磁场的“高斯定理” 磁矢势

∫ a ⋅ dl =a ( p)dl = ∫∫ B ⋅ dl
z L S
？
计算通过L 计算通过L的通量
场点P和回路L 场点P和回路L在ϕ＝0 的平面内 通过L 的磁感应通量为： 通过 L 的磁感应通量为 ：
µ 0 Idl1dl ∞ sin θdρ dΦ B = 4π ∫ρ r2
0
P点坐标 ： ρ 0、、 z 0 0
L La Lb LC Ld
以电流元为轴, 以电流元为轴,取柱坐 标（ρ 、ϕ、z )
z
∫ a ⋅ dl = ∫ a ⋅ dl + ∫ a ⋅ dl + ∫ a ⋅ dl + ∫ a ⋅ dl = ∫ a ⋅ dl = a ( p)dl
Lb
La ⊥ a, Lc ⊥ a, Ld → ∞
只有这一段 积分有贡献
dρ处的 z ≈ z 0
µ 0 Idl1 sin θ r = z 0 / cos θ , ρ = z 0 tan θ , dρ = z 0 dθ / cos 2 θ dB = 4π r2
µ 0 Idl1dl π / 2 µ 0 Idl1dl µ 0 Idl1dl dΦ B = ∫θ sin θdθ = 4πz0 cos θ 0 = 4πr0 4πz0
r>R：导线外部同例题9，取Q点在导体表面，外 ：导线外部同例题 ， 点在导体表面， 点在导体表面 部任意点P与 点的矢势差为 部任意点 与Q点的矢势差为 µI
r = R, Az ( R) = − 4π
0
µ0 Il 0 µ 0 Ir 2l Φ B = l ∫ Bdr = rdr = − 2 ∫r r 2πR 4πR 2 µ0 Ir 2 [ Az (r ) − Az (0)] = Az (r ) = − ,r < R 2 4πR
1
1
假如电流在载流截面上不均匀分布 µ0 j (r' )dV' A( p) = 4π ∫∫∫ r V
矢势公式的应用举例
例题9：一对平行无限长直导线， 例题 ：一对平行无限长直导线，载 有等量反向电流I 有等量反向电流I
先求一根无限长直导线的磁矢势（如图） 先求一根无限长直导线的磁矢势（如图）
• • • • 设矢势A只有z 设矢势A只有z分量 无限长——Az与z无关 无限长 A 轴对称——Az与ϕ无关 轴对称 A 只是ρ的函数： Az只是ρ的函数： Az＝ Az(ρ) ρ 取回路
∫∫ B ⋅ d S = ∫∫ B ⋅ d S − ∫∫ B ⋅ d S = 0
S S1 S2
⇒ ∫∫ B ⋅ d S = ∫∫ B ⋅ d S
S1 S2
磁通量仅由 的共同边界线所决定
可能找到一个矢量A，它沿L 可能找到一个矢量 ，它沿 作线积分等于通过S的通量 作线积分等于通过 的通量
∫ A ⋅ dl = ∫∫ B ⋅ dS
单个电流元Idl的磁感应线： 单个电流元 的磁感应线：以dl方向为轴线的一 的磁感应线 方向为轴线的一 系列同心圆，圆周上B 处处相等； 系列同心圆，圆周上 处处相等；
µ 0 Idl sin θ dB = 2 4π r
考察任一磁感应管(正截面为) 考察任一磁感应管(正截面为)， 取任意闭合曲面S 取任意闭合曲面 S ， 磁感应管 穿入S一次， 穿入S一次，穿出一次。
∇ ⋅ (∇ × A) = 0
B = ∇× A
其实标势也不唯 一，零点可选
满足 B = ∇ × A的 A不唯一
如：对于任意标量场ϕ的梯度∇ϕ，有 ∇ × ∇ ϕ = 0 对于任意标量场ϕ的梯度∇ϕ， ∇ϕ
∇ × ( A + ∇ϕ ) = ∇ × A + ∇ × ∇ × ϕ = ∇ × A = B
描述同一个磁感应强度B 描述同一个磁感应强度
− dS1 cosθ1 = dS 2 cosθ 2 = dS
dΦ B1
µ 0 Idl sin θ µ 0 Idl sin θ = d B1 ⋅ d S 1 = dS1 cosθ 1 = − dS 2 2 4π 4π r r
2
µ 0 Idl sin θ µ 0 Idl sin θ dΦ B = d B 2 ⋅ d S 2 = dS 2 cosθ 2 = dS 2 2 4π r 4π r
叠加得P 叠加得 点总矢势
+ − − ρQ ρ Q µ0 I ρ P µ0 I ρ − µ0 I [ Az ( P) − Az (Q)] = ln + = ln ln + − ln − = 2π ρ P ρ P 2π ρ P 2π ρ +
例题10：无限长圆柱型导体，半径为 ， 例题 ：无限长圆柱型导体，半径为R，载有在 界面上均匀分布的电流I， 界面上均匀分布的电流 ，求磁矢势 r<R：导线内部 点，取Q点在导体轴线上，取 点在导体轴线上， ：导线内部P点 点在导体轴线上 回路如图， 回路如图，通过回路的磁通量
∫ A ⋅ dl = ∫ A ⋅ dl + ∫ A ⋅ dl + ∫ A ⋅ dl + ∫ A ⋅ dl = ∫ A ⋅ dl + ∫ A ⋅ dl
L La Lb LC Ld
Q
Lb
Ld
= [ Az ( P ) − Az (Q)]l = l ∫
求磁通量
ρQ
ρP
µ0 Il ρ dρ µ 0 Il ρ Q Bdρ = ∫ρ ρ = 2π ln ρ P 2π
