线性方程组与矩阵

第一章 线性方程组与矩阵 课程教案

授课题目：第二节 矩阵概念与矩阵的初等变换 教学目的：1．掌握高斯消元法求解线性方程组．

2．理解矩阵的概念、运算及其性质，掌握矩阵的初等行变换．

教学重点：本章以课堂教学为主，使学生掌握矩阵的初等行变换，提高学生的逻

辑思维能力和计算能力．

教学难点： 初等行变换的运用． 课时安排：2学时．

授课方式：多媒体与板书结合． 教学基本内容：

§1.2 矩阵概念与矩阵的初等变换

1. 概念

对线性方程组

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=+++=+++=+++m

mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 322112

222212*********ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ (1) 其系数可用⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211表示． 定义1 m n ⨯个数排列成m 行（横向）、n 列（纵向）的矩形数表： 1112

12122212

n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫

⎪ ⎪

= ⎪

⎪⎝⎭

L L L L L L L

称为m n ⨯矩阵，简记为()ij m n A a ⨯=，其中ij a 为A 中第i 行第j 列的元素．如

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-5162120710903 是3行4列的矩阵．这里，3×4是个记号，表明矩阵有3行4列的事实而不能取乘积“12”．

2. 一些特殊的矩阵

1) 行矩阵——只有一行的矩阵． 例(12

5)A =．

2) 列矩阵——只有一列的矩阵． 例312B ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

． 3) 零矩阵——所有元素都等于0的矩阵．例000000C ⎡⎤

=⎢

⎥⎣⎦．

4) 同型矩阵——行数相同、列数也相同．例235176D ⎡⎤

=⎢

⎥

⎣⎦

与C 同型． 5) 当m n =时称 ()ij n n A a ⨯=为n 阶方阵；1122,,,nn a a a L 所在的对角线称为方阵的主对角线．

6) 主对角线下（上）方的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵．例⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡500230704为上三角阵；⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡5613035004为下三角阵． 7) 主对角线以外的元素全为零的方阵称为对角阵，记为⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡=n d d d D Λ

M M M Λ

Λ

00000021，简记为),,,(21n d d d diag D Λ=．

8) 数量阵——对角阵中(1)i d d i n =≤≤． 例300030003A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 9) 单位阵——数量阵中1d =，记以I 或E ．例100010001E ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

． 注 （1） 只有1列或1行的矩阵分别称为列矩阵或行矩阵，也被称为列向量或行向量．这

样，它们就有了矩阵和向量的双重“身份”．

作为向量，常用小写黑体字母a 、b 、……等标记之，向量的元也称为分量，一个向量

所含分量的个数称为维（是个数），如⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-213是个3维列向量，其实就是由3个数组成的一个有序数组．

n 维向量是n 个数的一个有序数组，亦即是个1n ⨯的列矩阵或1n ⨯的行矩阵． 列向量与行向量虽然只是写法上的不同，但我们还是与多数参考书一样约定：除非特别说明，说到向量一般均指列向量．行向量则被记作a T 或a ′ 等．

（2）n n ⨯矩阵也称为n 阶方阵或n 阶矩阵，而1阶矩阵被约定当作“数”（即“元”本身）对待，当然“数”是不能当作1阶矩阵来对待的．

对n 阶矩阵，后面要讨论其行列式、是否为可逆阵、转置伴随阵、及特征值与对角化等种种问题等．

（3）单位阵、对角阵、三角阵是特别简单的一些方阵，在今后讨论的基本运算中，它们各表现出一些简单特性，这就使它们在形成或训练解决问题的矩阵方法中都将有重要作用．

对线性方程组(1) ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=mn m n a a a a A ΛΛΛΛΛ1111称为(1)的系数矩阵，⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=m mn m n b a a b a a A ΛM M M M Λ11111称为(1)的增广矩阵．

3. 矩阵的行(列)初等变换

定义2 矩阵的行(列)初等变换：

(1) 对换矩阵的两行（列），用()ij ij r c 表示对换,i j 两行（列）的行（列）初等变换，即i j r r ↔（i j c c ↔）；

(2) 用非零数乘矩阵的某一行（列），用()(())i i r k c k 表示以0k ≠乘矩阵的第i 行（列）的行（列）初等变换，即()i i i i r kr c kc →→；

(3) 将矩阵的某行(列)乘以数k 再加入另一行（列）中去，用()(())ij ij r k c k 表示k 乘矩阵的第i 行（列）后加到第j 行（列）的行（列）初等变换，即()j i j i r kr c kc ++．

4. 矩阵的等价

定义 将矩阵A 的行经有限次初等变换化为B ，称A 与B 等价，记作~A B ．

5. 行阶梯形矩阵与最简形矩阵

定义3 若矩阵A 的零行（元素全为零的行）位于A 的下方，且各非零行（元素不全为零的行）的非零首元（第一个不为零的元素）的列标随行标的递增而严格增大，则称A 为行阶梯形矩阵．

定义4 若行阶梯形矩阵A 的各非零首元均为1，且各非零首元所在列的其余元素均为零，则称A 为最简形．

6. 用初等变换线性方程组的解

1) 将(1)的增广矩阵A 用行初等变换化为最简形； 2) 由最简形对应的方程组得到解．