广义相对论_ppt02
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广义相对论_数学基础 3
2018/10/22
张量（tensor）
张量: 是几何与代数中的基本概念之一。 从代数角度讲， 它是向量的推广。向量可以看成一维的“表格”（即 分量按照顺序排成一排）， 矩阵是二维的“表格”（分量按照纵横位 置排列）， 那么n阶张量就是所谓的n维的“表格”。 张量的严格定 义是利用线性映射来描述的。 从几何角度讲， 它是一个真正的几何量，也就是说，它是一个不随参 照系的坐标变换而变化的东西。向量也具有这种特性。 有时候，人们直接在一个坐标系下，由若干个数（称为分量）来表示 张量，而在不同坐标系下的分量之间应满足一定的变换规则（如协变 规律，逆变规律），如矩阵、多变量线性形式等都满足这些规律。一 些物理量如弹性体的应力、应变以及运动物体的能量动量等都需用张 量来表示。在微分几何的发展中，高斯、黎曼、克里斯托朵夫等人在 19世纪就导入了张量的概念，随后由里奇及其学生列维齐维塔发展成 张量分析，爱因斯坦在其广义相对论中广泛地利用了张量。 标量可以看作是0阶张量，矢量可以看作一阶张量。 张量中有许多特殊的形式，比如对称张量、反对称张量等等。
“产生这个理论的基础是这样一种信仰，即相信惯性质量 同引力质量成正比是准确的自然规律，它应当在理论物理 的原理中找到它自身的反映。”——爱因斯坦
“广义协变原理的意义在于它关于引力效应的表述，即一 个物理方程如果在没有引力时是正确的，由于它的广义协 变，在有引力场时也是正确的。” ——温伯格
2018/10/22
2018/10/22 广义相对论_数学基础 5
二. 张量分析 2.1 逆变和协变四元张量
.
逆变四元矢量 线元由四个“分量”
来定义的，这些分量的变换规则
这些 表示为 的线性齐次函数；因此把这些坐标微分看成是 一种“张量”的分量，这种张量称为逆变四元矢量。 凡是对于坐标系用四个量 来定义，并且以同样的规则
广义相对论_数学基础
百度文库
1
第二章
广义相对论的数学基础
第一节.广义协变原理的基本思想 第二节.张量分析 第三节.黎曼几何
2018/10/22
广义相对论_数学基础
2
一. 广义协变原理的基本思想
广义协变原理要求物理方程组对于坐标的任何代换都必须是协变的。 协变（covariant）：一个物理定律以某方程式表示时，若在不同的 坐标中，该方程式的形式一律不变，则称该方程式为协变。 那么怎样才能得到这种广义协变方程？ 广义协变原理的基本思想： 设对于任一坐标系，有某些东西（“张量”）是用一些叫做张量“分 量”的空间函数来定义的。如果这些分量对于原来的坐标系是已知的 ，而且联系原来的和新的坐标系之间的变换也是已知的，那么就存在 一些确定的规则，根据这些规则可算出关于新坐标系的分量。这些后 面称为张量的东西，由于它们的分量的变换方程都是线性的和齐次的 ，而进一步显示其特征。由此可知，如果全部分量在原来的坐标系中 都等于零，那么它们在新坐标系中也都全部等于零。所以，如果有一 自然规律，它是由一个张量的一切分量都等于零来表述的，那么它就 是广义协变的。 因此，通过对张量形成规则的考查，我们就得到了建立广义协变定律 的方法。
2018/10/22 广义相对论_数学基础 4
仿射空间
为何引入仿射空间？
仿射空间是数学中的几何结构, 这种结构是欧式空间的仿射特性的推广。在仿 射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点，但是 点与点之间不可以做加法。（维基百科） 向量空间的对象是向量。这里的关键在于，向量空间有一个原点，所以向量空 间中连点也可以看成一个向量（从原点出发指向该点的矢量）。 “在仿射空间里，点和向量是基本的概念，无需用逻辑方法再定义。当然，这 不是说点和向量没有实在的内容。例如向量就可理解为速度和力等。考察一个点和 向量的集合，它满足以下公理（1）至少存在一个点。（2）任意给定一对有顺序的 点A和B，对应一个且仅对应一个向量。通常记此向量为AB。... （略）” 可见，点在仿射空间中有独立的地位，即便是存在点和矢量的对应也得是两个 有序点。之所以是这样，是因为仿射空间里没有原点。 举个例子，某空间中有两个点，如果是在向量空间，则我们可以对两个点加减， 即两个点对应与原点相连的矢量按照平行四边形法则加减，从而得到第三个点。然 而在仿射空间中，两个点的加减是没有意义的，但两点之间的距离可以计算，距离 是个不变量，独立于坐标系。 引入仿射空间的原因是要对独立于坐标系的不变量进行描述，它实际上放宽了 向量空间的要求，从而促使人们在更一般的空间上研究某些不变的性质。这就像欧 氏空间的假设被放宽后使得我们开始研究更一般的非欧几何一样。仿射空间是张量 代数和张量分析的基础。
