Inner Product Space - 高等代数厦门大学精品课程

i =1 j = 1
第九章 内积空间 Inner Product Space
§9.1 目的与要求
• 掌握内积、内积空间的概念 • 熟练掌握欧氏空间的度量概念，如长 度、距离、夹角、正交等 • 熟练掌握Cauchy­Schwarz不等式、三角 不等式的含义及应用
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（实）内积空间
• 定义:设V是R上线性空间,存在映射( ,): V ´ V ® R , 使得对任意x, y, z∈ V, c∈R,有 对称 (1). ( x, y) = ( y, x) 线性 (2). ( x + y, z) = ( x, z) + ( y, z) 非负 (3). ( cx, y) = c ( x, y) (4). ( x, x) ≥ 0.且等号成立当且仅当x = 0. 则称在V上定义内积( , ). V称为内积空间. 有限维实内积空间称为Euclid空间(欧氏空间).
n n n n n n 2 ( a x y ) å å ij i j £ ( å å a ij x i x j )( å å a ij y i y j ) i = 1 j = 1 i = 1 j = 1
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内积空间_5
• 注5: 若a1 , a 2 , ..., a m 两两正交, 即 (a i , a j ) = 0, "i ¹ j 则 1) a1 ^ k2a 2 + ... + k ma m 2 2 2 2 2) a1 + a 2 + ... + a m = a1 + a 2 + ... + a m • 注6: x称为单位向量, 若 x = 1. 一般地, 若 x≠0, 则x/|| x||是单位向量(称把x单位化). • 注7: Cauchy­Schwarz不等式具体形式:
( x , y ) cos q = x y
( x , y ) cos q = x y
当V是复空间时, 定义x, y的夹角θ的余弦为: 当( x, y) = 0时, 称x与y正交, 记x⊥y.
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内积空间_4
在Rn ×1 中 • 注1: x=0时, 对任意y, (x, y)=0; 反之, 若对任 意y, 都成立(x, y)=0, 则x=0. 即只有零向量和 自己正交; 只有零向量的长度为0; • 注2: ||x+y||= ||x||+||y||óx和y同向或有一为0; • 注3: (x, y)=||x||||y||cosθ, 其中θ为x与y的夹 角(内积几何意义); • 注4: x⊥y时, (x,y)=(y,x)=0, ||x+y||2 =||x||2 +||y||2 (勾股定理);
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（复）内积空间
• 定义:设V是C上线性空间,存在映射( , ): V ´ V ® R
使得对任意x, y, z∈V, c∈C,有 (1). ( x , y ) = ( y , x ) (2). (x + y, z) = (x, z) + ( y, z) (3). (cx, y) = c ( x, y) (4). (x, x) ≥ 0.且等号成立当且仅当 x = 0. 则称在V上定义内积( , ). V称为复内积空间. 有限维复内积空间称为酉空间. • 注1:对任意实数a, a = a , 所以复内积空间与实内 积空间的定义是一致的, 统称为内积空间. ) • 注2:在复内积空间中, ( x , cy ) = c ( x , y
i = 1,2
非线性, 非内积 未必非负, 非内积
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3) ( x , y ) = x1 + x2 + y1 + y 2
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例子
• 例3: 设 f ( x ), g ( x ) Î c[a , b ] , 定义 b ( f , g ) = ò f ( x ) g ( x )dx a 则c[a, b]是无限维内积空间. n ´1 "x , y Î R , 定义 • 例4: 设G为n阶正定阵, 对 ( x , y ) = x ' Gy 则Rn ×1 是R上n维欧氏空间. G=I即例1. • 例5: Rn ×n 上定义(A, B) = tr(A’B), 是欧氏空 间么? 若是, 它是几维的?
( x1 y1 + ... + xn yn ) £ ( x
b 2 b a a
2
2 1
+ ... + x )( y + ... + y )
2 b a
2 n
2 1
2 n
( ò f ( x ) g ( x )dx ) £ ò f ( x )dx ò g 2 ( x )dx
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例子
1 • 例1: Rn ×1 是n维欧氏空间, 若 "x , y Î R n ´, 定义 内积如下: ( x , y ) = y¢x = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn y n
例子
• 例6: 证明下列不等式成立
n n n n n n 2 2 2 ( a b ) £ ( a )( b 1) å å ji ji å å ji å å ji ) i =1 j = 1 i =1 j =1 i = 1 j =1
2) 若A=(a 是(对称)正定阵, 则 ij) n×n
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(实)内积空间_2
• 定义:设V实内积空间, 设 x, y∈V, 定义x的长度为: x = ( x , x ) 定义x与y的距离为: d ( x , y ) = x - y 当V是实空间时, 定义x, y的夹角θ的余弦为:
内积空间_3
• 定理:设V是实的或复的内积空间,设x, y∈V, c为常数(实数或复数), 则 (1) cx = c x (2) (Cauchy­Schwarz不等式)
( x , y ) £ x y
当且仅当x, y线性相关时, 等号成立. (3) (三角不等式)
x + y £ x + y
例子
x y æ ö æ 1 1 ö 2 × 1 • 例2: R 上对 "x = ç ÷ , y = ç ÷ è x2 ø è y 2 ø 1) ( x , y ) = x1 y1 - x2 y1 - x1 y2 + 4 x2 y 2
是内积 2) ( x , y ) = max(| xi |,| y i |)
该内积称为Rn ×1 上的标准内积. n ´1 n × 1 C 是n维酉空间, 若 "x , y Î C , 定义内 积如下: ( x , y ) = y¢x = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn y n 该内积称为Cn ×1 上的标准内积.
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