有具同一最高阶数的偏导 数组成的部分，称为线性方程的主部。 拟线性PDE：PDE中对最高阶导数是线性的。 半线性PDE： 拟线性PDE中，最高阶导数的系数仅为 自变量的函数。
解为：u g ( x) h(t )
2u 2u a2 2 0 4. t 2 x
变换
x at x at
解为：
u g ( x at) h( x at)
2u 0
浙江大学数学系 7
举例（未知函数为二元函数）
5.
2u 2u 2 0 2 x y
1, 0 0, 1
第一边值问题（Dirichlet） 第二边值问题（Neumann）
浙江大学数学系
0, 0
第三边值问题（Robin）
14
经典的定解问题举例
热传导方程的初、边值问题
u 2u a 2 2 f ( x, t ), t 0,0 x L x t u ( x, t ) ( x) t 0 u ( x, t ) x 0 g (t ), u ( x, t ) x L h(t )
拟线性PDE
v
9. a ( x, y )(v xx v yy ) e (v x v y ) 半线性PDE 10.
ut u x sin u
半线性PDE 非线性PDE
浙江大学数学系 9
11.
ut u x
2
2
u2
举例(多元函数)
2u 2u 2u 2 2 0 2 x y z u u u u 2 2 2 x y z t
波动方程的初值问题（一维）
2u 2u a2 f ( x, t ), t 0, x R 2 2 x t u ( x, t ) ( x) t 0 u ( x, t ) ( x) t 0 t
浙江大学数学系 12
经典的定解问题举例
z ( x, y)
( x, y ) ( x, y )
从而有
A11 A22 0
浙江大学数学系 28
两个引理
引理1. 假设 z ( x, y) 是方程 z 2 z z z 2 a11 ( ) 2a12 a22 ( ) 0 （4） x x y y 的特解，则关系式 ( x, y) C 是常微分方程 a11 (dy) 2 2a12dxdy a22 (dx) 2 0 （5） 的一般积分。
u tan 1 x ( x ,t ) u tan 2 x ( x x ,t )
(*1) (*2)
cos1 1
cos 2 1
sin 1 sin 2
浙江大学数学系
u x u x
( x ,t )
u 1 x
( x x ,t )
21
浙江大学数学系 18
取弦的平衡位置为OX轴，运动平面为XOU
U
P O Q U P
1
T (x) x
Q
L
在时刻 t ，弦线在 x 点的位移为 u(x, t) X
2
T ( x x)
此为上图中PQ 的放大图示
x x
浙江大学数学系
O
X
19
假设弦线是均匀的，弦作微小振动，故可认为
S x
刻划了均匀弦的微小横振动的一般规律。通常称为
弦振动方程。
浙江大学数学系
23
为了具体给出弦的振动规律，除了列出它所满足的方程 外，由于弦开始时的形状和弦上各点的速度，对弦振动 将有直接影响，由此必须列出初始条件
u( x,0) ( x)
或者边界条件
已知端点的位移
u ( x,0) ( x) t
2 2 A11 a11 ( ) 2a12 a22 ( ) x x y y
考虑
z 2 z z z 2 a11 ( ) 2a12 a22 ( ) 0 x x y y
如若能找到两个相互独立的解
（4）
z ( x, y)
那么就作变换
（1）
主部
目的： 通过自变量的非奇异变换来简化方程 的主部，从而据此分类。
( x, y ) ( x, y )
非奇异
x y 0 x y
25
浙江大学数学系
u( x, y)
复合求导
( x, y ) ( x, y )
u( , )
浙江大学数学系
17
弦振动方程与定解问题
一长为L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它 受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微 小横振动。 假设这运动发生在同一平面内且 与方向垂直于平衡位置，求弦上各点位移随时 间变化规律。
弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力作用， 弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力都在不 断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此可以建 立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。
偏微分方程
PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION (P.D.E)
参考书目
《数学物理方程》， 王明新，清华大学出版社。 《工程技术中的偏微分方程》，
潘祖梁，浙江大学出版社。
浙江大学数学系 2
一. 偏微分方程的基本概念
x ( x1 , x2 ,, xn )
u ( x) u ( x1 , x2 ,, xn )
(*1)
T ( x x) T ( x)
这表明张力的大小与 x 也无关，即
T T0
(*2) ，微分中值定理
常数
2 u ( x, t ) 2u ( x , t ) x T0 x f 0 ( x, t )x, 2 2 t x x ( x, x x)
浙江大学数学系
浙江大学数学系 26
2u 2u 2u u u a11 2 2a12 a22 2 a b cu 0 x xy y x y （1） 2u 2u 2u u u A11 2 2 A12 A22 2 A B Cu 0 （2）
u u u x x x u u u y y y
2u 2u 2 2u 2u 2 u 2 u 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 x x x x x x x 2 2u 2u 2u 2u u 2 u 2 2 ( ) 2 xy x y x y x y x y xy xy 2u 2u 2 2u 2u 2 u 2 u 2 ( ) 2 ( ) y 2 2 y y y 2 y y 2 y 2
不易找出其通解，但还 是可以找出一些特解
任意解析函数 f (z ) 的实部和虚部均满足方程。
1 ln r
也是解
r x2 y2
KDV方程 特解都不易找到
浙江大学数学系 8
u u 3u 6u 3 0 6. t x x
7.
