高一数学必修1函数的单调性和奇偶性的综合应用
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高一数学必修1 函数的单调性和奇偶性的综合应用
对称有点对称和轴对称:
数的图像关奇函于原点成点对称,偶函数的图像关于y 轴成轴对称图形。
1、函数的单调性:应用:若()y f x =是增函数,12()()f x f x > ⇒ 1x 2x
应用:若()y f x =是减函数,12()()f x f x > ⇒ 1x 2x 相关练习:若()y f x =是R 上的减函数,则(1)f 2(22)f a a ++
2、熟悉常见的函数的单调性:y kx b =+、k y x =
、2y ax bx c =++ 相关练习:若()f x ax =,()b g x x
=-在(,0)-∞上都是减函数,则2()f x ax bx =+在(0,)+∞上是 函数(增、减)
3、函数的奇偶性:
定义域关于原点对称,()()f x f x -= ⇒ ()f x 是偶函数
定义域关于原点对称,()()f x f x -=- ⇒ ()f x 是奇函数
(当然,对于一般的函数,都没有恰好()()f x f x -=±,所以大部分函数都不具有奇偶性) 相关练习:(1)已知函数21()4f x ax bx a b
=+++是定义在[1,2]a a -上的奇函数,且(1)5f =,求a 、b
(2)若2
()(2)(1)3f x K x K x =-+-+是偶函数,则()f x 的递减区间是 。
(3)若函数()f x 是定义在R 上的奇函数,则(0)f = 。
(4)函数()y f x =的奇偶性如下:画出函数在另一半区间的大致图像 O
点对称:对称中心O 轴对称:
4、单调性和奇偶性的综合应用 【类型1 转换区间】
相关练习:(1)根据函数的图像说明,若偶函数()y f x =在(,0)-∞上是减函数,则()f x 在(0,)+∞上是 函数(增、减)
(2) 已知()f x 为奇函数,当0x >时,()(1)f x x x =-,则当0x <时,()x =
(3)R 上的偶函数在(0,)+∞上是减函数,3()4
f - 2(1)f a a -+ (4)设()f x 为定义在((,)-∞+∞上的偶函数,且()f x 在[0,)+∞为增函数,则(2)f -、()f π-、 (3)f 的大小顺序是( )
A. ()(3)(2)f f f π->>-
B. ()(2)(3)f f f π->->
C. ()(3)(2)f f f π-<<-
D. ()(2)(3)f f f π-<-<
(5)如果奇函数()f x 在区间[3,7]上的最小值是5,那么()f x 在区间[7,3]--上( )
A. 最小值是5
B. 最小值是-5
C. 最大值是-5
D. 最大值是5
(6)如果偶函数()f x 在[3,7]上是增函数,且最小值是-5那么()f x 在[7,3]--上是( )
A. 增函数且最小值为-5
B. 增函数且最大值为-5
C. 减函数且最小值为-5
D. 减函数且最大值为-5
(7) 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(,0)-∞上()f x 是单调增函数,那么当10x <,20x >且120x x +<时,有( )
A. 12()()f x f x ->-
B. 12()()f x f x -<-
C. 12()()f x f x -=-
D. 不确定
(8)如果()f x 是奇函数,而且在开区间(,0)-∞上是增函数,又(2)0f =,那么()0x f x ⋅< 的解是( )
A. 20x -<<或02x <<
B. 20x -<<或2x >
C. 2x <-或02x <<
D. 3x <-或3x >
偶函数奇函数奇函数奇函数
(9) 已知函数()f x 为偶函数,x R ∈,当0x <时,()f x 单调递增,对于10x <,20x >,
有12||||x x <,则( )
A. 12()()f x f x ->-
B. 12()()f x f x -<-
C. 12()()f x f x -=-
D. 12|()||()|f x f x -<-
5、单调性和奇偶性的综合应用 【类型2 利用单调性解不等式】
相关练习:(1)已知()y f x =是(3,3)-上的减函数,解不等式(3)(2)f x f x +>-
(2)定义在(1,1)-上的奇函数()f x 是减函数,且满足条件(1)(12)0f a f a -+-<,求a 的取值范围。
(3)函数()y f x =是[2,2]-上的偶函数,当[0,2]x ∈时,()f x 是减函数,解不等式(1)()f x f x -<。
(4)已知()f x 是定义在(1,1)-的偶函数,且在(0,1)上为增函数,若(2)(3)f a f a -<-,求a 的取值范围。
(5)已知函数()f x 是R 上的奇函数且是增函数,解不等式(45)0f x -+>。
(6)()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数,且()()()x
f f x f y y
=-。①求(1)f 的值;②若(6)1f =,解不等式1(3)()23
f x f +-<。 (7)R +
上的增函数满足()()()f xy f x f y =+,且(8)3f =,解不等式(2)(2)f f x +-≥6。
思考题:
已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 、y 恒有()()()f x f y f x y +=+,且当0x >时,()0f x <,又2(1)3
f =-。 (1) 求(0)f ;(2)求证()f x 为奇函数;(3)求证()f x 为R 上的减函数;(4)求()f x 在[3,6]-上
的最小值与最大值;(5)解关于x 的不等式11(2)()()()22
f bx f x f bx f b ->-,(2)b >。
补充:函数()f x 对任意的m 、n R ∈,都有()()()1f m n f m f n +=+-,且当0x >时,()1f x >。(1)求证:()f x 在R 上是增函数;(2)若(3)4f =,求解不等式2(5)2f a a +-<。