大学物理,机械振动16-1-5 简谐运动能量
大学物理 振动
P
A
M
第三象限
第一象限
x
第四象限
注意：旋转矢量在第3象限 速度V〉0
第二象限
P
A
第三象限 M
第一象限
x
第四象限
注意：旋转矢量在第3象限 速度V〉0
第二象限
P
A
第三象限
M
第一象限
x
第四象限
注意：旋转矢量在第3象限 速度V〉0
第二象限
P
第三象限
A
M
第一象限
x
第四象限
注意：旋转矢量在第3象限 速度V〉0
第二象限
第三象限
第一象限
P
A
x
M
第四象限
注意：旋转矢量在第4象限 速度V〉0
第二象限
第三象限
第一象限
P
A
x
M
第四象限
注意：旋转矢量在第4象限 速度V〉0
第二象限
第三象限
第一象限
A
M Px
第四象限
注意：旋转矢量在第4象限 速度V〉0
第二象限
第三象限
第一象限
A
M Px
第四象限
第二象限 第三象限
t=t
51
一、同方向同频率的简谐振动的合成
1、解析法
x1=A1cos( t+ 1) x2=A2cos( t+ 2)
合振动 :
x x1 x2 A1 cos( t 1) A2 cos( t 2 )
(A1 cos1 A2 cos2) cos t (A1 sin1 A2 sin2)sin t
Acos
d 2t l
令 g l 2 则有：
d 2 2 0
【课件】 简谐运动及其图像 简谐运动回复力及能量 课件教科版(2019)选择性必修第一册
0（填“>”、“<”或“=”）。
a b
8.一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有一记录笔，在竖直面内放置一记
录纸。当振子上下振动时，以速率 v 水平向左拉动 记录纸，记录笔在
纸上留下如图所示的图像。y1、y2、x0、 2x0 为纸上印迹的位置坐标。
求该弹簧振子振动的周期和振幅。
1−2
2
9.如图所示，物体 A 和 B 用轻绳相连，挂在轻弹簧下静止不动，A 的
做简谐运动的物体受到总是指向平衡位置，且大小与位移成
正比的回复力的作用。
回复力数学表达式：F=-kx
（1）x是相对于平衡位置的位移、k是比例系数
（2）回复力大小与离开平衡位置的位移大小成正比，回复力方向与位移方向总是相反
（3）回复力F=-kx是判定振动物体是否做简谐运动的动力学判据
• 问题6：试证明竖直弹簧振子的运动是简谐运动？
• 当 Δφ 等于 π 的奇数倍时，两者运动的步调正好相反。同理，当 Δφ 等于 0 或 2π 的
整数倍时，两者同步振动，任意时刻的振动状态均相同。
根据一个简谐运动的振幅A、周期T、初相位φ0，可以 知道做
简谐运动的物体在任意时刻t的位移x是
= (
+ )
所以，振幅、周期、初相位是描述简谐运动特征的物理量。
• 假设重物所受的重力为 G，弹簧的劲度系数为 k，重物处于平衡位置时弹簧的伸
长量为 x1。则G = kx1
• 设重物向下偏离平衡位置的位移为 x 时，弹簧
的伸长量为 x2，则x = x2 - x1 取竖直向下为正方向。
• 则此时弹簧振子的回复力 F= G - kx2 = kx1 - kx2 = -kx
1、简谐振动的特征、能量
4
2
4
T
t
1 2 2 2 Ek m A sin t 2
1 2 E kA 2
简谐运动能量守恒，振幅不变 简谐运动势能曲线
Ep
C
E
A
O
B
Ek
Ep
x
A
x
能量守恒
推导
1 2 1 2 E mv kx 2 2
d 1 1 2 2 ( mv kx ) 0 dt 2 2 dv dx mv kx 0 dt dt
2
其解为∶
x A cos( t )
──谐振动的运动学方程 (简称振动方程)
x A cos( t )
运动学方程
描述作谐振动物体位置随时间变化的关系
dx v A sin(t ) dt
描述作谐振动物体振动速度随时间变化的关系
dv 2 a A cos(t ) dt
