数字信号处理6Z变换

z za
az1 1 z a
j Im[ z]
z 平面
0
a
Re[ z]
za
• 序列特性对收敛域的影响
序列的特性决定其Z变换收敛域，了解序列特性与收敛的
一些一般关系， 对使用Z变换是很有帮助的。
• 1. 有限长序列
如序列x(n)满足下式：
xn
xn
0
n2
其Z变换为 X z xnzn
n1 n n2 其它n
域 — Z域，z re j 。
j Im[z]
ℱ 频谱()
x(n)
z 复频谱( z )
Re[z] 0
z平面
X z xn zn ZT[x(n)] n
z变换存在的条件是上式的等号右边级数收敛
| x n zn |
n
满足上式的z变量的取值域就称为收敛域。
单边Z变换
X z xnzn n0
径。 将两收敛域相与， 其收敛域为Rx- <|z|<∞。
总结：右序列收敛域位于极点限定的圆外，∞单独考虑。 若为因果序列，则包含∞，若不是因果的，则不包含∞
例 4.6求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域 解：
X (z)
n
anu(n)zn
n0
anzn
1 1 azn
在收敛域中必须满足|az-1|<1， 因此收敛域为|z|>|a|。
n0
n0
0
u(n)
rn
n
若 r 1e j 1 ，则级数收敛，∴要求 r 1 。
再如，ℱ [a nu(n) ] an e jn ( a 1)
n0
其频谱不存在，而
(rn an )e jn (r1ae j )n
n0
n0
若 r1ae j 1 ，则级数收敛，∴要求r a 。
对于任意一个序列 x(n)
对于因果序列，用两种z变换定义计算出的结果是一样的。
序列傅立叶变换
X (e j )
x(n)e jn
n
X z xnzn n0
推广 特例
X (z)
ze j z 1
X (e j )
Z 变换
j Im[z]
Re[z] 0
z 1
z平面
单位圆上的Z变换就是序列的傅立叶变换。若某序列ZT收 敛域包含单位圆，则可由二者关系式很方便的由ZT求得FT
•
X (z)
n
N 1
RN (n)zn
n0
zn
1 zN 1 z1
这是一个因果的有限长序列， 因此收敛域为0<z≤∞。 但由结果 的分母可以看出似乎z=1是X(z)的极点， 但同时分子多项式在z=1 时也有一个零点， 极零点对消， X(z)在单位圆上仍存在，求RN(n) 的FT， 可将z=ejω代入X(z)得到， 其结果和例题4.2中的结果相同。
nn1
中每一项皆小于(4-48)式级数中的对应项，故有n1 ≥0时右序列的
收敛域为Rx- <|z|≤∞。
1
(2) n1<0,Z变换写为 X z xnzn xnzn xnzn
nn1
nn1
n0
第一项为有限长序列， 因n1<0,其收敛域为0≤|z|＜∞。 第二项
为因果序列， 其收敛域为Rx-<|z|≤∞， Rx-是第二项最小的收敛半
4.2.2 Z 变换的收敛域
（1）收敛域的定义
使级数
x(n)zn 收敛的 Z平面上所有z 值的集
n
合，称为 Z变换的收敛域。
• 若级数不收敛，Z变换无意义；
• 若给定 X (z) ，必须同时给定收敛域才能唯一
地确定x(n)。
例 x1(n) anu(n)
X1(z)
an zn
n0
1 1 az1
nn1
只要有限项级数的每一项有界，级数和也就有界。而x(n)是有界的，
所以收敛域只需满足 z n ，n1 n n2 ，可分三种情况讨论
显然，除z取0与∞两点是否收敛与n1、 n2取值情况有关外， 整个z 平面均收敛。 如果n1<0， 则收敛域不包括∞点； 如n2>0， 则收敛 域不包括z=0点； 如果是因果序列， 收敛域包括z=∞点。 具体有 限长序列的收敛域表示如下：
总结：左序列收敛域位于由极点限定的圆内，0点单独 考虑。
例 4-7求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。
3. 左序列
左序列是在n≤n2时， 序列值不全为零， 而在n>n1，序列值全为
零的序列。 左序列的Z变换表示为
n2
X (z) x(n)zn
n
如果n2<0, z=0点收敛， z=∞点不收敛， 其收敛域是在某一圆(半径 为Rx+)的圆内， 收敛域为0≤|z|<Rx+。 如果n2>0， 则收敛域为 0<|z|< Rx+ 。
[x(n) rn ]e jn x(n)( re j )n
令 z re j
n
n
∴定义 x(n) 的Z 变换 ZT[x(n) ] X (z) x(n)zn
n
可见，通过将序列乘以一个衰减因子，便可以
分析一些有用信号的频谱特性，但此时的频谱不仅
与数字频率 有关，且 r 与有关，构成了一个复频
对于离散时间信号 x(n)，其频谱为
X (e j )=ℱ [x(n) ] x(n)e jn n
若级数不收敛，则 x(n) 的频谱不存在。 仿照连
续时间信号复频谱分析，同样借助衰减因子rn 。
例如，分析阶跃序列 u(n) 的频谱
ℱ [u(n) ] 1e jn
1
n0
1rne jn (r1e j )n
[
x
a
(t
)e
t
]e
j
2ft
dt
xa
(t)e (
j
2f
)t
dt
xa
(t
)e
st
dt
定义 xa (t) 的拉氏变换
j2f
ℒ
[ xa (t) ] Xa (s)
xa
(t
)e
st
dt
ℱ 频谱( f )
xa (t)
ℒ
复频谱( s ) 推广
0 0
s平面
傅立叶变换
拉氏变换
特例
Xa (s) s j2f X a ( f )
2. 右序列
右序列是在n≥n1时，序列值不全来自百度文库零，而其它n<n1序列值全为0。
X z xnzn
nn1
n1可正可负，分两种情况考虑其收敛域。
(1)
n1
≥0，这时的右边序列就是因果序列。假设X(z)在
z z1
处绝
对收敛，即 xn z1n 因n1 ≥0，则 z z1 时， xnzn
n n1
即有限长序列的Z变换收敛域为整个Z平面，但0与∞需单独考虑。 只要有限长序列区间内包含<0的n值，则收敛域不包含∞；只要区 间内包含>0的n值，则收敛域不包含0。
•
n1<0， n2≤0时， 0≤z＜∞
•
n1<0， n2>0时， 0<z＜∞
•
n1≥0， n2>0时， 0<z≤∞
例 4.5求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域