（2.1.5） （2.1.6）
2018/10/22
广义相对论_数学基础
8
2.1 二阶和更高阶的张量
任意阶的张量：三阶或m阶的张量分别可用43或4m个分量来定义。 逆变四元矢量可看成一阶逆变张量；协变四元矢量为一阶协变张量。 标量（不变量）：可看成零阶的逆变张量或零阶的协变张量。 协变张量与逆变张量之间的区别在于变换规则：每一个指标的变换规 则与坐标微分的逆变换相一致。 指标的不同仅仅是为了符号上加以区分。
（2.1.1）
来变换的，称为逆变四元矢量。
2018/10/22 6
广义相对论_数学基础
2.1 逆变和协变四元张量
协变四元矢量 如果对于每个任意选取的逆变四元矢量
，有四个量
，使
不变量（标量）
则称 为一个协变四元矢量。 由上面的定义，可得出协变四元矢量的变换规则。 把下面的方程
右边的
代之以由方程（2.1.1）的反演变换，就得到
因为在上面方程中
是任意地自由选定的，由此得到变换规则
（2.1.2）
2018/10/22
广义相对论_数学基础
7
2.1 二阶和更高阶的张量
逆变张量：如果对两个逆变四元矢量的分量 个乘积
和
来构造所有16
（2.1.3）
那么，按照（2.1.3）和（2.1.1），得到变换规则
（2.1.4）
凡是对于任何参照系，用16个量（函数）来描述的，并且满足变换规 则（2.1.4）的，都称为二阶逆变张量。 注：不是每一个这种张量都是可以由两个四元矢量依照（2.1.3）式 来形成的。但任何二阶逆变张量都满足变换规则（2.1.4）。 协变张量：类似，可以构造二阶协变张量
2018/10/22
张量（tensor）
张量: 是几何与代数中的基本概念之一。 从代数角度讲， 它是向量的推广。向量可以看成一维的“表格”（即 分量按照顺序排成一排）， 矩阵是二维的“表格”（分量按照纵横位 置排列）， 那么n阶张量就是所谓的n维的“表格”。 张量的严格定 义是利用线性映射来描述的。 从几何角度讲， 它是一个真正的几何量，也就是说，它是一个不随参 照系的坐标变换而变化的东西。向量也具有这种特性。 有时候，人们直接在一个坐标系下，由若干个数（称为分量）来表示 张量，而在不同坐标系下的分量之间应满足一定的变换规则（如协变 规律，逆变规律），如矩阵、多变量线性形式等都满足这些规律。一 些物理量如弹性体的应力、应变以及运动物体的能量动量等都需用张 量来表示。在微分几何的发展中，高斯、黎曼、克里斯托朵夫等人在 19世纪就导入了张量的概念，随后由里奇及其学生列维齐维塔发展成 张量分析，爱因斯坦在其广义相对论中广泛地利用了张量。 标量可以看作是0阶张量，矢量可以看作一阶张量。 张量中有许多特殊的形式，比如对称张量、反对称张量等等。
“产生这个理论的基础是这样一种信仰，即相信惯性质量 同引力质量成正比是准确的自然规律，它应当在理论物理 的原理中找到它自身的反映。”——爱因斯坦
“广义协变原理的意义在于它关于引力效应的表述，即一 个物理方程如果在没有引力时是正确的，由于它的广义协 变，在有引力场时也是正确的。” ——温伯格
2018/10/22
2018/10/22 广义相对论_数学基础 5
二. 张量分析 2.1 逆变和协变四元张量
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逆变四元矢量 线元由四个“分量”
来定义的，这些分量的变换规则
这些 表示为 的线性齐次函数；因此把这些坐标微分看成是 一种“张量”的分量，这种张量称为逆变四元矢量。 凡是对于坐标系用四个量 来定义，并且以同样的规则
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第二章
广义相对论的数学基础
第一节.广义协变原理的基本思想 第二节.张量分析 第三节.黎曼几何