相位差只能在同频率的振动间比较 当 2n
当 （ 2n 1 ） 若 0
n 0, 1, 2
n 0, 1, 2
时
两振动步调相同，称同相
时
两振动步调相反，称反相
2 超前于 1 或 1滞后于 2
相位差反映了两个振动不同程度的参差错落
四、振幅和初相确定
波动篇
内容： 机械振动 机械波
波动光学
前
言
人们习惯于按照物质的运动形态，把经典物理学 分成力（包括声）、热、电、光等子学科。然而，某 些形式的运动是横跨所有这些学科的，其中最典型的 要算振动和波了。在力学中有机械振动和机械波，在 电学中有电磁振荡和电磁波，声是一种机械波，光则 是一种电磁波。在近代物理中更是处处离不开振动和 波，仅从微观理论的基石——量子力学又称波动力学 这一点就可看出，振动和波的概念在近代物理中的重 要性了。
16 简谐振动能量 振动合成
x x1 x2 A cos( t )
由几何关系得:
x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 ) A A1 A2
合振动的初相: A sin 1 A2 sin 2 arctan 1 A1 cos1 A2 cos2 用旋转矢量法推导: A2
x A1 cos( t 1 ) y A2 cos( t 2 )
x
讨论: 1) 2 1 kπ 时
x 2 y 2 2 xy 2 0 2 A1 A2 A1 A2
2) 2 1
x y 0 A A 2 1
2
y
A2 x, A1
1
1.相位差 2 1 2k
k=0, ±1, ±2, ±3, ……
x 合振幅加强: A A1 A2
x2
x A A1 A2 x x1 x2 A cos( t )
A A A 2A1A2 cos(1 2 )
2 1 2 2
第5章 机械振动
§5.4 简谐运动的能量 系统势能:
Ep 1 2 1 2 kx kA cos 2 ( t ) 2 2
1 2 kA sin 2 (t ) 2 m 2 k
谐振动系统的机械能:
1 1 2 2 2 E Ek Ep m A kA 2 2
5.5.3 相互垂直的简谐运动的合成 1. 相互垂直同频率简谐运动的合成
质点运动轨迹为直线
A2 ； A1 A 2 1 π，斜率 2 A1 y
2 1 0，斜率
x cos t cos 1 sin t sin 1 A1 y cos t cos 2 sin t sin 2 A2 x 2 y 2 2 xy 2 cos( 2 1 ) sin 2 ( 2 1 ) A12 A2 A1 A2
大学物理机械振动简谐运动能量
第16章 机械振动
16.1.5 简谐振动的能量
1
16.1.5 简谐振动的能量
第16章 机械振动
以弹簧振子为例
振子质量m，弹性系数k，振动角频率 k/m
Fkx xAcos(t) vAsin(t)
E k1 2m v21 2m 2A 2si2( n t )
E p1 2k2x1 2k2 A co 2( st)
E p=T 1T 01 2k A 2c o s2td t1 4k A 21 4m A 2 2
结论：简谐运动的动能与势能在一个周期内的 平均值相等，它们都等于总能量的一半。
6
16.1.5 简谐振动的能量
第16章 机械振动
应用：
忽略阻力，作 简谐运动的系统只 有动能和势能，且 机械能守恒，有
d
8
16.1.5 简谐振动的能量
第16章 机械振动
例：质量为 0.10kg 的物体，以振幅1.0102m
作简谐运动，其最大加速度为 4.0ms2，求：
（1）振动的周期； （2）通过平衡位置的动能； （3）总能量； （4）物体在何处其动能和势能相等？
解：（1） amaxA2
T 2π 0.314s
a max A
2
k m
EEkEp1 2kA 2A2（振幅的动力学意义）
线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒。
2
16.1.5 简谐振动的能量
