椭圆曲线快速点乘算法优化

ａ ｎ ｏｒｉａ ｓ ｎｔｅｂｓ ｆｉ ｒｔ ｅ［ ， ］ ｎ ｅｒ ｏ ｐ ｔ ｉ ａ ｃｍ ｌｘｙｗ ｓ ｍ ｒｖｄｔ６ ３ ａｄ ． ％ ｒ— ｆ ｅｃｏｄ ｔ ａｉｏ ｔ ａ ｒ １２ ．Ａ ｄｔ ｉ ｃｍ ｕ ｔ ｎｌ ｏ ｐｅｉ ａ ｐｏｅ ．％ ｎ ３ ｅ ｉ ｆ ｎ ｅｏ ｈ ｓ ｌｅ ｕ ｈ ａｏ ｔ ｉ ｏ ３ ｓｅｔ ｅ ａ ｔ ａ ｒ １２ ． ｐｅ ｖｌ ｔ ｎｌｅ ｔ ｅ［ ， ］ ｉ ｙｈ ｉｒｕ
Ｋｅ ｏ ｄ ：ｅｌ ｔ ｕｖ ｒ ｔ ｙｔｍ （ Ｃ ；ｓａ ｒ ｕｔ ｌ ａ ｏ ；ａ ｎ ｏ ｒｉａ ；Ｊｃ ｂａ ｏ ｒｉａ ；ｍ ｈ ｐ ｃ — ｙ ｗ ｒ ｓ ｌ ｐ ｃｃ ｒｅｃ ｐｏ ｓ ｓ Ｅ Ｃ） ｃ ｌ ｌｐｉ ｔ ｎ ｆ ｅｃ ｏｄｎ ｔ ａ ｏ ｉｎｃ ｏｄ ｔ ｉｉ ｙ ｓ ｅ ａｍ ｉ ｃｉ ｉ ｆ ｅ ｎ ｅ ｕ ｉｌ ａ ｉ
梦 ，周海波
数 学与 系统科 学学 院， 京 １０９ ） 北 ０ １１
要 ：转换 乘 法为平 方运算 ， 一种快 速计算 椭 圆曲线 密码 点乘 的代 数 方法 。利 用此方 法 ， 出了素域 Ｆ 上 是 提 。
雅可比坐标 系下的 ３ Ｐ和 ３Ｐ算法， 其运算量分别为 ６ Ｍ］ １［ ］ ６ ） Ｍ］ １ｋ ［ ］ 与 已有的最好算法 ［ ＋ ０ ｓ 和（ｋ ［ ＋（０ ） ｓ ，
ｃｍ ｌ ｉ ｅｅ ［ ｏ ｐｅ ｔ ｗ ｒ ６ Ｍ］＋１ ［ ］ａ ｄ（ ｋ ［ ｘｙ ０ Ｓ ｎ ６ ） Ｍ］＋（ ０ ） Ｓ ｅｐｃｖｌ，ｈｃ ａ ｐｏｅ １ ８ ａｄ１． ％ ｒｓｅ— １ｋ ［ ］ｒｓｅｔｅ ｗ ｉ ｗ ｓ ｍ ｒｖｄｔ １ ．％ ｎ ０ ５ ｅｐｃ ｉ ｙ ｈ ｉ ｏ
Ｋ ｂｉ 等人独立提 出来 的。该密码体 制是基 于椭 圆曲线 离散 ｏｌｚ ｔ
对数难解 问题 （ Ｃ Ｌ ） 与 其他公 钥密码 体制相 比（ Ｒ Ａ、 ＥＤ Ｐ ， 如 Ｓ Ｄ Ａ ， 圆曲线密码具有如下技术优势 Ｈ ： Ｓ ）椭 ａ Ｅ Ｃ安全 性 能高 。Ｒ Ａ是 基 于 大整 数 因子 分 解 问题 ）Ｃ Ｓ （Ｆ ） 具有 亚指 数级 的复杂度 ， ＩＰ ， 而基 于椭 圆曲线 离散对 数难 解 问题 （ Ｃ Ｌ ） Ｅ Ｃ具 有指 数级 的复 杂度 。图 １是 Ｅ Ｃ Ｅ ＤＰ 的 Ｃ Ｃ 和 Ｒ Ａ的安 全性对照图 。从图 １可知 ， Ｓ 在同样 的攻破时 间内， Ｅ Ｃ需 要 的 密钥 比 Ｒ Ａ 的要 短得 多 ， １０ ｂｔ Ｅ Ｃ和 Ｃ Ｓ 如 ６ ｉ的 Ｃ １ ２ ｉ的 Ｒ Ａ有相 同的安全性 。 ４ｂｔ ０ Ｓ ｂ Ｅ Ｃ实现 性 能优 。Ｅ Ｃ的实 现优 势 主要 为 实现 成 本 ）Ｃ Ｃ 低、 存储 占用空 间小 、 宽带要求 低 、 算处理时 间短 、 运 生成 密钥 对方便等优势 。 因此 ， Ｃ Ｅ Ｃ在信息安全 中有 广泛 的用途 ， 近些年来 已普遍 受到世界密码学专家 、 数学家 和计算机科 学专 家的密切关 注。