2018/10/22
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一. 广义协变原理的基本思想
广义协变原理要求物理方程组对于坐标的任何代换都必须是协变的。 协变（covariant）：一个物理定律以某方程式表示时，若在不同的 坐标中，该方程式的形式一律不变，则称该方程式为协变。 那么怎样才能得到这种广义协变方程？ 广义协变原理的基本思想： 设对于任一坐标系，有某些东西（“张量”）是用一些叫做张量“分 量”的空间函数来定义的。如果这些分量对于原来的坐标系是已知的 ，而且联系原来的和新的坐标系之间的变换也是已知的，那么就存在 一些确定的规则，根据这些规则可算出关于新坐标系的分量。这些后 面称为张量的东西，由于它们的分量的变换方程都是线性的和齐次的 ，而进一步显示其特征。由此可知，如果全部分量在原来的坐标系中 都等于零，那么它们在新坐标系中也都全部等于零。所以，如果有一 自然规律，它是由一个张量的一切分量都等于零来表述的，那么它就 是广义协变的。 因此，通过对张量形成规则的考查，我们就得到了建立广义协变定律 的方法。
2018/10/22 广义相对论_数学基础 4
仿射空间
为何引入仿射空间？
仿射空间是数学中的几何结构, 这种结构是欧式空间的仿射特性的推广。在仿 射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点，但是 点与点之间不可以做加法。（维基百科） 向量空间的对象是向量。这里的关键在于，向量空间有一个原点，所以向量空 间中连点也可以看成一个向量（从原点出发指向该点的矢量）。 “在仿射空间里，点和向量是基本的概念，无需用逻辑方法再定义。当然，这 不是说点和向量没有实在的内容。例如向量就可理解为速度和力等。考察一个点和 向量的集合，它满足以下公理（1）至少存在一个点。（2）任意给定一对有顺序的 点A和B，对应一个且仅对应一个向量。通常记此向量为AB。... （略）” 可见，点在仿射空间中有独立的地位，即便是存在点和矢量的对应也得是两个 有序点。之所以是这样，是因为仿射空间里没有原点。 举个例子，某空间中有两个点，如果是在向量空间，则我们可以对两个点加减， 即两个点对应与原点相连的矢量按照平行四边形法则加减，从而得到第三个点。然 而在仿射空间中，两个点的加减是没有意义的，但两点之间的距离可以计算，距离 是个不变量，独立于坐标系。 引入仿射空间的原因是要对独立于坐标系的不变量进行描述，它实际上放宽了 向量空间的要求，从而促使人们在更一般的空间上研究某些不变的性质。这就像欧 氏空间的假设被放宽后使得我们开始研究更一般的非欧几何一样。仿射空间是张量 代数和张量分析的基础。
（2.1.5） （2.1.6）
2018/10/22
广义相对论_数学基础
8
2.1 二阶和更高阶的张量
任意阶的张量：三阶或m阶的张量分别可用43或4m个分量来定义。 逆变四元矢量可看成一阶逆变张量；协变四元矢量为一阶协变张量。 标量（不变量）：可看成零阶的逆变张量或零阶的协变张量。 协变张量与逆变张量之间的区别在于变换规则：每一个指标的变换规 则与坐标微分的逆变换相一致。 指标的不同仅仅是为了符号上加以区分。
（2.1.1）
来变换的，称为逆变四元矢量。
2018/10/22 6
广义相对论_数学基础
2.1 逆变和协变四元张量
协变四元矢量 如果对于每个任意选取的逆变四元矢量
，有四个量
，使
不变量（标量）
则称 为一个协变四元矢量。 由上面的定义，可得出协变四元矢量的变换规则。 把下面的方程
右边的
代之以由方程（2.1.1）的反演变换，就得到
因为在上面方程中
是任意地自由选定的，由此得到变换规则
（2.1.2）
2018/10/22
广义相对论_数学基础
7
2.1 二阶和更高阶的张量
逆变张量：如果对两个逆变四元矢量的分量 个乘积
和
来构造所有16
（2.1.3）
那么，按照（2.1.3）和（2.1.1），得到变换规则
（2.1.4）
凡是对于任何参照系，用16个量（函数）来描述的，并且满足变换规 则（2.1.4）的，都称为二阶逆变张量。 注：不是每一个这种张量都是可以由两个四元矢量依照（2.1.3）式 来形成的。但任何二阶逆变张量都满足变换规则（2.1.4）。 协变张量：类似，可以构造二阶协变张量