第16章 机械振动
x,v
简谐运动能量图
ห้องสมุดไป่ตู้
xt 0
o
t xA co ts
T vt v A si n t
能量
o T T 3T T 42 4
1.5简谐运动能量
C
l0
o
l
B
9
大学 物理学
1-5
简谐运动的能量
能量守恒 简谐运动方程 1 2 1 2 E = mv + kx = 常量 2 2 dv dx d 1 2 1 2 + kx =0 ( mv + kx ) = 0 mv dt dt dt 2 2
推导
d x k + x = 0 2 dt m
d2x + ω 2x = 0 dt 2
x =
2
Ep = 1.0 × 10 J
3
1 2 1 Ep = kx = mω 2 x 2 2 2
2 Ep mω
2
= 0.5 × 10 4 m 2
第1章 振 动
x = ±0.707 cm
14
�
第1章
x
X
1
大学 物理学
1 2 2 Ek = kA sin (ωt + ) 2
1-5
简谐运动的能量
1 2 1 2 (2) 势能 Ep = kx = kA cos 2 (ωt + ) ) 2 2 1 1 2 2 2 (3) 机械能 E = Ek + Ep = mω A = kA ) 2 2 线性回 复力是保守 复力是保守 力,作简谐 m 运动的系统 O x X 机械能守恒. 机械能守恒.
1 2 1 2 2 = mvmax = mω A 2 2
= 2 . 0 × 10
第1章 振 动
3
J
13
大学 物理学
1-5
简谐运动的能量
2
已知 m = 0.10 kg,A = 1.0 × 10 m, ) amax = 4.0 m s 2 求:(3) Esum ; (4)何处动势能相等? )何处动势能相等? 解(3)Esum = Ek ,max 2.0 ×103 J = ) (4)Ek = Ep 时 ) 由
简谐运动的回复力和能量课件
典例精析
如图所示，一弹簧振子在光滑水平面上A、B两点间做简谐运 动，平衡位置为O，已知振子的质量为m.
(1)简谐运动的能量取决于__振__幅____，本题中物体振动时
__动__能____和__势__能____相互转化，总_机__械__能___守恒．
(2)关于振子的振动过程，以下说法中正确的是(ABD ) A．振子在平衡位置，动能最大，势能最小
【答案】 是简谐运动
【方法归纳】 (1)正确对物体进行受力分析； (2)弄清回复力由哪些力来提供； (3)注意回复力是效果力，不是物体受到的力．
知识点二 简谐运动能量的分析 重点聚焦 1．弹簧振子的动能随振子速度的变化而变化，弹簧振子的势能 随弹簧形变量的变化而变化，从整体来看，整个系统不受外力，满足 机械能守恒的条件． 2．水平方向的弹簧振子在平衡位置的机械能以动能的形式存 在，势能为零；在位移最大处势能最大，动能为零． 3．简谐运动中系统的动能与势能之和称为简谐运动的能量．
(2)两个转折点：①平衡位置是位移方向、加速度方向和回复力 方向变化的转折点；②最大位移处是速度方向变化的转折点．
典例精析
如图所示，挂在竖直弹簧下面的小球，用手向下拉一段 距离，然后放手，小球上下振动．试判断小球的运动是否为简谐运 动．
【解析】 小球静止时的位置为其运动时的平衡位置，设此时弹
簧伸长量为x0，由力的平衡条件可知kx0＝mg，向下再拉长x，释放后 小球受到指向平衡位置的合力大小为：F＝k(x＋x0)－mg＝kx，考虑到 力的方向和位移方向的关系，应有：F＝－kx.由此可见，小球的运动 为简谐运动．
3 新课堂·互动探究 知识点一 简谐运动的判断方法
重点聚焦
1．利用x－t图象判断 简谐运动的x－t图象是正弦曲线或余弦曲线． 2．利用回复力与位移的关系判断 简谐运动的回复力F与位移x成正比且方向总相反． 3．用F＝－kx判断振动是否是简谐运动的步骤 (1)与分解； (3)确定回复力 ，判断是否符合F＝－kx.