ut uux eu
2 2
拟线性PDE
8. vx vxx v y v yy v
热传导方程的初值问题（一维）
u 2 u f ( x, t ), t 0, x R a 2 t x u ( x, t ) t 0 ( x )
2
浙江大学数学系 13
经典的定解问题举例
二维调和方程的边值问题
2u 2u 2 0, ( x, y ) R 2 2 x y ( ( x )u ( x ) u ) g ( x ) n
22
令 x 0 ，可得微分方程方程
2u 2u 2 T0 2 f 0 t x
弦是均匀的，故
a
2
为常数，记
,
T0
f0
f ( x, t )
方程改写为
2 2u 2 u a f ( x, t ) 2 2 t x
(0 x L, t 0)
2 2 2
拉普拉斯(Laplace)方程
热传导方程
u u u u 2 2 2 2 x y z t
2 2 2 2
浙江大学数学系
波动方程
10
二. 定解问题的适定性
定解 问题 PDE 初值条件
定解条件
边值条件
初、边值条件
初值问题、边值问题、混合问题
浙江大学数学系
11
经典的定解问题举例
u (0, t ) g (t ), u ( L, t ) h(t )
g (t ),
x 0
已知在端点受到垂直 T u x 于弦的外力的作用
已知端点的位移与所受外 力作用的一个线性组合
T
u x
h(t )
xL
浙江大学数学系
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四. 二阶线性方程的分类
两个自变量情形
2u 2u 2u u u a11 2 2a12 a22 2 a b cu 0 x xy y x y
浙江大学数学系
15
何为适定性？
存在性 唯一性 连续依赖性（稳定性） 若PDE在附加条件及求解域的一定要求下，它的解在 已知度量的某函数类中存在、唯一而且关于附加条件 为稳定的，就称定解问题在相应的函数类中为适定的。 适定性
浙江大学数学系
16
三. 物理模型与定解问题的导出 • 波动方程的导出 • 热传导方程的导出
自变量
未知函数
u u 2u F ( x, u , , , , ,) 0 2 x1 xn x1
偏微分方程的一般形式
浙江大学数学系 3
一些概念
PDE的阶 古典解 PDE 的解 广义解 线性PDE 非线性PDE 是指这样一个函数，它本身以及 它的偏导数在所考虑的区域上连 续，同时用满足方程。
引理2. 假设 ( x, y) C 是常微分方程（5）的一般
积分，则函数 z ( x, y) 是（4）的特解。
浙江大学数学系 29
由此可知，要求方程（4）的解，只须求出常微 分方程（5）的一般积分。
定义：常微分方程（5）为PDE（1）的特征方程
浙江大学数学系 5
举例（未知函数为二元函数）
1.
u 0 x
解为：
u f ( y)
x x at
u u a 0 2. t x
变换
u a 0
解为： u f ( x at)
浙江大学数学系
6
举例（未知函数为二元函数）
3.
