基于压缩感知的图像处理与重构方法_王芳

（２）
３ 问题描述与转化
将图像处理中的图像修复和插值问题转化为 ＣＳ中 的信号重构问题。在以下的叙述中，令Ω＝｛１，…，Ｍ｝× ｛１，…，Ｍ｝表示图像的支撑区域，ｆ 表示 Ｍ×Ｍ 的清晰 图像，ｇ 表示观测图像。 ３．１ 图像修复 图像修复由 Ｂｅｒｔａｌｍｉｏ等［２１］首 次 引 入 到 图 像 处 理 中，在旧照片修 复、刮 痕 去 除 和 电 影 制 作 等 方 面 具 有 广 泛的应用。图像修复技术应用于有刻痕或缺失信息的 图像区域修补或目标区域的移除。从数学上分析，就是 将已知区域的信息根据人眼视觉系统的要求，平滑的填 入待修复的目标区域。图１大致给出了图像修复问题 的描述。对于 给 定 的 图 像，其 中 含 有 两 个 区 域：观 测 区 域Λ 和待修复区域 Ｄ。
图像修复问题的 数 学 描 述 为：给 定 观 测 图 像ｇ，
利用其在观测区域Λ 中的信息对修复区域Ｄ 中的信 息进行填 充。 考 虑 到 观 测 区 域 噪 声 的 影 响，建 立 观
测模型
｛ｆｉ，ｊ ＋εｉ，ｊ，（ｉ，ｊ）∈ Λ
ｇｉ，ｊ ＝ 任意值，（ｉ，ｊ）∈ Ｄ
（３）
其中，εｉ，ｊ表 示 噪 声。 现 有 图 像 修 复 模 型 主 要 包 括 偏
光电子·激光 第２３卷 第１期 ２０１２年１月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｏｐｔｏｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ·Ｌａｓｅｒ Ｖｏｌ．２３Ｎｏ．１ Ｊａｎｕａｒｙ ２０１２
基于压缩感知的图像处理与重构方法
王 芳＊
（国防科技大学 航天与材料工程学院，湖南 长沙 ４１００７３）
摘 要 ：针 对 图 像 修 复 和 插 值 等 图 像 处 理 问 题 进 行 研 究 ，通 过 将 图 像 修 复 和 插 值 模 型 在 压 缩 感 知 （ＣＳ）理 论 的 框 架 下 进 行 转 换 ，建 立 了 新 的 图 像 修 复 和 插 值 模 型 ，该 模 型 与 ＣＳ 理 论 中 的 重 构 模 型 相 对 应 。 对 此 转 化 得 到 的 重 构 问 题 ，基 于 图 像 在 复 数 小 波 变 换 上 的 稀 疏 性 ，利 用 迭 代 硬 阈 值 方 法 求 解 重 构 模 型 ，进 而 获 得 重 构 图 像 。 仿 真 和 实 测 数 据 处 理 结 果 验 证 本 文 方 法 的 有 效 性 。 关 键 词 ：图 像 修 复 ；图 像 插 值 ；压 缩 感 知 （ＣＳ） 中 图 分 类 号 ：ＴＰ３９１．４１ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１００５－００８６（２０１２）０１－０１９６－０７
４ 图像重构模型建立与求解
图 １ 图 像 修 复 问 题 示 意 图 Ｆｉｇ．１ Ｓｋｅｔｃｈ ｍａｐ ｏｆ ｉｍａｇｅ ｉｎｐａｉｎｔｉｎｇ
４．１ 模 型 建 立 利用图像的稀 疏 性，建 立 图 像 的 重 构 模 型，并 用 迭 代 硬 阈 值 算 法 求 解 ，从 而 获 得 清 晰 图 像 的 估 计 。 假设图像ｆ 在稀疏 表 示 基 Ψ 上 分 解 为ｆ＝Ψα， 则利用α 的稀疏性，建立图像重构模型为
比较模型（２）与 模 型 （８）的 区 别。 这 两 个 模 型 同
为 ＣＳ中的信号重构模型，两 者的主要区 别在 于 投 影
测量矩阵 Φ。在传 统 的 ＣＳ 重 构 模 型 （２）中，图 像 的 采样通常在变换域上（如 Ｆｏｕｒｉｅｒ变 换 域 等）进 行，且
仅有一个元素为 １，其 余 元 素 为 ０。ｇ 的 维 数 对 应 观
测区域中Λ 的像素数。
３．２ 图 像 插 值
图像插值旨在利用低分辨率图像获得高分辨率 图像的估计。标准的图像插值程序利用一个连续函
数 拟 合 采 样 数 据，并 且 在 更 细 的 网 格 上 对 图 像 进 行
重采样。最 近 提 出 的 插 值 方 法 有 边 缘 导 向 （ＮＥＤ， ｎｅｗ ｅｄｇｅ－ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ）方 法［２５］、核 回 归 方 法（Ｋｅｒｎｅｌ ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ）方 法 和 ［２６］ 方 向 滤 波 与 数 据 融 合（ＤＦＤＦ，ｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌ ｆｉｌｔｅｒ ａｎｄ ｄａｔａ ｆｕｓｉｏｎ）方 法［２７］ 等。