简谐运动的能量
根据机械能守恒定律，有
将上式对时间求导，整理后可得
或写成
式中
可见，当弹簧质量远小于物体的质量时，且系统作微小运动时，弹簧振子的运动可以认为是简谐运动，振动周期为
因而，周期比不计弹簧质量时要大。不过当m=M时，与严格计算结果相比较，误差也是不大于1％。
Composition of Simple Harmonic Vibration
§
Energy of Simple Harmonic Vibration
引言：作简谐运动的系统，因物体有速度而具有动能，因弹簧发生形变而具有势能，动能和势能之和就是其能量。
一、简谐运动的能量
1．能量表达式
（1）推导
以弹性振子为例。假设在t时刻质点的位移为x，速度为v，则
则系统动能为：
系统势能为：
因而系统的总能量为
1．应用1——记忆振幅公式
由能量守恒关系可得：kA2/2=mv02/2+kx02/2
解之即得：
2．应用2——推导简谐运动相关方程
在忽略阻力的条件下，作简谐运动的系统只有动能和势能（弹性势能和重力势能），且二者之和保持不变，因而有
将具体问题中的动能与势能表达式代入上式，经过简化后，即可得到简谐运动的微分方程及振动周期和频率。这种方法在工程实际中有着广泛的应用。
2．两个分振动的频率相差较大，但有简单的整数比关系：
此时合振动的轨迹为封闭的图形，称为李萨如（Lissajou's Figures）图形。该图形的的具体形状取决于两个互相垂直方向简谐运动的频率之比合初相位，并且该图形坐标轴的切点之比与频率之比相等。用此方法可以测量一未知振动的频率与相互垂直方向的两个简谐运动的相位差。
振子恰好从准周期运动变为非周期运动。与弱阻尼和过阻尼比较，在临界阻尼情况下振子回到平衡位置而静止下来所需时间最短。
2020年高考复习：机械振动点点清专题1 简谐运动的运动、受力、能量
机械振动点点清专题1 简谐运动的运动、受力、能量1.简谐运动(1)定义：如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动.(2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置.(3)描述简谐运动的物理量(4)回复力：使物体返回到平衡位置的力，总是指向平衡位置，与它偏离平衡位置位移的大小成正比，属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力.(5)简谐运动的能量特点振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系，弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。
在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。
①在最大位移处，势能最大，动能为零。
②在平衡位置处，动能最大，势能最小。
二、【典例1】如图2所示两木块A 和B 叠放在光滑水平面上，质量分别为m 和M ，A 与B 之间的最大静摩擦力为F fm ，B 与劲度系数为k 的轻质弹簧连接构成弹簧振子，为使A 和B 在振动过程中不发生相对滑动，则( )图2A ．它们的振幅不能大于M ＋m kM F fmB ．它们的振幅不能大于M ＋m kmF fm C ．它们的最大加速度不能大于F fm MD ．它们的最大加速度不能大于F fm m【答案】BD【解析】为使A 和B 在振动过程中不发生相对滑动，在最大振幅时，是加速度的最大时刻，这时对A 研究则有：F fm ＝ma m ，得a m ＝F fm m，故C 错误，D 正确；对整体研究，最大振幅即为弹簧的最大形变量，kA ＝(M ＋m)a m ，得A ＝M ＋m kmF fm ，A 错误，B 正确． 【典例2】(多选)如图3所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一物块，物块沿竖直方向以O 点为中心点，在C 、D 两点之间做周期为T 的简谐运动。
已知在t 1时刻物块的速度大小为v 、方向向下，动能为E k 。
简谐运动能量PPT教学课件
世界上最早的史诗《吉尔伽美什》流传在两河流域， 讲述乌鲁克的国王、大英雄吉尔伽美什、三分之二是神， 三分之一是人，完成了许多伟大的业绩的故事。 约公元前3500年--公元前3000年
大洪水爆发，即《圣经》中记载的洪水和诺亚方舟 的故事。
古代印度
古代中国 四大发明
古代中国