2u 0 xt
即表明弧段PQ在振动过程中长度近似不变。因此根据 Hooke定律，弦上各点的张力 T 的大小与时间 t 无关。
再由于弦是柔软的，弦上各点的张力 T 的方向正是弦 的切线方向。
浙江大学数学系
20
Q
U P
1
T (x) x
2
T ( x x)
O 根据牛顿第二运动定律，
x x
X
T ( x x) cos 2 T ( x) cos1 0 2u x 2 T ( x x) sin 2 T ( x) sin 1 f 0 x t
半线性PDE
拟线性PDE 完全非线性PDE
浙江大学数学系 4
线性PDE：PDE中对所含未知函数及其各阶导数的 全体都是线性的。
线性PDE中所有具同一最高阶数的偏导 数组成的部分，称为线性方程的主部。 拟线性PDE：PDE中对最高阶导数是线性的。 半线性PDE： 拟线性PDE中，最高阶导数的系数仅为 自变量的函数。
解为：u g ( x) h(t )
2u 2u a2 2 0 4. t 2 x
变换
x at x at
解为：
u g ( x at) h( x at)
2u 0
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举例（未知函数为二元函数）
5.
2u 2u 2 0 2 x y
1, 0 0, 1
第一边值问题（Dirichlet） 第二边值问题（Neumann）
浙江大学数学系
0, 0
第三边值问题（Robin）
14
经典的定解问题举例
热传导方程的初、边值问题
u 2u a 2 2 f ( x, t ), t 0,0 x L x t u ( x, t ) ( x) t 0 u ( x, t ) x 0 g (t ), u ( x, t ) x L h(t )
拟线性PDE
v
9. a ( x, y )(v xx v yy ) e (v x v y ) 半线性PDE 10.
ut u x sin u
半线性PDE 非线性PDE
浙江大学数学系 9
11.
ut u x
2
2
u2
举例(多元函数)
2u 2u 2u 2 2 0 2 x y z u u u u 2 2 2 x y z t
波动方程的初值问题（一维）
2u 2u a2 f ( x, t ), t 0, x R 2 2 x t u ( x, t ) ( x) t 0 u ( x, t ) ( x) t 0 t
浙江大学数学系 12
经典的定解问题举例
z ( x, y)
( x, y ) ( x, y )
从而有
A11 A22 0
浙江大学数学系 28
两个引理
引理1. 假设 z ( x, y) 是方程 z 2 z z z 2 a11 ( ) 2a12 a22 ( ) 0 （4） x x y y 的特解，则关系式 ( x, y) C 是常微分方程 a11 (dy) 2 2a12dxdy a22 (dx) 2 0 （5） 的一般积分。
u tan 1 x ( x ,t ) u tan 2 x ( x x ,t )
(*1) (*2)
cos1 1
cos 2 1
sin 1 sin 2
浙江大学数学系
u x u x
( x ,t )
u 1 x
( x x ,t )
21
浙江大学数学系 18
取弦的平衡位置为OX轴，运动平面为XOU
U
P O Q U P
1
T (x) x
Q
L
在时刻 t ，弦线在 x 点的位移为 u(x, t) X
2
T ( x x)
此为上图中PQ 的放大图示
x x
浙江大学数学系
O
X
19
假设弦线是均匀的，弦作微小振动，故可认为
S x
刻划了均匀弦的微小横振动的一般规律。通常称为
弦振动方程。
浙江大学数学系
23
为了具体给出弦的振动规律，除了列出它所满足的方程 外，由于弦开始时的形状和弦上各点的速度，对弦振动 将有直接影响，由此必须列出初始条件
u( x,0) ( x)
或者边界条件
已知端点的位移
u ( x,0) ( x) t
2 2 A11 a11 ( ) 2a12 a22 ( ) x x y y
考虑
z 2 z z z 2 a11 ( ) 2a12 a22 ( ) 0 x x y y
如若能找到两个相互独立的解
（4）
z ( x, y)
那么就作变换
（1）
主部
目的： 通过自变量的非奇异变换来简化方程 的主部，从而据此分类。
( x, y ) ( x, y )
非奇异
x y 0 x y
25
浙江大学数学系
u( x, y)
复合求导
( x, y ) ( x, y )
u( , )