·１９８· 光 电 子 · 激 光 ２０１２年 第２３卷
ｍｉｎ‖α‖０ｓ．ｔ．‖ｇ－ΦΨα‖２Ｌ２（Λ） ≤σ α∈ＣＭ２
（６）
其中：Λ 表示图像中 的 观 测 区 域，对 应 于 图 像ｇ 中 的
已知像素点；σ表示噪声水 平 的 常 数。 考 虑 到 求 解ｌ０
Ｉｍａｇｅ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ａｎｄ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ
ＷＡＮＧ Ｆａｎｇ＊
（Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｓｐａｃｅｆｌｉｇｈｔ ａｎｄ Ｍａｔｅｒｉａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｄｅｆｅｎｓｅ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ ４１００７３， Ｃｈｉｎａ）
ｓｐａｒｓｉｔｙ ｏｆ ｉｍａｇｅｓ Leabharlann Baiduｅｃｏｍｐｏｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｘ ｗａｖｅｌｅｔ．Ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ａｎｄ ｒｅａｌ ｉｍａｇｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｉｍａｇｅ ｉｎｐａｉｎｔｉｎｇ；ｉｍａｇｅ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ；ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ（ＣＳ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｓｔｕｄｉｅｓ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｉｍａｇｅ ｉｎｐａｉｎｔｉｎｇ ａｎｄ ｉｍａｇｅ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ．Ｂｙ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｉｎｇ ｔｈｅ ｉｎｐａｉｎｔｉｎｇ ａｎｄ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｓｃｈｅｍｅ ｏｆ ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ，ｗｅ ｅｓｔａｂｌｉｓｈ ａ ｎｅｗ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｉｎｐａｉｎｔｉｎｇ ａｎｄ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ，ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌ ｉｎ ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ． Ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｉｓ ｎｅｗ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌ，ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｇｉｖｅｓ ａｎ ｉｔｅｒａｔｅｄ ｈａｒｄ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ
微分方程模型［２２］、形态学模 型 和 ［２３］ 基 于 快 速 匹 配［２４］
模 型 （ＦＭＭ，ｆａｓｔ ｍａｔｃｈｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ）。
模 型 （３）可 以 转 换 为 观 测 方 程
ｇ ＝ Ｐｅｆ＋ε
（４）
其中：Ｐ 为采样矩阵，其 维 数 与 图 像 维 数 相 同；ｅ表 示
矩阵中元素与元 素 的 乘 积，即 ＡｅＢ＝（Ａｉ，ｊ·Ｂｉ，ｊ），对
范数最小问题 表 现 为 ＮＰ 问 题，将 其 转 化 为ｌ１ 范 数
求解 ｍｉｎ‖α‖１ｓ．ｔ．‖ｇ－ΦΨα‖２Ｌ２（Λ） ≤σ
α∈ＣＭ２