中国古代科技中可以确认居世界之最的发明制造，其实还有不少： 一、瓷器。７８００年前，西北渭水、泾水流域的先民就已能
烧制红、灰色的多种形状的陶瓷器具。 二、太阳能利用。３０００多年前，我国就有了太阳能的开发
利用技术。 三、铸造。我国在古代就已利用泥灌、铁灌、蜡灌等三大铸造
C．3次
D．4次
答案：B
2．弹簧振子在振动过程中振幅逐渐减小，这 是由于（ ）
A．振子开始振动时的振幅大小
B．在振动过程中要不断克服阻尼的作用做 功，消耗了系统的机械能
C．动能总是不断地减小
D．势能总是不断地减小
答案：B
3．把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成 弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕
2、振动势能可以为重力势能（例如单摆），可以是弹性势能 （例如水平方向振动的弹簧振子），也可以是重力势能和 弹性势能之和（例如沿竖直方向振动的弹簧振子），我们 约定振动势能是以平衡位置为零势能位置．
3、简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅越大，振动的能量越 大．
4、振子或单摆振动起来之后，由于是简谐运动，所以能量守 恒，此后它的振幅将保持不变.
3、振幅减小的快慢跟所受的阻尼有关，阻尼越大，振幅 减小得越快．
4、阻尼振动若在一段不太长的时间内振幅没有明显的减 小，可认为是等幅振动．
第五节 简谐运动的能量
第五节 简谐运动的能量 阻尼振动 第六节 受迫振动 共振一、简谐运动的能量：1、振子在振动过程中动能和势能相互转化，机械能守恒。
如图所示的单摆，在振动过程中能量转化情况2、注意：能量的大小和振幅有关，和振动系统回复力与位移的比例系数有关。
振幅越大，比例系数越大，振动能量越大。
二、阻尼振动与无阻尼振动：1、阻尼振动：振幅逐渐减小的振动叫做阻尼振动。
注意：1）振幅减小，能量也减小； 2）阻尼振动的周期不变。
2、无阻尼振动：振幅不变的振动叫做无阻尼振动。
注意：1）可能是振动系统摩擦和阻力不计，振动能量无损失；2）可能是振动虽有能量损失，但不断补充能量，使振动等幅。
三、受迫振动： 1、概念：1）自由振动：不受其它外力，只在系统内部的弹力或重力作用下的振动叫做自由振动；2）驱动力：作用于质点的周期性的外力叫做驱动力；3）受迫振动：物体在周期性驱动力作用下的振动叫做受迫振动。
2、特点：1）物体做受迫振动时的振动频率等于驱动力的频率，而与物体的固有频率无关；2）物体做受迫振动的振幅与驱动力的频率和物体的固有频率有关，二者相差越小，物体做受迫振动的振幅越大。
四、共振： 1、共振曲线：2、条件：当驱动力的频率跟物体的固有频率相等（固驱f f ）时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振。
3、共振的应用和防止： 利用：让驱动力频率接近或等于固有频率防止：让驱动力频率远大于或远小于固有频率五、振动的分类：1、按振动特点分：简谐运动、非简谐运动；2、按形成原因分：自由振动（内力）、受迫振动（外力）；3、按振动振幅分：等幅振动（无阻尼）、减幅振动（阻尼）。
说明：简谐运动必为无阻尼振动（等幅）；实际的简谐运动必为受迫振动；实际的自由振动必为阻尼振动；理想的简谐运动是指无阻尼自由振动，实际上不存在。
例题：A 、B 两个弹簧振子，固有周期分别为f 、4f ，它们均在频率为3f 的驱动力作用下做受迫振动，则下列说法中正确的是：A 、振子A 的振幅较大，振动频率为4f ；B 、振子B 的振幅较大，振动频率为3f ；C 、振子A 的振幅较大，振动频率为3f；D 、振子B 的振幅较大，振动频率为4f 。
大学物理机械振动
已知：A =12 cm , T = 2 s ， 2π π s1
T
x 0.12cos t
初始条件： t = 0 时， x0 = 0.06 m , v0 > 0
0.06 =0.12 cos
y
1 cos π
2
3
v0 Asin 0
第6章 机 械 振 动
振动： 任何一个物理量随时间的周期性变化
机械振动：物体在某一中心位置附近来回往复运动。
例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动
任何复杂的振动都可以 看做是由若干个简单而 又基本的振动的合成。 这种简单而又基本的振 动形式称为简谐运动。
6.1 简谐振动
6.1.1 弹簧振子：
而是具有向右的初速度 v0 0.30m s，1 求其运动方程.