有的穿入又穿出， 有的穿入又穿出，有上述结论 有的没穿过S 有的没穿过S，磁通量为零
磁高斯定理的微分形式
利用数学的高斯定理
Φ B = ∫∫ B ⋅ d S = 0
S
∇⋅B = 0
∫∫∫ ∇ ⋅ BdV = 0
V
说明恒磁场的散度为零——无源场 无源场 说明恒磁场的散度为零
磁矢势
∫∫ B ⋅ d S = 0
dΦ B = dΦ B1 + dΦ B2 = 0
结论：任一磁感应管经闭合曲面S 结论：任一磁感应管经闭合曲面S的磁通量为零
推广到任意载流回路的磁场
一个电流元产生的磁场可看成由许多磁 一个电流元产生的磁场可看成由许多磁 感应管组成 任意载流回路——由许多电流元串联而 由许多电流元串联而 任意载流回路 成，由叠加原理得 结论：通过磁场中任一闭合曲面S 结论：通过磁场中任一闭合曲面S的总 磁通量恒等于零。 磁通量恒等于零。
0
µ0 I r µ 0 I µ0 I r 1 [ln + ], r > R [ Az (r ) − Az ( R)] = − ln − =− 2π R 4π 2π R 2
求矢势小结
∫ A ⋅ dl = ∫∫ B ⋅ dS
L S
(a )
依据公式(a)求矢势的基本步骤 依据公式 求矢势的基本步骤
Baidu Nhomakorabea
以上几个例子（例题 自己看 自己看） 以上几个例子（例题11自己看）都属于强对称性 实际上是已知B求 ， 场，实际上是已知 求A，也可以直接根据电流 分布求矢势——更多的问题在电动力学中学习 分布求矢势 更多的问题在电动力学中学习 相关的习题很少， 相关的习题很少，掌握这种方法
S
∇ ⋅ B = 0 无源场
∇ × B = j 有旋场
∫ B ⋅ dl = µ ∑ I
0 L L内
非保守场一般 不引入标势
然而磁场的主要特征：无源（无散） 然而磁场的主要特征：无源（无散）—— 磁高斯定理 更根本的意义 的意义： 其更根本的意义：使我们可能引入磁矢势
磁高斯定理表明： 磁高斯定理表明：对任意闭合面
0
∫∫ B ⋅ dl = ∫ a ⋅ dl =a z ( p)dl
S L
消去dl 消去
µ0 Idl1 az ( p) = 4πr0
a ( p)与dl1同向
µ0 Idl1 a ( p) = 4πr0
上式为电流元所产生的磁场中矢势的 一个表达式 ——矢势表达式不唯一 矢势表达式不唯一 任意闭合载流回路L 任意闭合载流回路L 在空间某点的矢势 电流在导 µ 0 I dl1 线截面上 电流回路 A( p) = ∫) r 均匀分布 4π ( L
L S
(a )
数学上可以证明，这样的矢量 的确存在 的确存在， 数学上可以证明，这样的矢量A的确存在， 对于磁感应强度B， 叫做磁矢势， 在空间 叫做磁矢势 对于磁感应强度 ，A叫做磁矢势，A在空间 的分布也构成矢量场，简称矢势 的分布也构成矢量场，简称矢势
根据矢量分析
对任意矢量A 对任意矢量A有 矢势的特点
p145 2-20(3)、2－21（3） 、 － （ ）
根据对称性， 根据对称性，假设一个矢势的方向 取闭合回路，注意矢势零点的选取（原则： 取闭合回路，注意矢势零点的选取（原则：或可提出 积分号，或积分好算） 积分号，或积分好算） 算出通过回路的磁通量 得出A 得出 一个表达式
P
一根无限长导线在空间任一两点之间的矢势差
ln Q [ Az ( P) − Az (Q)] = 2π ρ+ P − ρQ µ0 I − − [ Az ( P) − Az (Q)] = − 2π ln ρ − ＋ P
µ0 I ρQ [ Az ( P) − Az (Q )] = ln 2π ρP 两根无限长载流直导线的磁矢势 矢量叠加（如图） 矢量叠加（如图） 取Q + + µ0 I ρ 零点 +
A 规范变换 ：' = A + ∇ϕ
类似于电势零点可以任取， 类似于电势零点可以任取，规范也可任意选取 通常选库仑规范: ∇⋅A=0 通常选库仑规范: ∇⋅
找电流产生的磁场中 磁矢势的表达式
两种办法
利用对称性由
∫ A ⋅ dl = ∫∫ B ⋅ dS得出
L S
普通物理 的方法 电动力学的做法
由B = ∇ × A和∇ ⋅ A = 0 ⇒ A的表达式
磁场的“高斯定理” 磁场的“高斯定理” 磁矢势
磁通量
任意磁场， 任意磁场，磁通量定义为
Φ B = ∫∫ B ⋅ d S
S
磁感应线的特点： 磁感应线的特点：
环绕电流的无头无尾的闭合线或伸向无穷远
Φ B = ∫∫ B ⋅ d S = 0
S
磁高斯定理 无源场
磁高斯定理
通过磁场中任一闭合曲面S 通过磁场中任一闭合曲面S的总磁通量恒等 于零 证明： 证明：
电流元的磁矢势 任意闭合回路的磁矢势 例题9 例题9 例题10 例题10 例题11 例题11 p112式（2.55) p112式 式（2.56)
取闭合环路L 取闭合环路
电流元的磁矢势
设磁矢势a与电流元平行 设磁矢势 与电流元平行 （因为对矢势变换规范可 以任选，选库仑规范∇⋅ ∇⋅A=0 以任选，选库仑规范∇⋅ 的结果） 只有z分量 的结果）——a只有 分量 只有