进 一 步 ，引 入 正 则 化 参 数λ，将 模 型 （７）转 化 为
（７）
ｍｉｎＪ（α）＝ ‖ｇ－ΦΨα‖２Ｌ２（Λ）＋λ‖α‖１ （８） α∈ＣＭ２
１ 引 言
图像在获取过程中不可避免受到多种因素的影响， 导致获取的图像质量下降。图像后处理旨在消除这些 因素的影响，恢复和重构出一幅清晰的图像。在图像处 理过程中，对图 像 的 建 模 受 到 重 视，好 的 图 像 模 型 能 取 得更优的 图 像 处 理 效 果。 变 分、偏 微 分 方 程、小 波 和 随 机方法等 常 用 于 图 像 的 建 模［１］。 总 变 分 方 法 基 于 图 像 的有界变差（ＢＶ，ｂｏｕｎｄｅｄ ｖａｒｉａｔｉｏｎ）性质，由 Ｒｕｄｉｎ等［２］ 引入到图像处理中。偏微分方程方法基于自然图像的 连续和分片连续性，由 Ｗｉｔｋｉｎ［３，４］引入图像处理中。此 外，小波、Ｂａｙｅｓ以及 Ｍａｒｋｏｖ随机场理论也在图像处理 中得到广泛的应用。 １９９６ 年，Ｏｌｓｈａｕｓｅｎ 等［５］在 Ｎａｔｕｒｅ杂 志 上 发 表 文 章，指出哺乳动物视觉皮层对图像特征的表达 是稀疏 的。此后，关于 图 像 的 稀 疏 建 模 的 研 究 受 到 广 泛 关 注，
相继提出了优秀的稀疏表示图像的工具（如 Ｃｕｒｖｅｌｅｔ［６］、 Ｂａｎｄｅｌｅｔ［７］等）以及图像的稀疏表示方法（如基追踪（ＢＰ， ｂａｓｉｓ ｐｕｒｓｕｉｔ）［８］和 匹 配 追 踪 （ＭＰ，ｍａｔｃｈｉｎｇ ｐｕｒｓｕｉｔ）［９］ 等）。信号的稀疏性通常用ｌ１ 范数度量，通过求解ｌ１ 范 数最小这一凸优化问题获得信号的稀疏表示 。 ［１０～１２］ 图 像的稀疏表 示 方 法 在 图 像 去 噪［１３］、复 原［１４］以 及 压 缩［１５］ 等图像处理的多个领域得到应用。 以稀疏表示为基础 发 展 起 来 的 压 缩 感 知 （ＣＳ）理 论 是近年关于图像获取的一种新方法，它能够以较少的采 样数据重构原始图像。ＣＳ理论的主要研究内容包括投 影测量方法、可重构条件以及图像重构方法等等。
于像素点（ｉ，ｊ），若 （ｉ，ｊ）∈Λ，则 Ｐｉ，ｊ＝１，否 则 Ｐｉ，ｊ＝
０；ε 对 应 观 测 噪 声 ，本 文 假 设 为 高 斯 白 噪 声 。
很 显 然 ，式 （４）可 转 化 为
ｇ ＝ Φｆ ＋ε
（５）
其中 Φ 为投影 测 量 矩 阵，其 中 的 每 一 行 元 素 中 有 且
图像插值问题可分为规则采样数据与非规则采 样数据的插值２种。以下针对规则采样数据的插值
问题，考虑将其转 化 为 信 号 重 构 问 题。 为 方 便 起 见，
考虑２倍插值，此 时 观 测 图 像 ｇ 的 维 数 为 高 分 辨 率 图像ｆ 维数的１／４。将图像拉成列向量，可建立与式 （５）相同的 观 测 方 程，其 中 ｇ 为 低 分 辨 率 图 像，Φ 对 应ｇ 中像素 在ｆ 中 的 位 置。 对 于 ２ 倍 插 值 问 题，Φ 为（Ｍ２／４）×Ｍ２ 测量矩阵。
本文针对图像修复和插值等图像处理问题进行研 究，利用 ＣＳ理论构造相应的重构处理模型。值得注意 的是，本文是将原有的插值模型和修复模型在 ＣＳ的框 架下进行转换，使之变成 ＣＳ中的信号重构问题，进而利 用迭代硬 阈 值 算 法 求 解 该 模 型 获 得 重 构 图 像 的 估 计。
＊ Ｅ－ｍａｉｌ：ｆａｎｇｗ１９８１－２０１０＠１６３．ｃｏｍ 收稿日期：２０１１－０１－１４ 修订日期：２０１１－０６－２２ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（６０８０２０７９）、中国博士后科学基金资助项目（２００８０４４０２１８）
第１期 王 芳：基于压缩感知的图像处理与重构方法 ·１９７·
这种方法巧妙地将 ＣＳ领域的研究方法迁移到图像修复 和插值等图像处理问题中，提供了图像修复和插值等处 理问题一个新的研究途径。仿真和实测数据结果验证 了本文方法的有效性。
２ ＣＳ
ＣＳ作为一种新的采样理论，由 Ｃａｎｄèｓ等人［１６～２０］提
型为
ｍｉｎ‖α‖０ｓ．ｔ．，ｙ＝ Φｕ ＝ ΦΨα α∈ＣＭ２
（１）
其中ｙ为观测数据（Ｋ 维列向量），Φ 为Ｋ×Ｍ２（Ｋ＝Ｍ２）
的投影 测 量 矩 阵。模 型 （１）的 求 解 表 现 为 ＮＰ－问 题，
Ｃａｎｄèｓ等通过求解凸优化模型
ｍｉｎ‖α‖１ｓ．ｔ．，ｙ＝ ΦΨα α∈ＣＭ２
获得表示系数的估计［１５］。
出：当信号稀疏 或 可 压 缩 时，可 通 过 对 信 号 的 少 量 测 量
来获得该信号的重构。ＣＳ理论自提出以来即引起高度
关注，并在多个领域取得成功应用。
ＣＳ理论基于图像表示的稀疏性，将图像ｕ（Ｍ２ 维的
列向量）在稀疏表示基 Ψ 上进行分解，通过估计ｕ 在该
组基上的表示系数α 获得图像的估计。其信号重构模