解
A＇
x02
v02
2
0.0707m
tan＇ v0 1 x0
o π 4 x
＇ π 或 3π
44
A＇
因为 v0 0 ，由旋转矢量图可知 ＇ π 4
x Acos(t ) (0.0707m) cos[(6.0s1)t π ]
y
d 2
dt 2
D JZ
0
令 02
D JZ
d 2
dt 2
0x2
0
m cos(0t )
➢ 结论: 在扭转角不太大时，扭摆的运动是谐振动.
周期和角频率为：T 2 JZ
D
0
D JZ
例 . 一轻弹簧的下端挂一重物，上端固定在支架上，
弹簧伸长量l=9.8cm。如果给物体一个向下的瞬时冲击
力，使它具有 1m s1 的向下的速度，它就上下振动起 来。试证明物体是作简谐振动，并写出其振动方程式。
2024高考物理一轮复习-- 机械振动专题(一)--简谐运动的规律和图像
简谐运动的规律和图像一、简谐运动的基本规律1.简谐运动的特征2.注意：（1）弹簧振子（或单摆）在一个周期内的路程一定是4A，半个周期内路程一定是2A，四分之一周期内的路程不一定是A。
（2）弹簧振子周期和频率由振动系统本身的因素决定（振子的质量m和弹簧的劲度系数k ），与振幅无关。
二、简谐运动的图像1．简谐运动的数学表达式：x＝A sin(ωt＋φ)2．根据简谐运动图象可获取的信息(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ(如图所示)．(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移．(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度的大小和速度的方向，速度的方向也可根据下一时刻物体的位移的变化来确定．(4)某时刻质点的回复力、加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同，在图象上总是指向t轴．(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况．3．简谐运动图象问题的两种分析方法法一图象－运动结合法解此类题时，首先要理解x －t 图象的意义，其次要把x －t 图象与质点的实际振动过程联系起来．图象上的一个点表示振动中的一个状态(位置、振动方向等)，图象上的一段曲线对应振动的一个过程，关键是判断好平衡位置、最大位移及振动方向．法二 直观结论法简谐运动的图象表示振动质点的位移随时间变化的规律，即位移－时间的函数关系图象，不是物体的运动轨迹．三、针对练习1、一个小物块拴在一个轻弹簧上，并将弹簧和小物块竖直悬挂处于静止状态，以此时小物块所处位置为坐标原点O ，以竖直向下为正方向建立Ox 轴，如图所示。
先将小物块竖直向上托起使弹簧处于原长，然后将小物块由静止释放并开始计时，经过s 10π，小物块向下运动20cm 第一次到达最低点，已知小物块在竖直方向做简谐运动，重力加速度210m /s g =，忽略小物块受到的阻力，下列说法正确的是（ ）A ．小物块的振动方程为0.1sin 102x t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（m ） B ．小物块的最大加速度为2gC 2m /sD ．小物块在0～1330s π的时间内所经过的路程为85cm2、（多选）某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x 随时间变化的关系式为x ＝A sin ωt ，如图所示，则( )A ．弹簧在第1 s 末与第5 s 末的长度相同B ．简谐运动的频率为18Hz C ．第3 s 末，弹簧振子的位移大小为22A D ．第3 s 末至第5 s 末，弹簧振子的速度方向不变3、（多选）如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，在C 、D 两点之间做简谐运动，O 点为平衡位置。
大学物理-简谐振动讲义
t
A
a v
o·
t=0
x· x
v Asin(t )
Acos( t )
2
Av cos( t v )
a 2 Acos( t ) Aa cos( t a )
简谐振动旋转矢量表示法的应用
应用: 可以方便地确定初相位φ和相位
x0 0 x0 0 v0 0 v0 0
b a
a4 b3
F
(dF dr
) r r0
x
a4 b3
x
kx
其中
k
a4 b3
，为等效劲度系数.
