单自由度系统的无阻尼受迫振动

单自由度系统的无阻尼受迫振动

任学晶

13010135

机电学院

【摘要】通过学习，我们知道在实际生产生活中自由振动多是随时间不断衰减，直到最后振动停止，这是由于受到阻尼即振动过程中的阻力的作用所导致的。了解并避免受迫振动是工程中的首要问题，本文将通过运用振动微分方程来解释无阻尼受迫的合成，得出激振力频率与振幅之间的关系，对共振曲线进行分析，进而了解共振现象。

【关键词】阻尼；受迫振动；共振；

1.引言

工程中的自由振动，都会由于阻尼的存在而逐渐衰减，最后完全停止。但实际上又存在有大量的持续振动，这是由于外界有能量输入以补充阻尼的消耗，一般都承受外加的激振力。在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。例如，交流电通过电磁铁产生交变的电磁力引起振动系统的振动，如图1所示；弹性梁上的电动机由于转子偏心，在转动时引起的振动，如图2所示，等等。

图 1 图 2

1.1简谐激振力

工程中常见的激振力多是周期变化的。一般回转机械、往复式机械、交流电磁铁等多会引起周期激振力。简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力，简谐力F随时间变化的关系可以写成

()

sin

=+（1）

F H tωϕ

其中H称为激振力的力幅；即激振力的最大值；ω是激振力的角频率；ϕ是激振力的初相角，它们都是定值。

1.1振动微分方程

如图1所示的振动系统，其中物块的质量为m 。物块所受的力有恢复力e F 和激振力，如图3所示。取物块的平衡位置为坐标原点，坐标轴铅直向下，则恢复力e F 在坐标轴的投影为

e F kx =-

其中k 为弹簧刚度系度。

设F 为简谐激振力，在F 坐标轴上的投影可以写成式（1）的形式。质点的运动微分方程为

()22sin d x m kx H t d t

ωϕ=-++ 将上式两端除以m ，并设 图 3 20k m ω=，H h m

= （2） 则得

()2202sin d x x h t d t

ωωϕ+=+ （3） 该式为无阻尼受迫振动微分方程的标准形式，是二阶常系数非齐次线性微分方程，它的解由两部分组成，即

12x x x =+

其中1x 对应于方程（3）的齐次通解，2x 为其特解。且齐次方程的通解为

()10sin x A t ωθ=+

设方程（3）的特解有如下形式：

()2sin x b t ωϕ=+ （4） 其中b 为待定常数，将2x 带入方程（3）得

()()()220sin sin sin b t b t h t ωωϕωωϕωϕ-+++=+ 解得

22

0h b ωω=- （5）

于是得方程（3）的全解为

()()0220sin sin h x A t t ωθωϕωω=+++- （6） 1.3 结论

上式表明：无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的：第一部分是频率为固有频率的自由振动；第二部分是频率为激振力的振动，称为受迫振动。由于实际的振动系统中总有阻尼存在，自由振动部分总会逐渐衰减下去，因而我们着重研究第二部分受迫振动，它是一种稳态的振动。

2.受迫振动的振幅与共振曲线

2.1 受迫振动的振幅

由式（4）和（5）可知，在简谐振动条件下，系统的受迫振动为谐振动，其振动频率等于，激振力的频率，振幅的大小与运动初始条件无关，而与其固有频率0ω、激振力的力幅H 、频率ω有关。即：

（1）若0ω→，此种激振力的周期趋近于无穷大，即激振力为一恒力，此时并不振动，所谓的振幅0b 实为静力作用下的静形变。即：

020h

H b k

ω== （7） （2）若00ωω<<，则由式（5）知，ω值越大，振幅b 越大，即振幅b 随ω单调上升，当ω接近0ω时，b 将趋于无穷大。

（3）若0ωω>，习惯上把b 都取其绝对值，并视受迫振动2x 与激振力相反。这时，随ω增大，b 减小。当ω趋于无穷大时，b 趋于零。

2.2 共振曲线

有上述则可得振幅b 与激振力频率ω的关系，得到的曲线即为共振曲线。如图4所示。

图 4

3. 共振现象

在上述分析中，当0ωω=时，此时这种现象称为共振。如图5所示。

图 5 事实上，当0ωω=，式（3）没有意义，微分方程（3）的特解为：

()20cos x Bt t ωϕ=+ （8）

将此式代入（3）中，得： 02h

B ω=-

故共振时受迫振动的运动规律为

()200cos 2h x t t ωϕω=-+ （9） 它的幅值为 02h

b t ω=

由此可见，当0ωω=时，系统共振，受迫振动的振幅随时间无限的增大。

<例题>如图6所示为一长为l 无重刚杆OA ，其一端O 铰支，另一端A 水平悬挂在刚度系数为k 的弹簧上，杆的中点装有一质量为m 的小球。若在店A 加一激振力0sin F F t ω=，其中012ωω=

，0ω为系统的固有频率。忽略阻尼，求系统的受迫振动规律。 解：设任一瞬时刚杆的摆角为ϕ，根据刚体定轴转动微分方程可以建立系统运动微分方程为：

220sin 2l m kl F l t ϕϕω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 令

22

024()2kl k l m m ω==， 0024()2F l F h l ml

m ==

则上述微分方程可以写为 20+=sin h t ϕωϕω 图 6 则其特解为 220sin h

t ϕωωω

=- 将01

2ωω=代入上式，可得 0

02044sin sin 3343

44F

F h ml t t k kl

m

ϕωωω===

参考文献

1.哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学（）第7版.2009.7