Ａ ｂ ｔａｃ ： Ｔｒ ｄｎｇｆｅ ｄ ｍｕｌｉｌｃ ｔｏ ｓｆｒｆ ｌ ｑ ｒｎ ｓａ ｌｅ ｒ ｉ ｔ ｄｔ ｍｐ ｏ ｅ ｔｅ ｐ ｒｏ ｍａ ｃ ｆｓ ａａ ｓｒ ｔ ａ ｉ ｌ ｉ ｔｐ ｉａｉ ｎ ｏ ｅ ｄ ｓ ｕａｉ ｇ ｉ ｎ ａｇ ｂ ａ ｃｍｅｈｏ ｏ ｉ ｒ ｖ ｈ ｅｆ ｒ ｎ ｅ ｏ ｃ ｒｍｕｈｉｌ— ｉ ｌ ｐ ｉ
第２ ９卷 第 ８期
２１ ０ ２年 ８月
计 算 机 应 用 研 究
Ａｐ ｌ ａｉｎ Ｒｅ ｅ ｒｈｏ ｍｐ ｔｒ ｐ ｉ ｔ ｓ ａｃ ｆＣｏ ｕｅｓ ｃ ｏ
Ｖ０ ＿ ９ Ｎｏ ８ ｌ２ ．
Ａｕ ．２ １ ｇ ０２
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
椭 圆 曲线 快 速 点乘 算 法优 化
周
（ 京航 空航 天 大学 北 摘
ｔ ｅｙ ｔ ａ ｈ ｅ ｔ ｌｏ ｔｍｓａ ｒ ｓ ｎ ．Ｉ ｄ ｉ ｏ ，ｔ ｉ ａ ｅ ｍｐ ｏ ｅ ｅ ａｇ ｒｔ ｍｓｏ ｋ ｎ ｏ ｅ ｉ ｌ ｈ ｎ ｔ ｅ ｂ ｓ ｇ ｒ ｈ ｔ ｅ ｅ ｔ ｎ ａ ｄ ｔ ｎ ｈ ｓｐ ｐ ｒｉ ｒ ｖ ｄ ｔ ｏ ｉ ｖ ａ ｉ ｐ ｉ ｈ ｌ ｈ ｆ Ｐ ａ ｄ３ Ｐ ｖ ｒ ２ ｉ ｅ ｓｏ ｎ ｔｒ ｆ ｍ
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椭 圆 曲 线 密 码 系统 （ Ｃ ） 是 分 别 由 Ｍｉｅ 人 和 Ｅ Ｃ ｌ ｒ等 ｌ
等） 通过改变点的坐标形式 ， ， 继而不用求逆 ， 提高了运算效率。 ｂ 求递推公式 ， 少求逆 。Ｇ ａ ｒｏ等人 利用转换 求逆 ） 减 ｕｊ ｄ ａ
为乘法 的思想 ， 提出了仿射 坐标系下直 接计算 ４ ８ １Ｐ的 Ｐ、Ｐ、６
相比， 算法 效率分 剐提 升 了 ｌ．％ 和 ｌ．％ 。 另外 ， １８ ０． ５ 还在 文献 ［ ，］ 础上 ， １２ 基 对素 域 Ｆ 上 仿 射 坐标 系下的 ２Ｐ 和 ３Ｐ的 算法进行 了改进 ， ４ 其算 法效率 比文献 ［ ，］ 别提 高 了６ ３ １２ 分 ．％和 ３３ 。 ．％
关键 词 ：椭 圆曲线 密码 体制 ；点乘 ；仿射 坐标 ；雅 可 比坐标 ；乘法
中图分类 号 ：Ｔ ３ ９ Ｐ０
文献标 志码 ：Ａ
文章编 号 ：１０ － ６ ５ ２ １ ） ８ ３ ５ —３ ０ １３ ９ （０ ２ ０ —０ ６０
ｄ ｉ１ ．９ ９ ｊｉ ｎ １０ ．６ ５ ２ １ ． ８０ ６ ｏ ：０ ３ ６ ／ ． ｓ． ０ １３ ９ ． ０ ２ ０ ．６ ｓ
ｃｔ ｎｉ Ｃ． ｈｓｐ ｐ ｒｇ ｖ ｈ ｌｏｉ ｍｓｏ ３ ａ ｄ３ Ｐ ｏ ｅ ｉ ｅ ｓｏ ａｏ ｉｎｃ ｏｄｎ ｔｓ Ａ ｄｔｅｒ ｏ ｕａｉｎ ｌ ａｉ ｎＥＣ Ｔ ｉ ａ ｅ ａ ｅｔｅａｇ ｒ ｈ ｆ Ｐ ｎ ｋ ｖｒＦ ｎｔｒ ｆ ｃｂａ ｏ ｒｉａｅ ． ｎ ｈ ｉ ｃ ｍｐ ｔｔ ａ ｏ ｔ ｍ Ｊ ｏ
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