➢ 结论: 原子在平衡位置附近的微振动是谐振动.
周期为：
T 2
m 2π k
b3 a4
m
角频率为：
a4 b3m
例题 质量为 m 的比重计，放在密度为 的液体中。
已知比重计圆管的直径为 d 。试证明在竖直方向的 振动为简谐振动，并计算周期。
x
A
= 2
O
t
-A
❖ 相位差
x1 A1 cos(1t 1) x2 A2 cos(2t 2 )
(2t 2 ) (1t 1) 2 1 （当2 1时）
k1
m1
k2 m2
x1
O
x2
若 2 1 2kπ
若 2 1 (2k 1)π
A1 x
x1
A2
o
x2
T
A1 x
A2
x1
x0 0 x0 0
x
v0 0 v0 0
M1 φ1
P φ2
M
2
[例1] 已知某质点作简谐运动, 振动曲线如图. 试根据图中数据
写出振动表达式.
大学物理系列之简谐振动PPT课件
同号时为加速 异号时为减速
O
X
A
A
第33页/共66页
振动质点位移、速度与特征点 (t=0时对应的φ)
v
xv x
x0>0时Φ在1,4象限 v0>0时Φ在3,4象限
x
v
x
第34页/共66页
x
x
xv x
例1. 一物体沿 x 轴作简谐振动，A= 12cm, T = 2s
x 当t = 0时, 0= 6cm, 且向x正方向运动。
t 时刻与x轴的夹角
( t﹢ )
相位
A
A
第32页/共66页
11
旋转矢量端续点 上M 作匀速圆周运动
其 速率
A
振子的运动速度（与 X 轴同向为正）
A
t
旋转矢量端点 M 的加速度为
法向加速度，其大小为
A
和
t
A
X O
振子的运动加速度（与 X 轴同向为正）
A
t
任一时刻的 和 值，
其正负号仅表示方向。
• 任意位置
Fmsgin
悬线的张力和重力的合力沿悬线的垂直方向指向平衡位置。
第16页/共66页
Fmsgin
当θ很小时 sinθ ≈ θ ( θ ＜ 5 °)
恢复力 Fmg
符合简谐振动的动力学定义
由牛顿第二定律
mat mg
d2
ml
mg
dt2
令 2 g l
d2 2 0
dt2
T 2 2
l g
单摆运动学方程： mcots()
弹簧振子 t= 0 时
m = 5×10 -3 kg
例三 k = 2×10 -4 N·m -1
高等教育简谐运动振动能量PPT课件
cos 2
2
又v0 0,sin 0
x 0.14co（s 8t－ ）
4
或＝－
图
t
相差2nπ (n 为整数) 质点运动状态全同.（周期性）
2）初相位 (t 0) 描述质点初始时刻的运动状态.
( [取π π] [或0 2π] )
Fm
ox
x
C
0
B
X
B
X
v
x Acos
O
v A sin
C
O
B
C
0
B
XV
B
0
AO
最低处时：
O
2
X=A, V=0;
F kx ma
d2 x dt 2
2
x
0
令2 k
m
程 振动方程 x Acos(t )
积分常数，根据初始条件确定
2. 单摆
动力学方程 F mg sin
mg
运动学方程 令 2 g
l
d2
dt 2
2
0
振动方程 m cos(t )
2
a a t图
a A 2 cos(t ) A 2
o
Tt
A 2 cos(t π ) A 2
三、描述谐振动的物理量
1.振幅 A xmax
2.周期、频率
x xt 图
A
o
Tt
T
x Acos(t ) A
2
Acos[(t T ) ]
T
A
t＝0时：x0，
o
v0的方向看下时刻的x， A
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1 1 2 1 2 1 2 2 2 E p = kA cos t dt kA mA T 02 4 4
结论：简谐运动的动能与势能在一个周期内的 平均值相等，它们都等于总能量的一半。
6
T
16.1.5 简谐振动的能量
应用： 忽略阻力，作 简谐运动的系统只 有动能和势能，且 机械能守恒，有
dv dx mv kx 0 dt dt
d x k x0 2 dt m
2
8
16.1.5 简谐振动的能量
第16章
机械振动
2
例：质量为 0.10kg 的物体，以振幅 1.0 10 作简谐运动，其最大加速度为 4.0m s 2 ，求： （1）振动的周期； （2）通过平衡位置的动能； （3）总能量； （4）物体在何处其动能和势能相等？ 解：（1）
A＝ x0
5
16.1.5 简谐振动的能量
能量平均值
第16章
机械振动
T
定义：一个随时间变化的物理量 f (t )， f 1 T 在时间T内的平均值定义为： 弹簧振子在一个周期内的平均动能为 ：
T
f t dt
0
1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 Ek mA sin t dt mA kA T 02 4 4
机械振动
1）E∝A2，对任何简谐运动皆成立；
2）动能与势能都随时间作周期性变化，变化 频率是位移与速度变化频率的两倍，而总能 量保持不变；且总能量与位移无关。 动能 Ek= E - Ep 3）由势能曲线注意理解能量守恒和动能、势能 相互转化过程。由能量守恒关系： 2 2 2 2 k A /2= mv0 /2+ kx0 /2，可得： v0 2
16.1.5 简谐振动的能量
第16章
机械振动
16.1.5 简谐振动的能量
1
16.1.5 简谐振动的能量
以弹簧振子为例
第16章
机械振动
振子质量m，弹性系数k，振动角频率
k/m
x A cos( t ) F kx v A sin( t ) 1 1 2 Ek m v m 2 A2 sin 2 (t ) k 2 2 2 1 2 1 2 m Ep kx kA cos 2 (t ) 2 2 1 2 2 E Ek Ep kA A （振幅的动力学意义） 2
第16章
机械振动
d Ek E p 0 dt
将具体问题中的动能与势能表达式代入上式， 可得到简谐运动的微分方程及振动周期和频率。
7
16.1.5 简谐振动的能量
例： 能量守恒 推导
第16章
机械振动
简谐运动方程
1 2 1 2 E mv kx 常量 2 2 d 1 1 2 2 ( mv kx ) 0 dt 2 2
Ep 时， Ep 1.0 10 J
1 2 1 由 Ep kx m 2 x 2 2 2 2 Ep 4 2 2 0.5 10 m x 2 m
（4） Ek
x 0.707 cm
10
m
amax A
T 2π
2
amax 1 20s A
9
0.314 s
16.1.5 简谐振动的能量
（2） Ek ,动
1 1 2 2 2 mvmax m A 2.0 103 J 2 2
3
3
E Ek ,max 2.0 10 J
线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒。
2
16.1.5 简谐振动的能量
第16章
机械振动
x, v
简谐运动能量图
o
能量
x t
T
0 t x Acost v t v A sin t
1 E kA2 2 1 2 Ep kA cos 2 t 2
o
T 4
T 2
3T 4
T
t
1 Ek m 2 A2 sin 2 t 2 3
16.1.5 简谐振动的能量
简谐运动势能曲线
第16章
机械振动
简谐运动能量守恒，振幅不变。
Ep
1 E kA2 2
C
E
A
O
B
Ek
Ep
x
A
x
4
一般情况，振动势能是指与振动系统所受 合外力相应的势能。
16.1.5 简谐振动的能量
说明：
第16章